А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 10
Текст из файла (страница 10)
+Ь (1)о (1+1) =О, Ь, (1) о, (Е + 2) + Ь, (1) о, (1 + 2) +... + Ь„, (Е) о„(1+ 2) = О, о, (1 + 1) ... оо 1(1 + 1) о1(1+2) ... оо г(1+2) о~+ 1 (1+ 1) ... от (1+ 1) оо+о(1+2) ... оо(11.2) 12)с(1) = о1 (1+ и — 1) ° . о8-1 (1+ и — 1) о!+1 (1 + т — 1) ... о (Е+ т — 1) т, е. ы,(е) получается из определителя Я(1) вычеркиванием 1-го столбца и последней строки. Равенства (17) являются разностными уравнениями первого порядка относительно функций с,(1), 1=1, 2, ..., и. Так как с,(1) может быть определена с точностью до константы, то нз (17) найдем явное представление для с,(1): 1-1 ои (1) ~о) (1) Подставляя это выражение в (!3) и меняя порядок суммирования в получаемом представлении, будем иметь для частного решения у(1) неоднородного уравнения (7) следующую формулу: У (1) = Х с~ (1) 1'о (1) = 1эа о-1 г И = ~ ~)(1) ~ ( — 1)"+'Ы,(!) о,(1) 1(Я(1)а„Ц))= )=П 1=1 Г-1 = ~~.", 0 ((, !) ) (1), 1=а где ()(1, 1)=~(, .
~~ ( — 1) +"Юь(!)о„(Е). (18) Заметим, что сумма, стоящая в (18), легко вычисляется о (! + 1) оо (У+ 1) о 0 + 1) ог(1+2) оо(1+2) ...ои(1+2) од (/+ и — 1) о, ()+и — 1)...ои (/+т — 1) ог(1) оо(1) .. о„(О Ь,(!)о,(1+и)+Ь,(1')о,(1'+т)+... +Ь (1)о (Е+т) = ~~'~ . ()пределитель системы (16) равен Л1„(о„о„..., о„) и отличен от нуля в силу линейной независимости о„о„..., о .
Поэтому система (16) имеет единственное решение Ь, (1) = с, (1+ 1) — с, (1) = ( — ! )и+' —. —., ! = 1, ..., и, (17) и+ 7(О Я~О) где Ю(1) =61„(ог, о„..., о„), а Эта сумма равна нулю при != с — 1, 1 — 2, ..., с — и+1, Таким образом, частное решение уравнения (7) имеет следующее представление: ос (/ + 1) .: . о, (1 + 1) о,(1'+т — 1) ... от Ц+т — 1) о (О от О) (19) ат (1) ' ое(/+1) ... о,(!+т) О+1) ... ~ (1+т) где с, произвольно, а для с=с„с,+1, ..., с,+и — 1 имеем у(с) = О.
Для уравнения первого порядка (и =1) формула (!9) принимает следующий вид: с-с с='в 4. Примеры. Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие применение общей теории. Пусть требуется найти общее решение уравнения первого порядка у(с+!) — е'су(с) =61'ес*+с. (21) Найдем сначала решение однородного уравнения у(с+1) — еену(с)=О. (22) Из (22) последовательно получим з "Яь у (с + ! ) = еесу(с) = е "ее н ну (с — ! ) =... = е е = с у (1) = ес <!+ с>у(1). Полагая здесь у(1) =1, найдем частное решение о,(с) однородного уравнения (22) в виде ас П) = е' " ".
Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид у(с) =се"с сс, где с — произвольная постоянная. Построим теперь частное решение неоднородного уравнения (21), используя формулу (20). Из (20) получим с-1 с-с ее! ссс-сс 6еее~ +~ у(с)=~ч', — ° — — бе'н-"чс, Й'. ее се+с> е=в а=се Так как 1, может быть выбрано произвольным, то, полагая здесь 1,=1, будем иметь у(с)=с(с — 1)(21 — 1)е"с-". Далее, в силу теоремы 3 общее решение уравнения (21) записывается в виде у (с) = у (!) + у (с) = (с+1(1 — 1) (21 — 1)1 ес сс-ссе где с — произвольная постоянная.
Задача решена. Найдем теперь общее решение уравнения второго порядка а,(Е)у(Е+2)+а;(Е)у(Е+1)+а,(Е)у(Е)=Е(Е), (23) где Е=О, 1, 2, ..., а,(Е)=Е* — Е+1, а,(Е)=а,(Е+1)=Р+Е+1, а,(Е) = — а,(Е) — а, (Е) = — 2 (Р+1), (24) е (Е) = 2' (Р— ЗЕ+! ) = 2' [2а, (Е) — а, (Е)]. Так как коэффициенты а,(Е) и а,(Е) отличны от нуля, то для нахождения общего решения уравнения (23) можно применить общую теорию. Сначала построим линейно независимые решения однородного уравнения. Используя (24), его можно записать в следующем виде: а, (Е) у (Е + 2) — [а, (Е) + а, (Е + 1)] у (Е + 1) + а, (Е + 1) у (Е) = 0 или а, (Е) [у (Е+ 2) — у (Е+ 1)] — а, (Е+ 1) [у (Е+ 1) — у (Е)] = О. (25) Частные решения о, (Е) и о, (Е) однородного уравнения (25) выделим следующими условиями: о, (0) = о„(1) = 1, о, (0) = О, о, (1) = 3.
Так как определитель Ь,(ое, о,)=[„'(оо „' )~=ЗФО, то в силу леммы 3 функции о,(Е) и о,(Е) будут линейно независимыми решениями уравнения (25). Найдем явный вид для о,(Е) и о,(Е). Из (25) сразу следует, что ое(Е) =1. Построим о, (Е). Из (25) последовательно получим у(Е+2) — у(Е+!) = ' ' . [у(Е+!) — у(Е)]= Учитывая начальные значения для о, (Е), отсюда найдем о, (Е+1) — о, (Е) = За, (Е) =3 (Е' — 1-1-1). (26) Суммируя левую и правую части (26) по Е от нуля до й — 1, будем иметь ь-1 о,(й) =о,(0)+3~ (Р— Е+1)=й(И вЂ” Зй+5). Е=а Итак, частные решения однородного уравнения (25) найдены о, (й) = 1, о, (й) = й (й' — Зй + 5), (27) и общее решение (25) имеет вид у(й) =се+с,й(й' — Зй+5).
46 Построим теперь частное решение неоднородного уравнения (23); Подставляя (24) и (27) в формулу (19), получим С-2 Г о» (с) — 2 (»+ 1) Е (») 22(»+2) — о,(»+1) а,(СС) С-2 1-2 =з~'.~"(Е)-"(Й+1)~~ — "„", — — "»~ (28) »-о Здесь было использовано равенство (26). Вычислим полученное выражение. Обозначая 2» о (Й) = о, (с) — о, (Й+ 1), и (Й) = —, а,(») ' запишем (28) следующим образом: у(»=-,' Е~~(Й+1) — ~(Й)] (Й).
»=о Используем теперь формулу суммирования по частям (см.(8) 3 1) для случая равномерной сетки с шагом Й = 1. Это дает 1-1 у(Е) З С и(Й) (о(Й) о(" 1)1+ »=о 1 + З '(и (Š— 1) о (Š— 1) — и (0) о ( — 1)1. Так как в силу (26), условия о, (0) =0 и определения функций о(Й) и и(Й) имеем о (Й) — о (Ег — 1) = о, (Й) — о, (Й + 1) = — За, (Й), о(Š— 1) =о,(Е) — о,(с) =О, о ( — 1) = о, (с) — о, (0) = о, (Е), то 1-1 1 1 у(с) =~~~, 2» — — о, (1) =21 — 1 — с(12 — Зс'+5).
з 3 Следовательно, частное решение (23) найдено. В силу теоремы 3 общее решение неоднородного уравнения второго порядка (23) имеет внд У (Е) = У (с) + У (с) = 21 — 1 — Е (Е» — ЗЕ + 5) + ос + с Е (12 — ЗЕ + 5) = =с-+21+с,с (12 — 31+5) 1 где с,=с2 — 1, с,=с,— — произвольные постоянные. Задача решена. '47 $3, Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами !.
Характеристическое уравнение. Случай простых корней. Рассмотрим теперь важный класс разностных уравнений †линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Для уравнений этого класса вопрос о нахождении линейно независимых решений соответствующих однородных уравнений может быть решен достаточно просто. А к этому, как было показано выше„ сводится задача решения неоднородного разностного уравнения. Займемся отысканием линейно независимых решений однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами т-го порядка а„у(1+т)+а„,у(1+т — 1)+...
+а,у(1)=0. (1) Будем искать частные решения (1) в виде о (1) = д', где число д подлежит определению. Подставляя о(1) вместо у(1) в (1), получим уравнение де(а„дт+а„1д '+... +а,д+а,)=0. Так как ищется не равное тождественно нулю решение (1), то, сокращая на д', получим отсюда уравнение для д: а д" +а„гд -'+... +а,д+а,=О. (2) Уравнение (2) называется характеристическим уравнением для (1). Корни уравнения (2) д;, д„..., д могут быть как простыми, так и кратными. Рассмотрим отдельно каждый возможный случай. Пусть корни простые. Покажем, что функции О,(1)=д'„О,(1) =д1т ..., О (1) =д' (3) являются линейно независимыми решениями уравнения (1).
