А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Следствие 1. Из лемм 6 и 7 вытекает, что для самосопряженного положительно определенного оператора А неравенства 6Е<А<ЬЕ, 6>0, и 6 (Ах, х) < (Ах, Ах) < б (Ах, х), 6 > О, эквивалентны. Сле дс т в и е 2. Из (5) и леммы 6 следует оценка (Ах, Ах) < <'1А'1(Ах, х), хЕН, для неотрицательного с мосопряженного в Н оператора А. Ле м ма 8. Пусть А — положительный ограниченный в Н само- сопряженный оператор А > О, 1Ах(<Л~',х1. Тогда обратный 1 оператор А ' является положительно определенным А-') — Е. а Лемма 9.
Пусть А и  — самосопряженные положительно определенные в Н операторы. Тогда неравенства у,В<А<у,В, у,)у,>0 уА '<В '<уА ', у,))у,>0 эквивалентны. Л е м м а 1О. Если А — положительно определенный оператор А ) бЕ, 6 > О, то существует обратный оператор А 1 и (А '1<1~6. Доказательство следует из неравенства 61х )) ' < (Ах, х) < '1 Ах11х 1, б > 0 и из теоремы 1. Замечание. Если А — положительный оператор, то А ' существует.
В случае комплексного пространства Н для существования оператора А ' достаточно положительности действительной составляющей А,=0,5 (А+А*) или положительности 1 мнимой составляющей А,= —,(А- А') оператора А. 4. Функции от ограниченного оператора. В теории итерационных методов нам придется иметь дело с функциями от оператора. Пусть А — ограниченный линейный оператор, действующий в нормированном пространстве Х. Если 7(Х) — целая аналитическая функция переменного 2„разлагающаяся в ряд ~ аькь, то можно ь=о определить функцию 7(А) от оператора А с помощью формулы 223 )".
(А ) = ~ аьАь. Оператор ~ (А) будет также линейным и огранив=в чениым. В качестве примера приведем экспоненциальную функ- Ю л с" Аь цию оператора ел= ~ —. Введенное определение функции от ь! оператора можно распространить на более широкий класс функций и построить операторное исчисление для ограниченных операторов. Мы дадим более общее определение лишь для само- сопряженных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Пусть 6 и й — нижняя и верхняя границы самосопряженного в Н оператора А. Пусть 1(Л) — непрерывная на отрезке 16, а) функция. Оператор 1(А) называется функцией самосопряженного оператора А. Соответствие между функциями вещественной переменной и функциями от оператора обладает следующими свойствами: !) Если 1(Л) =а~,(Л)+Ц,(Л), то 1(А) =а),(А)+Я),(А). 2) Если Г'(Л) = Г,(Л) ~,(Л), то 1(А) =~,(А) 1,(А).
3) Из АВ=ВА следует 1(А) В= В)(А) для любого ограниченного линейного оператора В. 4) Если ) (Л) <1(Л) <7,(Л) для всех ЛЕ 16, Л~, то )";(А) < <Р(А) <1,(А). 5) (!~(А)1< 1пах !~(Л) (. ькхкь 5) 1(А)= — [1(А)~*, где черта над функцией означает переход к комплексно сопряженной функции. Если ~(Л) — вещественная функция, то отсюда следует, что оператор 1(А) самосопряжен в Н'. Из свойства 4) следует, что если ~(Л) >О на 16, а1, то 1(А)— неотрицательный оператор.
Важным примером функции от оператора является корень квадратный из оператора. Оператор В называется квадратным корнем из оператора А, если В'=А. Т е о р е м а 4. Суи(ествует единственный неотрицательньчй самосопряженный квадратный корень из любого неотрицательного самосопряженного оператора А, перестановочный со всяким оператором, перестановочным с А. Квадратный корень из оператора А будем обозначать А'М.
Отметим следующее свойство: 1А((=))Агы1', если А =А') О. Теорема 5. Если А — самосопряженный положительно определенный оператор, А=А'~) ЬЕ, 6 > О, то существует ограниченный самосопряженный оператор А-"~', 1А-'м1< 1Д~'Ь. Доказательство следует из неравенства 6 (х, х) < (Ах, х) = (А сы х, А 'пх) =(А и'х1 ' и из теоремы 1. 5. Операторы в конечномерном пространстве.
Рассмотрим и-мерное унитарное пространство Н. Пусть элементы х„ х„ ..., х„ 224 образуют ортоиормироваииый базис в Н. По определению конечиомерного пространства любой элемент хЕН можно единственным образом представить в виде линейной комбинации х= — сх +сх +...+сх„. (6) Из ортонормированности системы х„х„..., х„следует, что сл —— (х, х„). Таким образом, каждому элементу хЕН можно поставить в соответствие вектор с= (с„с„..., с„), компонентами которого являются коэффициенты с„из разложения (6). Пусть А — линейный оператор, заданный на Н.
В базисе х„х„..., х„ему соответствует матрица А = (аг„) размера пхп, где агв — — (Ах„, х,). Обратно, всякая матрица*о( размера пхп определяет лийейный оператор в Н. При этом элементу Ах / л аа л ставится в соответствие вектор ~ ~ра! с„, хч,',а, с„, ..., ~а„всл), в=! л=! в ! т. е.
вектор огс. Если оператор А самосопряжен в Н, то соответствующая ему матрица А симметрична в любом ортонормированиом базисе. Отметим, что в неортонормированном базисе самосопряженному оператору А соответствует несимметричная матрица. Остановимся на свойствах собственных значений и собствейных элементов линейного оператора А. Число Х называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах=Ах (7) имеет ненулевые решения.
Элемент хчьО, удовлетворяющий (7), называется собственным элементом оператора А, соответствующим собственному значению Х. Иначе, собственные значения оператора А — это те значения л, для которых Ыег(А — ХЕ) ФО; собственные элементы, соответствующие собственному значению Х, — это отличные от нуля элементы подпространства )хег(А — )аЕ). Само это подпространство называется собственным гюдпрвстранством, соответствующим собственному значению Х. Множество о (А) собственных значений оператора А называется спектром оператора А.
1. Самосопряженный оператор А имеет п ортонормированных собственных элементов х„х„..., х,. Соответствующие собственные значения Х„л=1, 2, ..., л вещественны. Если все собственные значения различны, то А называется оператором с простим спектром. 2, Для самосопряженного оператора А имеют место равенства 1А!(=р(А)= шах )Хв(, !<в<к где р(А) — спектральный радиус оператора А. Эти равенства сохраняются и для нормального оператора А. В л, л. Сакаракий, в. С, Николаев ззБ 3. Если А= А') О, то все собственные значения оператора А неотрицательны. Прп этом для любого хЕН 6 (х, х) ( (Ах, х) ( !Л (х, х), где О(б=ш(пЛ„Л=!пах Л„.
Для самосопряженного опера- тора А оп!нои!гнием релея называ!от выражение (Ах, х))(х, х). Наибольшее и наименьшее собственные значения оператора А определяются с помощью отношения Релея следующим образом: 0 («' «) О («' «) 4. Будем обозначать через Л (А) собственные значения опера- тора А. Пусть 7(А) — функция от самосопряженного оператора А. Тогда Л()(А)) =)(Л(А)) (теорема об отображении спектров). 5.
Если самосопряженные операторы А и В перестановочны, А=-А", В=В*, АВ=ВА, то они имеют общую систему соб- ственных элементов. При этом операторы АВ и А+В имеют ту же систему собственных элементов, что и операторы А и В, и собственные значения Л (АВ) = Л (А) Л (В), Л (А+ В) = Л (А)+ Л (В). 6. Произвольный элемент хЕН можно разложить ро соб- ственным элементам самосопряженного оператора А « л х= ~ч~ ~с„х„, с«=(«, х„), пРичем 1«~!'==- ~ сь!. «=1 Ф=! Число Л называется собственным значением оператора А относительно оператора В, если уравнение Ах= ЛВх (8) имеет ненулевые решения. Элемент х Ф О, удовлетворяющий уравнению (8), называется собственным элел!ентом оператора А относительно оператора В, соответствующим числу Л.
7. Если операторы А и В самосопряжены в Н, а оператор В, кроме того, положительно определен, то существует и собственных элементов х„х„..., х„, ортонормированных в энергетическом пространстве Йв. (х„, х!) „=-б„о !е, !=1, 2, ..., п. Соответствующие собствейные значения вещественны и имеют место неравенства у,(Вх, х)((Ах, х) (7,(Вх, х), где у, = ш1п Л„= ш(п (А«, «) „, в (В«, «) ' 7, = шах Л„= шах — ' (А«, «) « " «*~о(н« ") 226 Следовательно, постоянные эн. эк. самосопряженных операторов А н В в случае положительно определенного оператора В совпадают с минимальным н максимальным собственными значениями обобщенной задачи (8). 6.
Разрешимость операторных уравнений. Пусть требуется найти решение операторного уравнения первого рода Асс=-г, (9) где А †линейн ограниченный оператор в гнльбертовом пространстве Н, 7' †заданн, а и †иском элементы Н. Будем предполагать, что Н к о н е ч н о м е р н о. Нас будет интересовать вопрос о разрешимости уравнения (9). Имеет место Теорема 6. Для того чтобы уравнение (9) было разрешимо при любой правой части с', необходимо и достаточно, чтобьс соответтпвующ е однородное уравнение Аи = 0 имело только тривиальное решение и=О.
Лри этом решение уравнения (9) единсспвенно. Доказательство теоремы основано на лемме 1. Формулировке теоремы можно придать иной внд; уравнение (9) однозначно разрешнмо прп любой 7Е Н тогда н только тогда, когда йег А = О (см. и. 2). Если !сег А ~0, то уравпенне разрешимо лишь прп дополнительном ограннченпн на сс. Иапомннм, что в силу леммы 3 пространство Н есть прямая сумма ортогональных йодпростраиств: Н ==йегАЯйп А', Н=1сег г1'сс !со А. Те о р ем и 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
