А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е. (у, уа)=1. Несложные выкладки дают сь — — У2(1. Подставляя найденное значение для с„в (6), получим собственные функции рь(1) задачи (1) /2 . ЬШ /2 . Ьих! !! (!) = у — з1п — = ~~ — з)о — ' !'=0,1, ...,У,1=1,2, ...,Ф вЂ” 1. Итак, задача (1) решена и решение дано в (5) и (7). Перечислим основные свойства собственных функций и собственных значений первой краевой задачи (1). 1) Собственные функции ортонормированы: !'1, й=т, ( О, йФт. 2) Для любой сеточной функции 7(!), заданной во внутренних узлах сетки в, т.е.для1(! <У вЂ” 1, имеетместоразложение Ф-! ~(!)=- ~~~, ф„з1п — "', !=1, 2, ..., й! — 1, (В) ь 1 где <р„= ~ )'(!)з!п — ', 1=1, 2, ..., У вЂ” 1.
(9) ! 1 Поясним зто утверждение. Пусть 7'(!') — произвольная сеточная функция, заданная на о! (или на о! и обращающаяся в нуль прн !=О и !=Л!). Разложим ее по собственным функциям Я-! У-! ~(!)= ~.; ~„р„(!) =,"У', )~ -', ~„з!п — '„"', (10) $м1 ь=! где г — коэффициент Фурье функции 1(1). Умножая (10) скалярно на р (1) и используя ортонормированность собственных функций, найдем коэффициенты Фурье Л-1 А1-1 ) = Е ~, (11„Р ) = (), Р„) = Х Ф/Т В) з1п — "Ф' Ь. и=! С=а Связь полученных формул с (8) — (9) легко устанавливается, если заметить, что ~ = — р„. р' 21 Разложение (8), (9) удобно тем, что для вычисления фурье- образа функции ~(1) и для восстановления исходной функции по ее образу необходимо вычислять однотипную сумму. Алгоритм быстрого вычисления сумм такого вида будет рассмотрен в гла- ве 1Ч. 3) Для собственных значений справедливы неравенства 8 4 .
я 4, и 1— ,~~Утз1п ~у — Л,(Ла(ЛА-1=Урсов ~у а 1(Я(1Ч 2. Вторая краевая задача. Рассмотрим теперь вторую краевую задачу на собственные значения У,, +ЛУ=О, хчса, —,у„+ЛУ=О, х=О, — —,у„-+ЛУ=О, х=1. 2 г (11) Найдем решение задачи (11). Расписывая разностные произ- водные в (11) по точкам, получим задачу у(1+1) — 2гу(1)+у(1 — 1) =О, 1 <1(А( — 1, у(1) — гу(0) =О, у(А1 — 1) — гу(А1) =О, где г=1 — Л11'-,12. Из общегорешения уравнения(12) у(1)=с Т (г)-~- +Са111, (г) ВЫДЕЛИМ РЕШЕНИЕ, удОВЛЕтВОряЮщЕЕ ПОСтаВЛЕННЫМ краевым условиям. Используя формулу (24) 9 4, будем иметь у(1) — гу(0) =с,г+с,— с,г=с,=О, с,=О, а также У(й1 — 1) — гу()у) =са(ТА 1(г) — гТА,(г)) =с;(1 — г') У .
(г) =О. Так как саФО, то отсюда получим г,=сов —, А=О, 1, ..., )ч, ья и, следовательно, собственными значениями задачи (12) являются 4 . а йм 4 . а Ама ЛА — — —,аз1п' — = —,, з1п' —, А=О, 1, ..., У. (13) При этом каждому Л, соответствует ненулевое решение задачи (11) Ааи у (1) =с„Т;(г„) =свсоз —, Оя,,1(Ф. 3 А. А. Самарский, и.
