А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Оценки снизу для некоторых разностных операторов. В лемме 12 фактически найдены постоянные энергетической эквивалентности единичного оператора Е и оператора А, кото- 238 Постоянные у, и у, указаны в замечании 2. Итак, мы нашли границы для простейших разностных операторов. Покажем теперь, что для всех введенных в этом пункте операторов Л справедливо неравенство )( — Ли, о) ~: ( — Ли, и)м'( — Ло, о)п'. (24) Идею получения неравенства (24) проиллюстрируем на примере оператора Лу=у„-„. Введем пространство Н(ы) сеточных функций, заданных на а, со скалярным произведением (и, о) = У-1 ~ и,о,й, и, оЕН(в).
Разностному оператору Л в простран~=! стае Н(ы) соответствует линейный оператор А, определяемый равенством рый соответствует разностному оператору — Лу = — у„-, на функциях, обращающихся в нуль на концах сетки ь!, т. е. у„и у, из неравенств у!Е < А ( у,Е. Получим теперь неравенство, связьвающее операторы А и О, где Ву!=р!уг, 1<!(Л! — 1 и р!)О. Для этого нам необходимо ойределить разностную функцию Грина оператора Л. Пусть на сетке !в, введенной выше, требуется найти решение разностной задачи Ло! = о,-„, = — 1г, 1 ( ! ( М вЂ” 1, (25) Сеточную функцию бм, которая при фиксированном й = 1, 2, ..., Ж вЂ” 1 удовлетворяет условиям б,„=б „=О, где б; — символ Кронекера: 1 , !=й, бсл = О, !~(г, назовем функцией Грина разностного оператора Л.
Приведем основные свойства функции Грина: 1) функция Грина симметрична, бгл — — б ! и, кроме того, бгл как функция й при фиксированном ! =1, 2, ..., М вЂ” '1 удовлетворяет условиям б!,=-б, =О. 2) функция Грина положительна, б! > 0 при !, й~О, Лг, 3) для л!обой сеточной функции у!, удовлетворяющей усло- виям у, =- ун =- О, верно представление У-! у,.
= — ~ч' „бг,лу,й, ь=! так что решение задачи (25) представимо в виде М-! ог= ~ б!ьглй, 0(!(Л!. ь=! Это утверждение доказывается при помощи второй разностной формулы Грина (13) и свойства 1). Лемма 13. Пусть р!>Π— сеточная функция, заданная на ы и не равная тождественно нулю. Для всякой сеточной функ- 239 ции у,, заданной на ь» и удовлвтворяюи(ей условиям у, =у»! О, верна оценка т»(ру, у) <(Я, 1).+, (27) где 1!7»= так о», а о; есть решение краевой задачи !.с!~ж-! Ло»=о,«, != — р», 1(»(Ж вЂ” 1, о» = о~= О. Действительно, пусть у»=у»! — — О.
Используя (25), получим ю-! к-! /я-! (ру у) = Х Ый = — Х р!у»Ь1ч Х б! Лу»Л = ! 1 ! !» ! / Ф-! /Ф вЂ” 1 = — ~ ЙЛу»~ ~ р!у!б;»Б) = — (Лу, го), » ! ! ! Ф вЂ” ! где обозначено !о»= ~~'., р!у!б!»!т, 0()»:=Л'. Применяя неравен- ! ство (24), отсюда найдем (ру, у)(( — Лу, у)ц~»( — Лш, и!)!!! или в силу (21) (ру, у)' ((у,-', !)„» ( — Ли!, !о).
Воспользуемся свойством 1) функции Грина 6!». Получим У-! М-! — Л!о» = — ~ 1»р!у;Лб!» = ~ р»у!5! — — р»у» !=1 !=1 и, следовательно, Ю вЂ” 1 М-! М-! ( — ) ) = Х йр.у 1 Х йр»у;б!»1= Х Х а;,у!у,, »=1 где обозначено а!»=1!'р,р»б!», 1(!, й(,»7 — 1. Используя неравенство 2у!у»(у,'+у», а танже симметрию и положительность функции Грина бм, отсюда найдем м-! и-! Ф-! У-! ( — Лш, !о) ( ~ 0,5у! ~ аг»+ ~ 0,5у» ~ а»;= !=1»=1»= ! 1= ! »'-! м-! н-! гм-! Х у!" Хи!»= Х Р!у!Л( Х Р»б!»й (=!»=1 !=! .,»! В силу свойства 3) решение задачи (28) записывается в виде М-! о, =- ~~Р ~р»б !»л ) О, 1: ! ( М вЂ” 1. »=! 240 Следовательно, н-1 ( — Л~а, ю)= ~р;у)о,й( шах о,(ру, у) = — (ру, у). ! 1кимл — 1 71 Отсюда и из (29) следует оценка (27) леммы.
