А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Выпишем редуцированную систему, получаемую в результате и-го шага процесса исключения неизвестных и группы уравнений Са» 1'7 лл г>й 0+ Г>->» — + 1';+л -, 1=2ь->, 3 2' ', ..., й> — 2" ', й=л, и — 1, ..., 1 для последовательного нахождения неизвестных Уу Здесь правые части Р ' определяются по рекуррентным формулам: ЕД>=Е)':,ьм>- +См»Г," "+Г1>',Йм а матрицы С,'~>, С,'"' и Сцо — по формулам: См>=(См»~' — 2Е, Й=1, 2, ..., п — 1, С>о>=С С(»=Со "С(> "— 2Е й= 1, 2,..., и, С>л>=С+2>хЕ, (39) С',~>=См»С>»> "— 2Е, й=!, 2, ..., и, С,'л>=С+2РЕ. Из системы (6') получим уравнения для определения К, и У .
Из (39) можно получить, что С',", С,'» и Сцч суть матричные полиномы степени 2" относительно одной и той же матрицы С. Следовательно, они перестановочны. Поэтому из (6') получим уравнения 121>л+о )л Е>л.»> о о > С>>л'У~>= Е>л>+2Ул (40) и эквивалентные им уравнения й»<л+» у Е>ли> и ю СГ'У, = Е',"'+ 2 Га>, (40') где обозначено Р>л>о С>л> Е>л>+ 2Е>л> (41) Е>л+о 2Е>л» С>л>Е>л> Л> = л -»- л (42) Ю>л+и С>>л>С>>л> 4Е СсоС>л> 4Е (43) Итак, для нахождения У, и У;ч можно воспользоваться уравнениями (40) или (40').
Будем использовать (40). Вместо векторов Е)ь> будем определять векторы р)ь> и й)ь>, связанные с г)"> следующими соотношениями: Ео' =С> Ро' +Чо'> (44) (45) Е>л.»> л>>>л+» >л+и > <л+и (46) О Е =С р,"+7,', (47) )=2л, 2 2ь, ..., й( — 2", Й=О, 1, 2, ..., и — 1.
158 Получим рекуррентные формулы для р)»' и ф'. Если у ныл, Лу, то из (36), (39) и (47) получим, предполагая, как и раньше, не- пырожденность матриц С'» ", следующие формулы: С'» 5/ =~?! +Р)-ъ»-ъ+Р)л.»»-ч, ~?л а-о ! уг-о р/ р! (48) 1=2", 2 2», ..., М вЂ” 2», У»=1, 2, ..., и — 1, уп~=Р, р"~=0. I=?'! Найдем формулы для р',»' и ф' прн ?»=О, 1, ..., и+1. Под- ставляя (44) и (47) в (37), а (44) — (46) в (41), получим для ?»=1,2,...,п С("р'~'+ 4м — ' =- С~» о (С1 ~яр~о 11+~у~о" о+2рг~:1)+2ф.,»:У (49) и для у»=п+! У>~л+ор<л»о ! ~у<л»о =С(ю(Сдл)р<л! ! 1?<л1 ! 2р~л>) ! 2д<л1 (50) ВыбеРем»?л»' и Дл'"~о по фоРмУлам ~у<л+о 4фл.
о+ 2~у~л> (51) и используем вытекающие из (39) и (43) равенства С(М+2Е=С» "С(» о Юл+м+4Е=С»лСл' Тогда (49) и (50) при условии невырожденности С<"-и и С<л' можно записать в виде единого уравнения "Р' '=С'» "Р'» "+ч' ' +2рм-- ?» = 1, 2, ..., п+ 1. Объединяя эти уравнения с (51), получим окончательные формулы вычисления р," и ф': С~»-оЯ~»- ~=д~»-~~-! 2р гу'л'о = 4рал+о + 2(у»п у, =р„рр=о. Аналогично, используя (45), (47), рекуррентные соотношения (38) и (39), получим формулы для вычисления рф и д)г»1: С" оо" "=чг» о-)-2Р'" '»'-, гун»' = 2рм»'+ Ъу~~ -~-~~- У» = 1, 2,, п.
у. — Р, РУ-О. 159 Осталось исключить Р)4> из (35) и (40). Подставляя (47) в (35), а (45) и (46) в (40), получим следующие формулы для нахождения ус 121<о+»Уа+» л>л+» У >лом > с<л+о (54) (55) С>4 >>Я)4->> 14-о+ у' 4, + Г 4 у=р1 (56) 1 =24->, 3 2' ', ..., М вЂ” 2"-', й=п, и — 1, ..., 1.