О. Никсиаав Выберем постоянные с„из условия (ра, р„) =-1, где скалярное произведение определено выше. 1-!епосредственные вычисления показывают, что сь=)Г2ЕЕ, /г =1, 2, ..., Е!Е- — 1, с~=-)Г!ЕЕ, и=О, Ле. Таким образом, нормированными собственными функциями задачи (11) являются функции Г2 /гзЕ . Г2 Алк; р„(Е) = "ь — соз — = '~; — соз — ', ! <Ег< ЕУ вЂ” 1, (14) определенные на сетке а. Отметим, что собственной функцией, соответствующей нулевому собственному значению Х, =О, является постоянная р,(Е) =)Г!ЕЕ. Сформулируем свойства собственных функций и собственных значений второй краевой задачи (!1).
1) Собственные функции ортонормированы: (р„, р ) =6„. 2), Для любой сеточной функции Е" (Е), заданной на ез, имеет место разложение Е(Е)=у~ р„д„соз —, Е=О, 1, ..., Ле, (15) «=о где «Р~=~ Р;Е(Е)соз —, й=О, 1, ..., Е!Е, (16) ~= о 1, 1<Е<йŠ— 1, 1 05, Е=О, М. (17) Формулы (15) и (16) суть модификация традиционного разложения Е'(Е) по собственным функциям рь(Е) е(Е)=,У, Е'„р (е), Е'„=(Е', р„) путем следующей замены: ~ — "ч,, 1<й<йŠ— 1, ) 2~ Е» = 1 1~ Ер, й=О, Еу. 3) Для собственных значений справедливы неравенства О= Л,<),<).~ О<й«ДЕ. 3. Смешанная краевая задача. Рассмотрим теперь задачу на собственные 'значения, когда на одной стороне отрезка 10, Е! за- 66 дано краевое условие первого рода, а на другой †второ, например: У- +Лу=О, хаев, у(0) =О, — „у; +Лу =О, х =1.
(18) Такую задачу мы будем называть смешанной краевой задачей. Найдем решение задачи (!8). Соответствующая (18) задача для разностного уравнения второго порядка имеет вид у(1+1) — 2гу(1)+у(1 — 1)=0, 1(Е(У вЂ” 1, у(0) =О, у(У вЂ” 1) — гу(У)=0, где г=1 — 0,5Лй'. Выделим из общего решения этого уравнения у(1) =с,Т1(г)+с,У1 „(е) рвшение, удовлетворяющее заданным краевым условиям. Используя (25) 2 4, получим у(0) =се — — О, у(У вЂ” 1) — гу(Ж) =с, (Е/~,,(г) — гУ~, 1(г)) = — сТн(г) =О.
Так как с, ~ О, то отсюда найдем Тн(г„) = О, где г,= соз , , й = 1, 2, ..., !ч' и, следовательно, собствен- (2А — 1) н ными значениями задачи (18) являются числа Нормированными собственными функциями задачи (18), соответствующими собственным значениям Лю являются / 2 . (2а — 1)сц ре(1)= ~ 1 з)п Сформулируем свойства собственных функций и собственных значений смешанной краевой задачи (18). 1) Собственные функции ортонормированы: (р, р ) =8,.
2) Для любой сеточной функции )(1), задайной на ее+ = = (х,= 1а, 1(1( М) (или на е, и обращающейся в нуль при 1 = 0) справедливо разложение ~(1) = — ~ ~рьз1п 2Н, 1=1, 2, ..., У, (21) "в=1 з* 67 где Р <р„= ~~ р;)(() з(п з, ', 1=1, 2, ..., У, (22) 1=1 а р, определено в (17). 3) Для собственных значений справедливы неравенства Если для уравнения (18) краевое условие первого рода задано на правом конце отрезка [О, 11, т. е. дана задача у;, +Ау=О, хбы, 2 — „у„+Лу=О, х=О; у(1)=О, то собственные значения определяются формулой (19), а нормированными собственными функциями являются ъ | 2 .
(2в — 1) (м — () п / 2 . (2в — 1) и(( — хч) рв(1)= у ( з1п з)о — — у ( з(п й=1,2, ...,У. Имеет место следующее утверждение. Для любой сеточной функции (((), заданной на ю- =(х, =-й, (=0,1, ..., У вЂ” 1, ЛУ=1) (или на а и обращающейся в нуль при (=У), справедливо разложение 7(У вЂ” 1)=-„~ ~р,з(п "', (=1, 2, ..., У, (24) 1=1 и ф,= ~', Рн,7(У вЂ” 1)з(п зу "', 1=1, 2, ..., У, (25) 1=1 а ре определено в (17).
