А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Так как матрицу С, », можно записать в виде С, »,=С вЂ” 2соз (21 — 1) оо, 7 Е=-В-' ~А — 2соз (21 — 1) оо в), 2» 2" то формулы (18), (19) 2 2, определяющие первый алгоритм, при- нимают следующий вид: з» Я'»-'1= ~Чо' СО, », (А — 2 СОЗ В) В (р)",'„~, +р~~~,»~,), !=! р)»'=0,5(р/» о+В/» "), /=2», 2.2», ..., У вЂ” 2», й=1,2, ..., и — 1, В)7(~е = »-7, 2» (21 — 1) и т-» К7 — — ~ (А — 2соз — В) В[р) "+ 1=» ' ,2» +«и»-д (15-о»-о+ 1 1»о»-~Н~ Уо=/ео Г,т=Р»» /=2» ' 3 2» ' ° ° Л» — 2' '. 147 Го = Ро, Ул = Рл, 1 = 2о-», 8.
2'-',..., И вЂ” 2' ', й = п, и — 1,...,1. Полученные формулы порождают следующие изменения в пер- вом алгоритме: формула (2!) 2 2 заменяется на !о-м !"-»! у=В(р..о .+р;,, - ), а вместо уравнений (22) решаются уравнения ( А — 2сов В)е,=а! о »ор (21 — 1) л 2о с вычисленным ор. Аналогично (24) заменяется на ор=В(У' о»- + $"у.„оо- ), ф=р)о '>, а вместо (25) решаются уравнения ( А — 2сов В)ео=ор+а! о »ор. (21 — 1) л 2о Следовательно, для рассматриваемой задачи основным этапом алгоритма является решение уравнений вида А — 2соз В) Р=Р' (- (21 — 1) л 2о (8) с заданной правой частью Р.
Используя определение матриц А и В при помощи разностных операторов Л и Л„получим, что (8) эквивалентно нахождению решения следующей разностной задачи: 2 (1 — сов ) о — — '+ — сов о- = ~, (9) (21 — 1)л~ »»вао о)»! а»+Ьо~ (21 — !) л! 2о ~ ( 6 6 2" 1((~М вЂ” 1, о,=ем=О. 148 Чтобы избежать обращения матриц В при задании р)" и умножения р';" " на матрицу В при вычислении У", сделаем замены, полагая р';о'=Вр'", В)м!=ВЗ)о!.
Тогда с учетом перестановочности матриц А и В, а следовательно, и матриц (21 — 1) л А — 2 сов В) и В, написанные выше формулы примут 2о вид (черта сверху у р';и и В)о! опущена): В»о-»! )~а, „, (А — 2 сов „В) В(р<о-»! 1 р(о-,!»1,) (21 — 1) л 1-о»»-» !=1 р!!д!=0,5(р)о "+51!о "),1=2",2.2о,..., Ж вЂ” 24, 2=1,2,...,л — 1, р~и —= р оо-» У; = ~(А — 2сов В) [Р';! о+а! о »В(У,о-»+У;,о,!- )1, 1=! Расписывая это уравнение по точкам, получим первую краевую задачу для скалярного трехточечного уравнения — 1,+ 1 —;„=6|„1<(<И вЂ” 1, ою ом 0 где а=-2 ~1+Ь (! — сов~,~")~, вью — Ью+(Ью+Ью) соя ю ю (21 — 1)и' 2ю Разностная задача (!0) может быть решена методом прогонки, который будет численно устойчив, если выполнено достаточное условие (а!) 2.
Покажем, что для любых Ь, н Ь, это условие выполнено. Действительно, если Ь, и Ь, таковы, что выполняется неравенство (21 — !! и 1 — ссай лю аа 5+ сою (21 — 0 и 2ю (11) $4. Метод полной редукции для других краевых задач 1. Вторая краевая задача. Выше был изучен метод полной редукции решения первой краевой задачи для трехточечных векторных уравнений. Изучение метода для более сложных краевых условий начнем с рассмотрения второй краевой задачи. Пусть требуется найти решение следующей задачи: С1'ю — 2Ую=Р'ю, /=О, — У,,+С~,— '~;„,=й;, ! <1<й( — 1, (1) 23~~д +Сююч=Ед )=й( где Л' = 2", а > О.
то 0 < 6<со и, следовательно, а > 2. Заметим, что при равенстве в (1!), коэффициент при о„-„в (9) обращается в нуль, и и может быть найдено из (9) по явной формуле. Если (11) не выполнено, то для Ь верна оценка 6 < — 6(((1 — сею ( "), и, следовательно, а < — 10. Утверждение доказано. Итак, для решения разностной задачи Дирихле повышенного порядка точности можно применить метод полной редукции с оценкой 0(МЬ(!одюЛО арифметических действий.
Процесс последовательного исключения неизвестных в (1) осуществляется так же, как и в случае краевых условий первого рода. Именно, для четных 1 будем иметь уравнения — Уу о+С">К вЂ” Г~,,о — — Г(1), 1=2, 4, 5..., У вЂ” 2, (2) а для нечетных 1 — уравнения С(о>1'.=Г(о)+); 1+ Р;+„1=1, 3, 5, ..., А1 — 1, (3) где, как и раньше, используются обозначения Г(1) Г(о) + С,о>Г(о) + Г(о) Со> ГС(оно 2Е » '+>о С(о> С Г(о) — Г > I' Непреобразованными остались уравнения системы (1) лишь для 1=0 и 1=А>. Исключим из указанных уравнений неизвестные 3~ с нечетными номерами 1. Для этого используем два соседних уравнения. Выпишем уравнения для 1= 0 и 1= 1: С"'1' — 2Г>=Г>оо>о — 1» +С(о>У 1'о= Г1(о> ° Умножим первое уравнение слева на С"', а второе — на 2, сложим получающиеся уравнения и найдем С" > г'; — 2 г", = Г,", (4) где Г,'"=См>Г«е+2Г(о>.