Итак, формулы (48), (52) — (56) описывают метод полной редук- ции решения третьей краевой задачи (34). Замечание 1. Если для нахождения У, и Уч использо- вать уравнения (40'), то, вводя вместо р,'""' и ауа>лы> векторы р>л+» и аум>о», связанные с Р9"> соотношением Р>ло>> 1я1>л+>> >ло>» >ло>> получим из (38), (42), (44) н (47) следующие формулы для на хождения р~4> и ф Со>4->>ЯФ- > ау>4->>+2р~~~ >>4-, РФ=Р'~и "+Я ", й=!, 2, ..., и+1, ЧУ'= 2Р)м+М-в~- Й=-1, 2, ..., и, (53') ау'л+>' = 4р)ч+»+ 2ау>ал' дР'= Р„, р)У =0. Формулы (53') заменяют (53).
Так как в этом случае вектор Г>л " и, следовательно, векторы р,'л"' и ау,'л"' вычислять не нужно, то формулы (52) заменяются на следующие: С> Са = ауао + 2рао-"' Ро" =Ро + Юо уи =Р„рч=о. (52') Из (35) и (40') получим формулы для нахождения Зла и Ул~: йй'л+»5'ло» =ау>л"» 1' =р'л" +54л> "» (55') С<л>Я>л> ау>л> 1 2 Ул Ул р>л> + Я>л> (54') Остальные неизвестные находятся согласно (56). Таким образом, формулы (48), (52') — (55') и (56) также можно использовать для решения задачи (34).
Замечание 2. Если У;ч задано, т. е. вместо (34) нужно решить краевую задачу 100 (С+2 г) У"а — 2)л>= Р„ — К', + С К' — У'>.„= К, У'а> = Р~ч, 1=0, 1<у<и — 1, у =уо', !о метод полной редукции в этом случае описывается форму- ламп (48), (52'), (54') и (56).
Если же задано»'„т. е. решается задача — 1'~, + С Ут — )'ул., =- Е~, 1 < 1< А! — 1, — 2У -1+(С+МЕ) 1'Л =ЕЛ !=А!, )'»=Р„ то метод описывается формулами (48), (53), (55) и (56). 3.2. Факторизация матриц. Из (39) и (43) следует, что С',"', С',»' и С'»' являются матричными полиномами степени 2», а Ж>!а+11 — степени 2""' относительно матрицы С с коэффициентом, равным 1 при старшей степени. Имея в виду необходимость обращения этих матриц, факторизуем их. Для этого получим явное представление для этих полиномов через известные поли- номы и изучим вопрос о нахождении корней указанных полиномов.
В п. 2 9 2 было показано, что С'»' выражаются через полипом Чебышева первого рода следующим образом: С'»'=2Т,» ( — С), !»=0, 1, ... т! (57) Далее, из соотношений (39) найдем С!») См! СЯ-1! ГСм-1) С!»-1!! 1 1 1 »-! »-! ... = Ц С'о[С!е — С!а!1=2аП С'1'. (58) 1=О '1ьа Так как имеет место равенство ПС'о=П 2Т»1(з С)= — Уа» 1(з С), где У„(х) — полипом Чебышева второго рода, то из (58) получим следующее представление для С',"'.
С,'»'=2Т,» ( — С)+2ссУ,», ( — С), Й=Оэ 1, ° ° ° (59) Аналогично получим представление для С,'»'! С,'»'= 2Т,» ( — С)+2~У,», ( — С), Й=О, 1, ... (60) Далее, подставляя (59) и (60) в (43), будем иметь Ж>!в+11 = 4 !)Та» ( З С) ~ — 4Е + +4(а+ЯТ»» ( — С) У,»,( — С)+4сф [У,~, ( — С)~ . (61) Так как имеет место равенство 1 — Т„(х) = У„, (х) (1 — х'), Ь а. Л.
Самар»лай, В. С. На»ааааа (62) 181 то из (61) получим Ям+о=Ух. г ( —,С) ~(С'+4арŠ— 4Е) Уз, ( — С)+ + 4 (сс + ~) Т,п ( — С ~ Итак, представление для С'а', С',"', С!~' и Юш+ы через известные полиномы получено. Так как корни полиномов Чебышева первого и второго рода известны, то из (57) и (62) получим еа х»- ! й>ш+ы= Д (С вЂ” 2соз — „Е) ~~(С'+4сфŠ— 4Е)(7,, ( — С)+ г ! ( 2а )1 +4(а+й) Та (2 С)~ . Поэтому отсюда и из (59), (60) следует, что нам осталось найти корни полиномов который порождает полипом йэш'г~.
