Главная » Просмотр файлов » А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978)

А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 10

Файл №1160094 А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978)) 10 страницаА.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094) страница 102019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

+Ь (1)о (1+1) =О, Ь, (1) о, (Е + 2) + Ь, (1) о, (1 + 2) +... + Ь„, (Е) о„(1+ 2) = О, о, (1 + 1) ... оо 1(1 + 1) о1(1+2) ... оо г(1+2) о~+ 1 (1+ 1) ... от (1+ 1) оо+о(1+2) ... оо(11.2) 12)с(1) = о1 (1+ и — 1) ° . о8-1 (1+ и — 1) о!+1 (1 + т — 1) ... о (Е+ т — 1) т, е. ы,(е) получается из определителя Я(1) вычеркиванием 1-го столбца и последней строки. Равенства (17) являются разностными уравнениями первого порядка относительно функций с,(1), 1=1, 2, ..., и. Так как с,(1) может быть определена с точностью до константы, то нз (17) найдем явное представление для с,(1): 1-1 ои (1) ~о) (1) Подставляя это выражение в (!3) и меняя порядок суммирования в получаемом представлении, будем иметь для частного решения у(1) неоднородного уравнения (7) следующую формулу: У (1) = Х с~ (1) 1'о (1) = 1эа о-1 г И = ~ ~)(1) ~ ( — 1)"+'Ы,(!) о,(1) 1(Я(1)а„Ц))= )=П 1=1 Г-1 = ~~.", 0 ((, !) ) (1), 1=а где ()(1, 1)=~(, .

~~ ( — 1) +"Юь(!)о„(Е). (18) Заметим, что сумма, стоящая в (18), легко вычисляется о (! + 1) оо (У+ 1) о 0 + 1) ог(1+2) оо(1+2) ...ои(1+2) од (/+ и — 1) о, ()+и — 1)...ои (/+т — 1) ог(1) оо(1) .. о„(О Ь,(!)о,(1+и)+Ь,(1')о,(1'+т)+... +Ь (1)о (Е+т) = ~~'~ . ()пределитель системы (16) равен Л1„(о„о„..., о„) и отличен от нуля в силу линейной независимости о„о„..., о .

Поэтому система (16) имеет единственное решение Ь, (1) = с, (1+ 1) — с, (1) = ( — ! )и+' —. —., ! = 1, ..., и, (17) и+ 7(О Я~О) где Ю(1) =61„(ог, о„..., о„), а Эта сумма равна нулю при != с — 1, 1 — 2, ..., с — и+1, Таким образом, частное решение уравнения (7) имеет следующее представление: ос (/ + 1) .: . о, (1 + 1) о,(1'+т — 1) ... от Ц+т — 1) о (О от О) (19) ат (1) ' ое(/+1) ... о,(!+т) О+1) ... ~ (1+т) где с, произвольно, а для с=с„с,+1, ..., с,+и — 1 имеем у(с) = О.

Для уравнения первого порядка (и =1) формула (!9) принимает следующий вид: с-с с='в 4. Примеры. Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие применение общей теории. Пусть требуется найти общее решение уравнения первого порядка у(с+!) — е'су(с) =61'ес*+с. (21) Найдем сначала решение однородного уравнения у(с+1) — еену(с)=О. (22) Из (22) последовательно получим з "Яь у (с + ! ) = еесу(с) = е "ее н ну (с — ! ) =... = е е = с у (1) = ес <!+ с>у(1). Полагая здесь у(1) =1, найдем частное решение о,(с) однородного уравнения (22) в виде ас П) = е' " ".

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид у(с) =се"с сс, где с — произвольная постоянная. Построим теперь частное решение неоднородного уравнения (21), используя формулу (20). Из (20) получим с-1 с-с ее! ссс-сс 6еее~ +~ у(с)=~ч', — ° — — бе'н-"чс, Й'. ее се+с> е=в а=се Так как 1, может быть выбрано произвольным, то, полагая здесь 1,=1, будем иметь у(с)=с(с — 1)(21 — 1)е"с-". Далее, в силу теоремы 3 общее решение уравнения (21) записывается в виде у (с) = у (!) + у (с) = (с+1(1 — 1) (21 — 1)1 ес сс-ссе где с — произвольная постоянная.