Аналогично полУчим УРавнение — 2К») о+С">1»,о — — Г('>, (5) где Г()) = 2ГТ (+ С">Г~м'. Объединяя (2), (4) и (5), получим «укороченную» полную систему уравнений для неизвестных с четными номерами 1, имеющую аналогичную (1) структуру: С(о)>; — 2Г»=Го>, 1=0 и группу уравнений (3) для неизвестных с нечетными номерами 1.
Продолжая описанный процесс исключения неизвестных дальше, после и-го шага исключения получим систему для Го и, Г)о. Сы'~'о — 2~Ъ= Го о — 2Г»+С'"'~'л = Г)7' (5) и уравнения для определения остальных неизвестных: С(»-1>Г =Г(,'-1)-(-1; о»-,+ К,+о» ., (7) (= 2»-1 3.2»-1, 5.2»-1 ..., й7 — 2»-1, й =п, и†1, ..., 1, 160 где Р)"! и С'»' определяются рекуррентно для й=-1, 2, ..., и: Г'»!=С!» "Р'" »!+2г"':" в » р !»-~в Г'"=Р" " +Се» »!» +»т'~ " / (-»»-з 7 !.!»»-а! ! =2", 2.2», 3 2», ..., йг — 2», Р!~!=2Р'~; +С'» оР!~ " »!»! !»-» »! > С»'='1С!» »!1» — 2Е. Итак„нужно решить систему (6) и затем последовательно из уравнений (7) найти все остальные неизвестные. Здесь, как и во втором алгоритме метода полной редукции, применяемого в случае первой краевой задачи, вместо векторов Р)~! будем определять векторы р'; ' и !7) ', связанные с Р) ! соот- ношением Р)"' = С"'Р,'"'+»71", 1=0, 2", 2 2», 3 2», ..., Л! — 2", Ф, я=О, 1, ..., и.
(9) Из (8) найдем, как и раньше, что р!'> и !7!»> для 1~0, Ф могут быть найдены по формулам С» о5'. — !71 0+Р!' ',! +Р!» м, ! ! !»»-! !,,»-!' Р!») — Рм-1) 1 Я!» 1) ! ! ! г7!»! = 2РР)+ !7!»-'! + ц!» ! ! !-2» ~ !»!» 1=2», 2.2», ..., !У вЂ” 2», Й=1, 2, ..., а — 1, !70! — Р фо) — 0 ! !' 1 Итак, векторы р,'»' и 4" могут быть найдены по следующим рекуррентным формулам: С!»-!!о'» о! = о!» »!+ 2Р!»-'), о =»» + Р,»-! <и и-и ~ с!»-»! !7'» 2Р!»~!+2!ф „, 1=1, 2, ..., п, 7=Р Р=О (11) 151 Найдем теперь формулы для р<»' и !7)»! при 1'=О, й!. Подставляя (9) при 1'=О в (8) для Р',', получим СмРо, '+ !7а ' = С!» и ~!?1 '!+ 2Р!»»-',!+ См-'!Р»м-о~+ 2!7!»»»-,> Выбирая !7!»»!=2р»!»!+2!7!»»,! и учитывая равенство (12) п.
1 й 2, найдем уравнение для Р!»! С~о- ~Р!' — С!»- ~Р,о-о+ 9,а- !+2Р!»»-»!. <у(п) и Формулы для р<„",> Сел " и д<з)> получаются аналогично: Я(л-'> = д('-'>+ 2р('-'> л( (< рл,п->' рф-»+ 5<л-<) 2Р<л>+ 2д(л-»п,, й = 1, 2, ..., а, (12) Итак, формулы (!()) — (12) позволяют полностью найти все необходимые иам векторы р<л> и д<">. Осталось исключить Р<'> из ! ) ! (6) и (7). Подставляя (9) в (7), получим следующие формулы для вычисления Ссп >а<>п- »= д'ь- <>+ $),а-ь+ У(п,л-., уп р(п- >)+у(е-м (13) ! =2" ', 3 2" ', 5.2' ',, (У вЂ” 2" ', й=п, п — 1, ..., 1.
Осталось найти Кп и У')) из (6). Но прежде заметим, что из (11) и (12) при )<==-и следуют равенства д~о"' 2рпп'+2д<п-(> <у<л) 2р<л> +2д<лл:>п>п т. е. д' ' — д9' = 2 (р',и' — р'и>). (14) Далее из (9) и (14) получим, что р~' — р("> =С<">(ру' — р<,",>)+ д~' — др= (С< >+2Е) (рр — р(». Учитывая формулу (12) п.1 З 2, окончательно будем иметь: Р;" — Р(>=(С вЂ” >) (р," — р<„». (15) Воспользуемся полученным соотношением для нахождения У>; и Г из (6).
Вычитая из первого уравнения системы (6) второе, учитывая (15) и равенство (12) п.1 9 2, получим, что (С. +2Е)(У> — У;,)=(С вЂ” 1(~ — У )=Рп — Р<. = [С< ) (рР— р<п». Считая, что С'и "' — невырожденная матрица, отсюда найдем ~;= у„+рй" — р~„">. (16) Подставляя найденное У; во второе уравнение системы (9), получим уравнение для нахождения у'л,: >><л>уп р(и) 1 2 (р(л> р(п» >>(л>р<п)+д(л) 1 2 (п> где В'п>=См> — 2Е. Следовательно, если обозначить Ф(л>= Гр — р<л>, то уп можно найти, решая уравнение Вм>1(">=д(">+2р7' (Г =рм>+Ф<"».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
