А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

При этом за приближенное решение задачи принимают решение, полученное после конечного числа итераций. Универсальность итерационных методов заключается прежде всего в том, что они позволяют решать не одну конкретную задачу, а класс задач, обладающих определенными свойствами. Эти свойства определяются не структурой сеточных уравнений, а общими функциональными свойствами.

Поскольку в большин- стве итерационных методов конкретная структура уравнений не используется, то теорию итерационных методов можно строить с единой точки зрения, рассматривая в качестве исходного объекта исследований операторное уравнение первого рода Аи=1, где А — оператор, 1 — заданный, а и — искомый элементы некоторого пространства Н. Прежде чем переходить к построению и исследованию итерационных методов, дадим краткий перечень сведений из функционального анализа (без доказательств). Линейным пространством над полем К действительных или комплексных чисел называется множество Н, для элементов которого определены операции сложения элементов и умножения элемента на число из поля К, причем выполняются следующие аксиомы (х, у, г — элементы из Н, Л и р — числа из К): 1) обе операции не выводят из Н; 2) х+у=у+х, х+(у+е)=(х+у)+г (коммутативность и ассоциативность сложения); 3) Л (рх) = (Лр) х (ассоциативность умножения); 4) Л (х+у) = Лх+ Лу, (Л+ р) х = Лх+рх (дистрибутивность умножения относительно сложения); 5) существует однозначно определенный элемент О такой, что х+О=х для любого хЕН; 6) для каждого хЕН существует однозначно определенный элемент ( — х) Е Н такой, что х+ ( — х) = О; 7) 1.х=х.

В зависимости от того, на какие числа, вещественные или комплексные, дойускается умножение элементов Н, мы получаем веа1ественное или комплексное линейное пространство. В линейных пространствах можно ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости элементов. Элементы х„х„..., х„линейного пространства Н называются линейно независимыми, если из равенства Л1х1+Лдхд+... +Л„х =О следует, что Л, = Л, = ... = Л„ = О.

Если, наоборот, найдутся не все равные нулю Л„Л„..., Л„такие, что имеет место (1), то .элементы х„х„..., х„называются линейно зависимыми. Пространство Н называется п-мерным, если в Н существуют и линейно независимых элементов, а всякий (и+1)-й элемент линейно зависим. Непустое замкнутое множество Н, элементов линейного пространства Н называется подпространством, если вместе с элементами х„х„..., х„множество Н, содержит любую линейную комбинацию Л,х,+Л,х,+...

+Л„х„этих элементов. л13 Сумма конечного числа подпространств Н„Н„..., Н„есть множество элементов вида х=х,+х,+... +х„, хгЕНн !=1, 2, ..., и. (2) Пусть Н„Н„..., ̈́— подпространства, принадлежащие линейному пространству Н. Если каждый элемент хЕН однозначно представим в виде (2), то говорят, что Н есть ггрямая сумма подпространств Н„Н„..., Н„, а выражение (2) называется разложением элелгента х по элелгентам из Н„Н„..., Н„. Будем иметь в этом случае Н = НЯН,Я... г+гН„. Нетрудно показать, что если Н=НЯН„то Н, и Н, имеют общим лишь нулевой элемент пространства.

Обратно, еслй любой элемент хЕ Н может быть представлен в виде х =х,+х„х, ЕН„ х, Е Н, и Н,ПН,=О, то Н=Нг~+~Н,. Линейное пространство Н называется нормированным, если для каждого элемента хЕ Н определено вещественное число (х(, называемое нормой, которое удовлетворяет условиям: 1) (х() О, причем 1х(= О, если х = 0; 2) )х+у()<(х)+(у( (иеравенство треугольника); 3) (Хх!/=(Х(')х//, Л вЂ” число. Последовательность (х„) элементов линейного нормированного пространства Н называется сходящейся к элементу хЕН, если (х — х„( — 0 при и — оо.

Если 1х„— х ( — 0 при и, т — оо, то последовательность (х„) называется фундаментальной. Линейное нормированное пространство Н называется полным, если всякая фундаментальная последовательность (х„) из этого пространства сходится к некоторому элементу хЕН. Полные линейные нормированные пространства называются банаховыми пространствами. Всякое конечномерное линейное нормированное пространство полно.

Подпространства нормированного пространства нормированы естественным образом. Одно и то же линейное пространство можно нормировать бесконечным множеством способов. Пусть в линейном пространстве двулгя различными способами введены нормы (х), и (х),. Если существуют такие постоянные 0 < т < М, что для любого хЕ Н верны неравенства т(х(г <(х(,< М(х'1„ то нормы называются энвивалентными. Отметим, что в конечно- мерном пространстве любые две нормы эквивалентны. Если в линейном пространстве введены две эквивалентные нормы, то из сходимости некоторой последовательности (х„) в одной норме следует сходимость и в другой.

Пусть Н вЂ линейн вещественное (комплексное) пространство, и пусть любым двум элементам х, у из Н сопоставлено вещественное (комплексное) число (х, у) такое, что: 2!4 1) (х, у) =(у, х) (симметрия); 2) (х+у, г)=(х, г)+(у, г) (дистрибутивность); 3) ()!х, у) =)!(х, у) (однородность); 4) (х, х))0 для любого хЕН, причем (х, х)=0 тогда и только тогда, когда х=О.

Число (х, у) называется скалярным произведением элементов х и у. Черта сверху означает переход к комплексно сопряженному числу. Линейное нормированное пространство Н, в котором норма порождена скалярным произведением (х) = )/ (х, х), называется унитарным пространством Н. Полное унитарное пространство называется гильбгртогым. Конечномерное унитарное пространство является полным.

Для скалярного произведения справедливо неравенство Коши — Буняковского )(х, у))()х11у(/. Элементы х и у унитарного пространства называются взаимно ортогональными, если (х, у) = О, Элемент хЕН называется ортогональным надпространству Н, пространства Н, если х ортогоналеи любому элементу уЕ Н,. Множество Н, всех элементов х Е Н, ортогональных подпространству Н, пространства Н, называется ортогональным дополнением подпространства Н,.

Заметим, что ортогональное дополнение само является подпространством пространства Н. Пусть Н, †произвольн подпространство пространства Н, а Н, †ортогональн дополнение. Тогда Н есть прямая сумма Н, и Н„Н=НЯН,. Следовательно, каждый элемент хЕН представляется единственным образом в виде х=х,+х„х„Е Н, и = 1, 2, причем (х„х,) = О. Система х„х.„..., х„, ... элементов пространства Н называется ортогональной системой, если (х„, х„) = 6„„, т, п = 1, 2,..., где 6 „— символ Кронекера, равный единице при т=п и нулю при тФп. Если не существует элемента хЕ Н, отличного от нулевого и ортогонального всем элементам ортонормированной системы Ф (х„), то эта система называется полной.

Ряд Фурье ~ олхм где ь=! сл —— (х, хл), й=1, 2, ..., построенный для любого хЕН по полной ортонормированной системе (х„), сходится к этому элементу, и для любого хЕ Н имеет место равенство В !)х)~'=(х, х)= )„"сь'-. 2. Операторы в линейных нормированных пространствах. Пусть Х и К вЂ” линейные нормированные пространства. Говорят, что на множестве Ю~=Х задан оператор А со значениями в 1' (оператор, действующий из Ы в У), если каждому элементу х Е.'6 поставлен в соответствие элемент у = Ах Е 1'.