Задача решена. Найдем теперь общее решение уравнения второго порядка а,(Е)у(Е+2)+а;(Е)у(Е+1)+а,(Е)у(Е)=Е(Е), (23) где Е=О, 1, 2, ..., а,(Е)=Е* — Е+1, а,(Е)=а,(Е+1)=Р+Е+1, а,(Е) = — а,(Е) — а, (Е) = — 2 (Р+1), (24) е (Е) = 2' (Р— ЗЕ+! ) = 2' [2а, (Е) — а, (Е)]. Так как коэффициенты а,(Е) и а,(Е) отличны от нуля, то для нахождения общего решения уравнения (23) можно применить общую теорию. Сначала построим линейно независимые решения однородного уравнения. Используя (24), его можно записать в следующем виде: а, (Е) у (Е + 2) — [а, (Е) + а, (Е + 1)] у (Е + 1) + а, (Е + 1) у (Е) = 0 или а, (Е) [у (Е+ 2) — у (Е+ 1)] — а, (Е+ 1) [у (Е+ 1) — у (Е)] = О. (25) Частные решения о, (Е) и о, (Е) однородного уравнения (25) выделим следующими условиями: о, (0) = о„(1) = 1, о, (0) = О, о, (1) = 3.

Так как определитель Ь,(ое, о,)=[„'(оо „' )~=ЗФО, то в силу леммы 3 функции о,(Е) и о,(Е) будут линейно независимыми решениями уравнения (25). Найдем явный вид для о,(Е) и о,(Е). Из (25) сразу следует, что ое(Е) =1. Построим о, (Е). Из (25) последовательно получим у(Е+2) — у(Е+!) = ' ' . [у(Е+!) — у(Е)]= Учитывая начальные значения для о, (Е), отсюда найдем о, (Е+1) — о, (Е) = За, (Е) =3 (Е' — 1-1-1). (26) Суммируя левую и правую части (26) по Е от нуля до й — 1, будем иметь ь-1 о,(й) =о,(0)+3~ (Р— Е+1)=й(И вЂ” Зй+5). Е=а Итак, частные решения однородного уравнения (25) найдены о, (й) = 1, о, (й) = й (й' — Зй + 5), (27) и общее решение (25) имеет вид у(й) =се+с,й(й' — Зй+5).

46 Построим теперь частное решение неоднородного уравнения (23); Подставляя (24) и (27) в формулу (19), получим С-2 Г о» (с) — 2 (»+ 1) Е (») 22(»+2) — о,(»+1) а,(СС) С-2 1-2 =з~'.~"(Е)-"(Й+1)~~ — "„", — — "»~ (28) »-о Здесь было использовано равенство (26). Вычислим полученное выражение. Обозначая 2» о (Й) = о, (с) — о, (Й+ 1), и (Й) = —, а,(») ' запишем (28) следующим образом: у(»=-,' Е~~(Й+1) — ~(Й)] (Й).

»=о Используем теперь формулу суммирования по частям (см.(8) 3 1) для случая равномерной сетки с шагом Й = 1. Это дает 1-1 у(Е) З С и(Й) (о(Й) о(" 1)1+ »=о 1 + З '(и (Š— 1) о (Š— 1) — и (0) о ( — 1)1. Так как в силу (26), условия о, (0) =0 и определения функций о(Й) и и(Й) имеем о (Й) — о (Ег — 1) = о, (Й) — о, (Й + 1) = — За, (Й), о(Š— 1) =о,(Е) — о,(с) =О, о ( — 1) = о, (с) — о, (0) = о, (Е), то 1-1 1 1 у(с) =~~~, 2» — — о, (1) =21 — 1 — с(12 — Зс'+5).

з 3 Следовательно, частное решение (23) найдено. В силу теоремы 3 общее решение неоднородного уравнения второго порядка (23) имеет внд У (Е) = У (с) + У (с) = 21 — 1 — Е (Е» — ЗЕ + 5) + ос + с Е (12 — ЗЕ + 5) = =с-+21+с,с (12 — 31+5) 1 где с,=с2 — 1, с,=с,— — произвольные постоянные. Задача решена. '47 $3, Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами !.

Характеристическое уравнение. Случай простых корней. Рассмотрим теперь важный класс разностных уравнений †линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Для уравнений этого класса вопрос о нахождении линейно независимых решений соответствующих однородных уравнений может быть решен достаточно просто. А к этому, как было показано выше„ сводится задача решения неоднородного разностного уравнения. Займемся отысканием линейно независимых решений однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами т-го порядка а„у(1+т)+а„,у(1+т — 1)+...

+а,у(1)=0. (1) Будем искать частные решения (1) в виде о (1) = д', где число д подлежит определению. Подставляя о(1) вместо у(1) в (1), получим уравнение де(а„дт+а„1д '+... +а,д+а,)=0. Так как ищется не равное тождественно нулю решение (1), то, сокращая на д', получим отсюда уравнение для д: а д" +а„гд -'+... +а,д+а,=О. (2) Уравнение (2) называется характеристическим уравнением для (1). Корни уравнения (2) д;, д„..., д могут быть как простыми, так и кратными. Рассмотрим отдельно каждый возможный случай. Пусть корни простые. Покажем, что функции О,(1)=д'„О,(1) =д1т ..., О (1) =д' (3) являются линейно независимыми решениями уравнения (1).