Эта задача может быть решена дв>мя способами. Первы>! путь состоит в использовании одного из методов приближенного нахождения корней поли- нома, второй путь — в сведении этой задачи к проблеме нахождения всех собственных значений некоторых трехдиагоиальных матриц. Остановимся подробнее на втором способе. Обозначим через оа(Л) следующий определитель й.го порядка: Л+2а200....0000 1 Л 1 0 .... 0 0 0 0 0 1 Л 1 .... 0 0 0 0 в (л) = 0 О О О 1 Л 1 О 0 000 01Л1 0 000 00!Л и положим Ях(Л)=Л+2а.
Из опоеделения иструктурысоответствующейоа(Л) матрицы найдем рекуррентные соотношения для Яа(Л): За+, (Л) = — ЛЯь (Л) — ба г (Л), й) 2, Ва(Л)=ЛУх(Л) — 2, Юх(Л)=Л+2а, (601 1ч2 Р (!)=2Т (2)+2а(7, ( — ), (е,„(1) = 2Т„( 2 ) + 2Р((о- г ( 2 ), т=2а, 1=0, 1, ..., и — 1, которые соответствуют матричным полиномам С',"' и С!ь', и корни полинома Рель~ (1)=-(! +4сф — 4)(ге» г (2)+4(а+(!)Тех (~), (64) 11 ппЛЬЗУЯ РЕКУРРЕНтиЫе саотнаШЕНИЯ Дла ПалииаМав Чебышева (см. п. 2 ', 1гл.!) Тл+ ъ (х) = 2кТп (х) — Тп- т (х), То (х) = х, То (х) = 1, 6С,по, (к) =2к(Г„(к) — У„, (х), Е/~ (к) =2х, ЕУ~ (к) = 1 и соотношения (65), получим представление 3 (Л) через полиномы Чебышева: 8 (Л) =2Т ( — ! + 2сс(гл-, ( — ), и) 1.
Сравнивая это выражение с (63), находим, что корйн палинама (ои (г) совпадают с корнями определителя Я (Л), зависящего от Л как от параметра. Задача нахождения корней 5 (Л) эквивалентна задаче нахождения таких значений параметра Л, при которых система алгебраических уравнений ус с+Лу;+усе»=О, 1~(~т — 1, (Л+2сс) до+ 2уо =О. с = О. (66) Упо= 0 имеет ненулевое решение. Дадим другую запись для (66) . Используя обозначение для второй разностной производной 1 ! у = — Гук; — у- 1= — (ус+о — 2У;+у; о), ккс Й ~ ' кои по перепишем (66) в следующем виде: уу + ру=О, 2 2сс Ук+ У+ру=О с=О, ум=О, й йо где Л и р связаны ссютношением Л=рй' — 2. Итак, для нахождения корней полинома Ссо ' достаточна решить задачу (66') для ш=2», А=О, 1,... По аналогии с вышеизложенным можно показать, что корни полинама С',1, (1) находятся из решения задачи д- +ру=О, 1~(~ш — ' У" + У+рУ=О (=ш Уо=О, (6Л й к 'ло причем соотношение Л=рйо — 2 определяет эти корни.
Для нахождения корней полинома Вол+, (г), определенного в (64), нужно решить следующую задачу на собственные значения: Уйк+ру=О 1~1~2л 2 2сс — у + — д+ру=0, 1=0, й Ьо (68) 2 26 — — у-+ — у+ру=О, о=2", й " Ьо а корни найти из равенства Л=рйо — 2. Отметим, что для решения задач (66) — (68) можно использовать известный ф!-алгоритм решения полной проблемы собственных значений.
ГЛАВА!Ч МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В главе изучаются варианты метода разделения переменных, который применяется для нахождения решения простейших сеточных эллиптических уравнений в прямоугольнике. В б ! излагается алгоритм быстрого дискретного преобразования Фурье действительных и комплексных функций. В з 2 рассмотрен классический вариант метода разделения переменных, использующий алгоритм преобразования Фурье. В б 3 построен комбинированный метод, включающий в себя неполную редукцию и разделение переменных. Рассмотрено применение этого метода к решению разностных краевых задач для уравнения Пуассона второго и четвертого порядков точности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