Действительно, в силу леммы 3 достаточно показать, что хотя бы для одного ! определитель Ле(ог, и„..., о ) ФО. Полагая 1=0, найдем ! дт Чт - Чттт -1 т-1 т-1 Чв ° ° ° Чт и, следовательно, Л, (о„..., о ) — определитель Вандермонда. Он отличен от нуля, так как все д» различны. Таким образом, функции (3) действительно являются линейно независимыми решениями (!), н поэтому общее решение однородного уравнения (1) может быть записано в виде у(1) =е1д1+с,д1+... +с д', (4) где сг, с„..., с„— произвольные постоянные. 46 Если корни о~, а„..., а„действительные, то действительное решение у(1) выделяется выбором постоянных сп с„..., с„ действительными чпслами.
Рассмотрим теперь вопрос о выделении действительного решения, если среди корней есть комплексные. Пусть д„=р(сози+!'з!п<р), (1'=)/ — 1) — комплексный корень характеристического уравнения (2). Тогда существует сопряженный к д„корень д,=р(соз~р — !" з!п~р) уравнения (2). Рассмотрим часть общего решения (4), образуемую линейной комбинацией о'„н а',: у(1) =с„д'„+с,у(= р'1(с„+с,) созио+1*(с„— с,) з1п(ф). Функция у(1) будет иметь действительные значения, если постоянные с„и с, будут комплексно сопряженными.
Полагая с„= =0,5 (с„— 1'с,), с, = 0,5 (с„+ !ос,), где с„и с,— произвольные действительные числа, получим у (1) = р' (с„соз йр + с, з!и !ар). 2. Случай кратных корней. Пусть теперь характеристическое уравнение (2) имеет корень о; кратности и;, о,— кратности п, и т. д., т. е. д;, о„..., о,— различные корни кратности ие, и„..., и, соответственно, пг+п,+... +и,=т. Построим линейно независимые решения однородного уравнения (1). Нам потребуется Л е м м а 4. Если у,— корень характеристического уравнения (2), имеющий кратность и„то справедливы равенства ,~ ЯаоВ'у) = О, р = О, 1, ..., и, — 1.
(5) Действительно, так как о,— корень уравнения (2) кратности и„то имеют место равенства ~ а„у~~=О, (6) о=о ~ й (й — 1)...(й — в + 1) а,д," = О, в = 1, 2, ..., и, — !, (7) о=о получаемые из (2) дифференцированием е раз н дополнительным умножением результата на 41. Покажем, что равенство (5) эквивалентно (6), (7). Очевидно, что нужно доказать эквивалентность только (7) и (5) для р) 1.
Так как Р, (й) = й (и — 1)... (к — з+ 1) — полипом степени е от й, то, умножая (5) на соответствующий коэффициент поли- нома Р,(й) для р=1, 2, ..., в и складывая получаемые равенства, будем иметь соотношения (7). Покажем теперь, что из (7) следуют равенства (5) для р = 1, 2, ..., и,— 1. Используем разложение для яе: йе=Х А(Й вЂ” 1)...(й — з+1)а„1(р(й, (8) где а,=а,(р) будет указано ниже.
Умножим з-е равенство (7) йв на а, и просуммируем по з от 1 до р, В силу (8) получим р /л! 0 = Х а, ~ Х Й (А — 1)... (и — и+ 1) ао!)о! ! ! ьло !л лр л! = Х а )! ~ Х й (й — 1)" (й — + 1) а,/) = ХаРИ. ало Ьло Осталось обосновать разложение (8). Заметим, что слева и справа в (8) стоят полиномы р-й степени от й. Если положить а = 1, то коэффициенты при старшей степени А слева и справа в (8) будут равны, коэффициенты при младшей степени равны нулю. Найдем а;, а„ ..., ар о, приравнивая значения полиномов в р — 1 различных точках, например, полагая й=1, 2,..., р — 1. Для й=! это дает а!=1.
При А= п, 2 =. п (р — 1 будем иметь р л пр = Х и(и — 1)...(п — з+1)а,= Х п(и — 1)...(п — з+1)а,= лл! з=! л-! =и! а +и( У. — ' л !(л о)(' рл ! Отсюда можно найти а„если а;, а„..., ал; уже определены. Таким образом, получаем следующую рекурреитную формулу для нахождения коэффициентов а„: л-! лр чл а, и = — —,7 л! (л — р)! ' и=2, 3, ..., р — 1, а!=1. ал! Лемма доказана. Используя лемму 4, найдем и! частных решений однородного уравнения (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