Множество Ю 2!5 называется областью определения оператора А и обозначается через Ж>(А). Совокупность всех элементов уЕ'г', представимых в виде у=Ах (хЕ!й!(А)), называется областью значений оператора А и обозначается !шА. Если Я(А)= Х, (шА<=Х, т. е. оператор А отображает Х в себя, то говорят, что А — оператор в Х. Если <6(А) =Х, !т А=Х, т. е. оператор А отображает Х на себя, то говорят, что А — оператор на Х. Оператор А называется линейным, если Ю (А) — линейное многообразие в Х и для любых х„х, Е !е>(А) А (Х,х, + ),,х,) = Х,Ах, + Х,Ах„ где Х; и Х,— числа из поля К.

Линейный оператор А называется ограниченным, если существует такая постоянная М > О, что для любых х ЕЮ(А) (!АхЦ(М((ХДДо (3) где!~ Д, норма в Х, Д Д,— норма в !'. Произвольный нелинейный оператор А называется ограниченным на Ю(А), если зцр ДАхД,< оо. кчй он Для линейного оператора А наименьшая нз постоянных М, удовлетворяющих условию (3), называется нормой оператора и обозначается ДАД. Из определения нормы следует, что ДАД= зцр ДАхД, или ДАД=зцр Д 4хИь /!х ь=! х,ьь — дхД, ' Отметим, что в конечномерном пространстве любой линейный оператор ограничен. Пусть А — произвольный оператор, действующий из Х в )'.

Оператор А называется непрерывным е точке хЕХ, если из условия Дх„— х(!, О (х„ЕХ) следует, что ДАх„— — Ах Д, — О при и — оо . Линейный ограниченный оператор непрерывен. Произвольный оператор А удовлетворяет условию чипигица с посгпоянной д, если ДАх,— Ах,!!2(дДх,— х,(!„х„х,ЕЖ>(А). (4) Любой линейный ограниченный оператор А удовлетворяет условию Липшица (4) с д=-(!АД. Пусть А — произвольный оператор, действующий из Х в У.

Линейный ограниченный оператор А'(х) называется произеодной Гата оператора А е точке х пространства Х, если для любого гЕХ !)ш'д " ' — А'(х)г ( =О. При этом область значений оператора А' принадлежит г, Если оператор А имеет производную Гато в каждой точке пространства Х, то для любых х„х, Е Х справедливо неравен- 216 ство(4), где д = зпр !! А'(х, + 1(х,— х1)) !(.

Если А — линейный опе- 0 < ~< 1 ратор, то А' = А. Всевозможные линейные ограниченные операторы, действующие нз Х в У, образуют линейное нормированное пространство, так как норма ~(А)оператора А удовлетворяет всем аксиомам нормы. Рассмотрим множество линейных ограниченных операторов, действующих из Х в Х. На этом множестве можно ввести произведение АВ операторов А и В следующим образом: (АВ)х=-А(Вх). Очевидно, что А — линейный ограниченный оператор: (~ АВ)!(~~ А )ЦВ(!.

Если (АВ) х=(ВА) х для всех х Е Х, то операторы А и В называются перестановочными или коммутативными; в этом случае пишут АВ = ВА. В связи с решением уравнений вида Ах=у вводится понятие обратного оператора А '. Пусть А — оператор из Х на )'. Если каждому уЕУ соответствует только один хЕ Х, для которого Ах= — у, то этим соответствием определяется оператор А ', называемый обратным для А и имеющий область определения )г, а область значений Х. Для любых хЕХ и уЕ)г имеем тождества А-'(Ах)=х, А(А-'у)=у.

Нетрудно показать, что если А линеен, то и А-1 (если он существует! также линеен. Л е м м а 1. Для того чпюбы линейный оператор А, отображающий Х на У', имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы Ах = О только при х = О. Теорема 1. Пусть А — линейный оператор иэ Х на К. Для того чтобы обратный оператор А г существовал и был ограниченным (как оператор из )' на Х), необходимо и достаточно, чтобысуществовала такая постоянная 6) О, что для всех хЕХ (!Ах)(,) б(~х!(,.

Характеристики

Список файлов книги