Действительно, в силу леммы 3 достаточно показать, что хотя бы для одного ! определитель Ле(ог, и„..., о ) ФО. Полагая 1=0, найдем ! дт Чт - Чттт -1 т-1 т-1 Чв ° ° ° Чт и, следовательно, Л, (о„..., о ) — определитель Вандермонда. Он отличен от нуля, так как все д» различны. Таким образом, функции (3) действительно являются линейно независимыми решениями (!), н поэтому общее решение однородного уравнения (1) может быть записано в виде у(1) =е1д1+с,д1+... +с д', (4) где сг, с„..., с„— произвольные постоянные. 46 Если корни о~, а„..., а„действительные, то действительное решение у(1) выделяется выбором постоянных сп с„..., с„ действительными чпслами.

Рассмотрим теперь вопрос о выделении действительного решения, если среди корней есть комплексные. Пусть д„=р(сози+!'з!п<р), (1'=)/ — 1) — комплексный корень характеристического уравнения (2). Тогда существует сопряженный к д„корень д,=р(соз~р — !" з!п~р) уравнения (2). Рассмотрим часть общего решения (4), образуемую линейной комбинацией о'„н а',: у(1) =с„д'„+с,у(= р'1(с„+с,) созио+1*(с„— с,) з1п(ф). Функция у(1) будет иметь действительные значения, если постоянные с„и с, будут комплексно сопряженными.

Полагая с„= =0,5 (с„— 1'с,), с, = 0,5 (с„+ !ос,), где с„и с,— произвольные действительные числа, получим у (1) = р' (с„соз йр + с, з!и !ар). 2. Случай кратных корней. Пусть теперь характеристическое уравнение (2) имеет корень о; кратности и;, о,— кратности п, и т. д., т. е. д;, о„..., о,— различные корни кратности ие, и„..., и, соответственно, пг+п,+... +и,=т. Построим линейно независимые решения однородного уравнения (1). Нам потребуется Л е м м а 4. Если у,— корень характеристического уравнения (2), имеющий кратность и„то справедливы равенства ,~ ЯаоВ'у) = О, р = О, 1, ..., и, — 1.

(5) Действительно, так как о,— корень уравнения (2) кратности и„то имеют место равенства ~ а„у~~=О, (6) о=о ~ й (й — 1)...(й — в + 1) а,д," = О, в = 1, 2, ..., и, — !, (7) о=о получаемые из (2) дифференцированием е раз н дополнительным умножением результата на 41. Покажем, что равенство (5) эквивалентно (6), (7). Очевидно, что нужно доказать эквивалентность только (7) и (5) для р) 1.

Так как Р, (й) = й (и — 1)... (к — з+ 1) — полипом степени е от й, то, умножая (5) на соответствующий коэффициент поли- нома Р,(й) для р=1, 2, ..., в и складывая получаемые равенства, будем иметь соотношения (7). Покажем теперь, что из (7) следуют равенства (5) для р = 1, 2, ..., и,— 1. Используем разложение для яе: йе=Х А(Й вЂ” 1)...(й — з+1)а„1(р(й, (8) где а,=а,(р) будет указано ниже.

Умножим з-е равенство (7) йв на а, и просуммируем по з от 1 до р, В силу (8) получим р /л! 0 = Х а, ~ Х Й (А — 1)... (и — и+ 1) ао!)о! ! ! ьло !л лр л! = Х а )! ~ Х й (й — 1)" (й — + 1) а,/) = ХаРИ. ало Ьло Осталось обосновать разложение (8). Заметим, что слева и справа в (8) стоят полиномы р-й степени от й. Если положить а = 1, то коэффициенты при старшей степени А слева и справа в (8) будут равны, коэффициенты при младшей степени равны нулю. Найдем а;, а„ ..., ар о, приравнивая значения полиномов в р — 1 различных точках, например, полагая й=1, 2,..., р — 1. Для й=! это дает а!=1.

При А= п, 2 =. п (р — 1 будем иметь р л пр = Х и(и — 1)...(п — з+1)а,= Х п(и — 1)...(п — з+1)а,= лл! з=! л-! =и! а +и( У. — ' л !(л о)(' рл ! Отсюда можно найти а„если а;, а„..., ал; уже определены. Таким образом, получаем следующую рекурреитную формулу для нахождения коэффициентов а„: л-! лр чл а, и = — —,7 л! (л — р)! ' и=2, 3, ..., р — 1, а!=1. ал! Лемма доказана. Используя лемму 4, найдем и! частных решений однородного уравнения (1).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
9,65 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее