А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Е) ', аг =, 1, !)2. (48) 1=1 Используя (48), умножение матрицы и! на вектор )' можно осуществить по следующему алгоритму: для )г=!, 2, ..., ! — 1 решаются уравнения С вЂ” 2 соз —.Е) Рв — — ал71; ( вп (49) где а„определено в (48), а результат а У' получается последовательным суммированием векторов к'„ а У'=,)'., в=1 (50) Заметим, что в силу (42) матрица С вЂ” 2 сов —,Е является неля ! вырожденной и, кроме того, трехдиагоиальной, если таковой была матрица С. В этом случае каждое из уравнений (49) решается за О(М) арифметических действий методом скалярной 119 Лемма 6. Пусть многочлен )„(х) степени и имеет простые корни. Отношение многочлена д„(х) степени т к многочлену 7„(х) степени и > т без общих корней может быть предсгпавлено в виде суммы и элементарных дробей л у (х) С П1 у (х) Д„(х) л' 1 х — х1 ' ! !' (хд трехточечной прогонки, описанным в й 1, Следовательно, на решение всех задач (49), а также на вычисление суммы (50) потребуется О(М1) действий.
Так как в (40) и (41) умножение матРицы ау на вектоРы осУществлаетсЯ дЛЯ 1=2, 3, ..., Л', то модифицированный метод матричной прогонки (40), (4!) и (49), (50) требует 0(МФ') арифметических действий. Итак, построен модифицированный метод матричной прогонки, позволяющий найти решение разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике с затратой 0(МУ') арифметических действий. Уменьшение числа действий по сравнению с исходным алгоритмом (39) — (41) достигнуто за счет учета специфики решаемой задачи. В последующих двух главах мы рассмотрим другие прямые методы решения указанной задачи и ей подобных разностных задач, которые будут требовать еще меньшего числа действий, чем построенный здесь метод. ГЛАВА 1!1 МЕТОД ПОЛНОЙ РЕДУКЦИИ В данной главе изучается метод решения специальных сеточных эллиптических уравнений — метод полной редукции.
Этот прямой метод позволяет найти решение разностной задачи дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике за 0 (Жа 1ойаУ) арифметических действий, где Ф вЂ” число узлов сетки по каждому направлению. В $1 дана постановка краевых задач для разностных уравнений, для решения которых можно использовать метод редукции.
В $ 2 изложен алгоритм метода для случая первой краевой задачи, а в 5 3 рассмотрены примеры применения метода. В $ 4 дано обобщение метода на случай общих краевых условий. 2 1. Краевые задачи для трехточечных векторных уравнений 1. Постановка краевых задач. В главе П для решения трехточечных скалярных и векторных уравнений были построены методы скалярной и матричной прогонок. Метод матричной прогонки для уравнения с переменными коэффициентами реализуется с затратой 0(МаЛ') арифметических действий, где Ф— число уравнений, а М вЂ размернос векторов неизвестных (число неизвестных в задаче равно Мтт). Для специальных классов векторных уравнений, соответствующих, например, разностной задаче Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике, был предложен модифицированный алгоритм метода матричной прогонки.
Этот алгоритм позволяет сократить число действий до 0(МУ'). Данная глава посвящена дальнейшему изучению прямых методов решения специальных векторных уравнений, к которым сводятся разностные схемы для простейших эллиптических уравнений. Будет построен метод полной редукции, позволяющий решать основные краевые задачи с затратой 0 (МУ 1ояаФ) арифметических действий. Если не учитывать слабую логарифмическую зависимость от ту, то число действий для этого метода пропорционально числу неизвестных МЖ Создание этого метода является существенным шагом в развитии как прямых, так н итерационных методов решения сеточных уравнений.
Сформулируем краевые задачи для трехточечных векторных уравнений, решение которых можно найти по методу полной редукции. Мы будем рассматривать следующие задачи: 121 1) Первая краевая задача. Требуется найти решение уравнения — Ув,+ СУ.— У.,= Еу, 1 <1< Л' — 1, (1) удовлетворяющее заданным значениям при 1'=О н /=У Уо Ео (2) Здесь Ут — вектоР неизвестных номеРа 1, Р— заданнаЯ пРаваЯ часть, а С вЂ” заданная квадратная матрица, 2) Вторая и третья краевые задачи. Ищется решение уравнения (!), удовлетворяющее следующим краевым условиям при 1'=О и 1=У: (С+ 2аЕ) У; — 2 У, = Р„1' = О, — 2Уч, +(С+2РЕ) У, =Гд, 1'=У, (3) где а)0, ~)0.
При а=~=О формулы (3) задают краевые условия второго рода. Мы будем также рассматривать комбинации краевых условий, например, когда при 1'=О задано краевое условие первого рода, а при 1 = Л' †третье или второго рода. 3) Периодическая краевая задача..Требуется найти решение уравнения — Ув , +С1~ — У,~, = Ру, которое является периодическим, У,+ — — У . Предполагается, что правая часть Р~ также периодична, Рк,+ — — Г. Эта задача формулируется в следующей эквивалентной форме: найти решение уравнения — У,+СУ вЂ” У „=У~, 1 <1<й! — 1, УР-~+СУо 11 — Ра~ ~я 1 о' К такого рода уравнениям сводятся разностные схемы для эллиптических уравнений в криволинейных ортогональных системах координат: в цилиндрической, полярной и сферической системах.
Помимо основного векторного уравнения (1), содержащего одну матрицу С, мы будем рассматривать первую краевую задачу для более общего уравнения — В3~-,+АУ~ — ВХ~+„— — Р~, 1(1(У вЂ” 1, Уо Ео ( с квадратными матрицами А и В. Подобного рода задачи возникают при решении разностной задачи Дирихле повышенного порядка точности для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Сформулируем требования на матрицы С, А и В, которые обеспечивают возможность применения метода полной редукции для решения поставленных 'задач (!) — (5).
Для задач (1) — (4) будем предполагать, что для любого вектора 1' справедливо неравенство (СУ, У))2(У, У), а для задачи (5) — неравенство (АУ, У)) 2(ВУ, У) ) О. Здесь используется обычное скалярное произведение векторов. 122 у»,», + у»ец = — 7 (х), х Е о>, у (х) = д (х), х Е у. (6) В й 4 гл. П было показано, что задача (6) может быть записана в анде (1), (2), где У~ — вектор размерности М вЂ” 1, компонентами которого являются значения сеточной функции у(1, 1) =у(х; ) во внутренних узлах 1-й строки сетки а: У~ —— (у(1, 1), у(2,1), ..., у(М вЂ” 1,1)), 0(1(Ь7. С вЂ” квадратная матрица размерности (М вЂ” 1)Х(М вЂ” 1), которая соответствует разностному оператору Л, где Лу = 2у — й,'у; „, й, ( х, ( 1,— й„ у=О, х,=О, 1,.
(7) Правая часть Р~ — вектор размерности М вЂ” 1, определяемый следующим образом: 1)для1 1,2,...,Ж вЂ” 1 г, = (й! р (1, 1), Ь» р (2, 1), ..., Ь1 р (М вЂ” 2, 1), Ь» р (М вЂ” 1, 1')), (6) где ~(1, 1) = р(1, 1)+-„',а(О, 1), ~р(М вЂ” 1, 1)=~р(М вЂ” 1, 1)+ — ',д(М, 1); ь»» 2) для 1=0, У Р1=(а(1 1). а(2 1) " а(М вЂ” 1,1)) Из (7) следует, что для рассматриваемого примера матрица С является трехднагональной симметричной матрицей. Рассмотрим более сложную разностную задачу, которая также записывается в виде уравнений (1), (2). Пусть на сетке а требуется найти решение разностного уравнения Пуассона у„-„~су»» =- — ц~(х), хам, (10) 123 2. Первая краевая задача. Изучение метода полной редукции начнем с описания сеточных краевых задач для эллиптических уравнений, которые могут быть записаны в виде специальных векторных уравнений (1) — (5).
Пусть на прямоугольной сетке в = (х, = (1Ь„1Ь,) Е 6, 0 ( 1 ( М, 0 ( 1 ( Ь1, й, = 1,1М, Ь, = 1,1У) с границей у, введенной в прямоугольнике 6=(0(х„(1,„, а=1, 2), требуется найти решение разностной задачи Дирихле для уравнення Пуассона удовлетворяющее на сторонах х, = 0 и х, третьего или второго рода 2 2 У» +Ух х = ~ -1У 2 — — у- +у- = — х // —. еь /к к, «,хк /Ь = 1, краевым условиям х,=о, (11) х,= 1„ (12) и краевым условиям первого рода пз сторонах х,=о, х»=1,: у (х) = у (х), х, = О, 1„0»- хк ( 1,.
Дл>/ того чтобы поставленная задача могла быть записана в виде (1), (2) с матрицей С, не зависящей от 1, необходимо предположить выполнение условия х»к =сопз1. Сведем эту задачу к (1), (2). Для этого умножим (10) — (12) на ( — /ь) и распишем разиостную производную у„-, по точкам для всех !=1, 2, ..., Л/ — 1. Получим следу/сшпе уравнения: 1) для 1=0 — у(0, 1 — 1)+ 2 ~(1+ — „' я„,) д(О, 1) — — '!/„(О, !)1— 1 ! — у(0, 1+1) =- Ь)/г(0, !); 2) для /=1,2, ...,М вЂ” 1 — у(!, 1 — 1)+12у(1, 1) — Ь«ух х ('~ 1)1 у(' !+ !) =!к/Г(0 !)! 3) для /=М /Р Ь,' (м ! )+2 й + «) у(м, 1)+ — ьу- (м, 1)1— д(м, 1+1) — Ь»«/р(м 1) Обозначим )!=(у(о, !), У(1, О, ..., У(м, !)), 0<1~/ч, у! =- (Чч (О, 1) Ф (1, 1'),..., ~Ф(м — 1, 1), ь,' р (м, 1)), (! з) 1 ( ! ( Ь/ — 1, ~;=(а(О, !), У(1, 1), ...,а(М, 1)), !=О, Ь/.
В этих обозначениях полученные уравнения записываются в виде (!), (2), где квадратная матрица С размерности (М+1) х ьг(М-1-1) соответствует разностному оператору Л: 2 (1+ — к,) у — — д». х,=о, 2у — Ь,'у-, „, Ь ( х, (1, — Ь„ 2 (1+ — 'х„,) д+ /,' у-,, хк=1к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