Отметим, что построенные собственные функции задачи (23) также ортонормированы: (р р )=б 4. Периодическая краевая задача. Пусть на сетке ь) =(х; = й, О, ~ 1, ~ 2, ..), введенной на прямой — оо < х < оо, ищется нетривиальное периодическое с периодом У решение следующей задачи на собственные значения: у- +)у= — О, хай, кк ' ' (28) у ((+ Л') = у ((), ( = О, ~- 1, ~ 2, ..., Ь = 1!У.
Так как решение периодическое, то его достаточно найти при 1=0, 1, ..., У вЂ” 1. Расписывая (26) по точкам 1=0, 1, ..., У вЂ” 1 и учитывая, что у( — Ц=у(У вЂ” Ц, у(0) =у(У), получим сле- дующую задачу: у(1-(-Ц вЂ” 2гу(1)+у(1 — Ц =О, 0(1(У вЂ” 1, д(О) =д(У), д( — Ц=у(У-Ц, (27) где г =1 — 0,6ХЙ'. Найдем решение задачи (27). Подставим общее решение у(1) =с,Т;(г)+с,У,,(г) в краевые условия. Учитывая свойства полиномов Чебышева, получим следующую систему для определения постоянных с; и с,.' с, (! — Т„Я) — с, У,, (г) = О, с (Тм 1(г) — г) +сг (1+Ум ~ (г)) =О.
Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю. Вычислим его, используя для преобразований формулы (26), (29) и (ЗЦ 9 4. Получим (1 — Т~(г)) (1 + Ул, (г)) + (Тм, (г) — г)У, (г) = = 1 -(- У , ,(г) — гУ ,(г) — Т (г) + Т ,(г) У , ; (г)— — Т (г) У (г) = 2 [! — Тм(г)1 = О. Отсюда следует, что при г=гм где г„=сов —, Й=О, 1, ..., У вЂ” 1, (29) система (28) имеет ненулевое решение.
Таким образом, собственными значениями задачи (26) являются 4 . ~аа 4 . г аяа Ъ = —,з(п' — = —, з(п' —, Й=О, 1, ..., У вЂ” 1. (30) Получим теперь решение системы (28). Так как имеют место равенства Т„,;(гд) =гм 0(Й(У вЂ” 1, ( У вЂ” 1, Й=О, У/2, 1 — 1, Й~О, У!2, У, Й=О, У„,(,„)= — У, Й=-У~2, О, Й~О, У!2, то, подставляя (29) в (28), найдем следующее решение системы(28): а) для Й=О и Й= У!2 имеем с.,= О, с;=с,'м~О; 6) для Й~О, Й~У!2, 0(Й(У вЂ” 1, постоянные сг=с~', с,=с',и произвольны, но не равны нулю одновременно.
Отсюда 69 получим, что функции у (!)=с,'д'соз —,', й=О, )у!2, <ь 2Ьи <Ь . 2Ьи у (д) = с! 1 соз — + сд! 1 з)ив являются решениями задачи (27), соответствующими собственному значению Л„. Заметим, что в случае йчьО, й!!2 формулы (31) определяют в действительности две линейно независимые 2аид,~„. 2Ьи функции с,' 'соз — и с', 'з!и — ', каждая из которых является решением задачи (27) и соответствует собственному значению Л„.
Построим теперь нормированные собственные функции задачи (26). Отметим, что для периодических сеточных функций введенное ранее скалярное произведение можно записать следующим образом: (и, о)-„= ч'; и(!)о(!)й+0,5й~и(0)о(0)~ и(й!)о(!д1)!! с=д Ф-д = Х (')и(!) й. Рассмотрим два случая. Пусть сначала й! четное. Из (31) по- лучим, что собственными функциями, соответствующими Л, и Лд!!, являются р,(д)= !/ —,соз —, й =О, -/1 2ЬП У (32) Далее отметим, что из (30) следуют равенства 4.д(М вЂ” Ь)и4.даи 2,м д — — -з)п' йд !т йд !у = — з!пд — = Лд й=1,2, ..., — — 1. Выбирая в качестве собственной функции, соответствующей собственному значению Л,, функцию )д„(!)= у — соз —, 1<й< — 1 / 2 2аи! а! и функцию / 2 .
2аи! рм д(!)= 1/ — з!и— соответствующую значению Лм „= Л,, получим вместе с (32) полную систему собственных функций задачи (26). Итак, собствен- 70 ными значениями являются Л„, определенные в (30), а собствен- ные функции задачи (26) задаются формулами / ! 2Лп! рл(1) = 1/ — соз— / 2 2Лги рл(1) = )/ — соз— Г2 . 20У вЂ” Л)ги рл (') )/ — юп (зз) 2 + а! для случая четного й!. Отметим основные свойства собственйых функций и собственных значений периодической краевой задачи (26). 1) Собственные функции ортонормированы.
2) Любая периодическая с периодом й! сеточная функция 7(1), заданная на сетке л1, может быть представлена в виде и!2 и — ! 7(1) = ~ ~Х' рл<рл соз — + — ~~' <рлз)п у, (34) 2 2!оз! 2 . 2 (У вЂ” Л) и! л=о л=и(2+1 где и — ! <рл — ~ рл Г (г) соз —, 0 < й < —, 2Ии У г=о и — ! рл=-,~ ~(~)~~~ и —,+ < <~ — о с=о 1' 1 й 4- О, й!!2.
( 1!)Г 2, й = О, й!)2. (35) (Зб) ! (!) = Х 7лрл(!), гл — — (), рл) пРи замене гл — — — !рл. )Г2! М 3) Для собственных значений справедливы неравенства 0 = Ло ~ ~Лл ~< Лиж = Йъ, 0 ~ (й ~ (й! — 1, Рассмотрим теперь случай, когда У нечетное. В этом случае собственные значения задачи (26) определяются формулами (30), причем Ло=О и имеет место равенство Ли „вЂ” — Л, 2=1, 2, ... ..., (ло' — 1)72. 71 Формулы (34) — (Зб) следуют из разложения функции )".(!) по собственным функциям р„(!): Собственные функции, соответствующие собственным значениям ), определя)отея следующими формулами: .()= УГУ А=-О, ро (!) = у — соз —, 1 < /2 <: / 2 2/(л! л/ — ! (37) ро(!)= у — з)п,, —,.
</2<!)/ — 1. - I 2 . 2(/(/ — О) ги Л(-(-! где У вЂ” 1 АМ фо= ~~'„, Ро/(1)соз— (=О // — 1 2 (Л/ — й) л! (р,= (' 7" (!) з)п (=О О ~ ~/о < —, а ро определено выше, Собственные функции (37) ортонормированы, а собственные значе- 4 2Л ния 1(о удовлетворяют неравенствамО=)(о < )о<),, (=отсов~ О < /2 < Ф вЂ” 1. Кроме того, любая периодическая с периодом и/ (/Ч вЂ” нечетно) сеточная функция 7(!), заданная на сетке Й, представима в виде (Ф вЂ” 1)/2 // — 1 2 т~ 2ол!, 2 ч-~ . 2 (Л/ — /() л! 7 (!) = — ~ Роф„соз — + — ~ фаз(п о=о й=(/(+1)/2 ГЛАВА 11 МЕТОД ПРОГОНКИ В этой главе изучаются различные варианты прямого метода решения сеточных уравнений — метода прогонки.
Рассматривается применение метода для решения как скалярных, так и векторных уравнений. В 4 ! построен и исследованметодпрогонки для скалярных трехточечных уравнений. 4 2 посвящен различным вариантам метода прогонки, здесь рассмотрены потоковая, циклическая и немонотонная прогонки. В 4 3 рассмотрены монотонная и немонотонная прогонки для пятиточечных скалярных уравнений. В 1 4 построены алгоритмы матричной прогонки для двух.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