3 а м е ч а н и е 1. Можно показать, что функция о, = О,бх;(! — х,), где х, йй(О, 11, есть решение задачи (28) при р,=!. Отсюда следует оценка у,Ь, у)((у,-', 1).„у,=8!1*, у, у„=О. (30) 117, = шах о„ тк1кн-1 где о; — ресиение краевой задачи Ао;=(ао-),— йсо,= — р,, 1~1 31 — 1, о,=о, =О. Замечание !. Если у; обращается в нуль лишь на одном конце сетки сь, например у,д — — О, то верна оценка у,(ру, у)к~(ау-, 1) +(йу, у)+х,у'„(3!) где 117,= шах о,, а функция о; есть решение задачи ьк~кн-1 ' Ло; = — р,, 0 (1 ~ Л! — 1, он = О, 2 А = ь(а1у"' "'ь) й'у Ау,= (ау-),— й~уо 1 ~ 1( Ю вЂ” 1, х, О.
(32) Замечание 2. Для произвольной сеточной функции уо заданной на со, можно получить оценку у,(ру, у) ( (ау';, 1), +(йу, у)+х,уч+х,уй, (38) где х,>0, х,>0, х,+х,+(й, 1) > О, а сеточныефункций о,>О, йс>0 заданы на о>. Здесь 1/у,= шах о,, где о,— решение Ок4<Ф 24! Замечание 2. Лемма 13 обобщается на случай, когда у, обращается в нуль лишь на одном конце сетки сь. Например, если у,=-О, то в (27) имеем 1!у,=шах оо где о; — решение 1 кьк и задачи Лос=.е р,, 1(!(У, о, =0 с разиостиым оператором А, определенным в (23).
Лемма 14. Пусть р;~0, й,>0 заданы на со, а функция а,)с, > 0 задана на со+. Для всякой функции уо заданной на со и удовлетворяющей условиям у,=ум=О, верна оценка у,(ру, у) ( (ау, 1) +(йу, у), краевой задачи Ло = — р. 0<! <Л7 2 ь (агУ вЂ” х У„) — д У, г = О, ЛУ, =, (арв),, — йгУ„1 < г < Л( Ьй (!!мук, м+хгулг) — йнум, г = Лг. Доказательство леммы 14 и замечаний 1 и 2 проводится так же, как и леммы 13. Здесь используется функция Грина указанных разностных операторов Л, которая удовлетворяет перечисленным выше свойствам 1) — 4). Лемма 15. Для сеточной функции ун обращающейся в нуль при !=й(, верна оценка у',<(Ь(еЕ) [е(у, у)+ —,(уз, 1),1, е)0. (33) Аналогичная оценка ум<1" (е() [е(у у)+ (у2 1)„+~, е~)0, верна для случая, когда У,=О. Для произвольной сеточной функции уг, заданной на сетке ш, имеет место оценка рве+Уй( ', [е(У, У)+ — (У-', 1)„„~, е > О. (36) Сначала докажем справедливость оценки (35).
Для этого воспользуемся замечанием 1 к лемме 14. Положим в (32) аг=!/е, ЛГ=е, и =О н Ре=-2РЬ р;=О, 1~1~)Ч вЂ” 1. Тогда из (31) получим оценку уз~ гпак ог)е(у, у)+ (уз, 1) ] ваган! [ з а' е+ где ог — решение следующей вспомогательной задачи: 1 Ло;= — о- г — ее!=О, 1~!чад! (37) Лое = оз. е его= — "лг=О. Запишем (37) по точкам о;,— 2ав;+ог,, =О, ! ~ 1~ !у — 1, (38) ог — аоо = — ен, одг= — О, где а=1+0,5зздэ) 1. Мы получили краевую задачу для раэностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Используя общую теорию, развитую в п. 1 4 4 гл. 1, а также свойства полнномов Чебышева (см. п. 2 там же), найдем, что функция о!= Т ~ ~1~ ей(7„;,( ) Т,ч(а) является решением задачи (33). Здесь Т„(а)=сЬ(иАгсЬа), (/„(а)= Ь А Ь зй ((и-1- 1) Агс!э а) з)г (Агой а) — иолиномы Чебышева степени и первого и второго рода, Так как а) 1, то шах в!=о =е з'-г (а), о < м м- ! ТУ(а) Итак, получена оценка уо ~о~ ~з(у, у)+ — (у, 1) ей=2зй г, У=1/6=а//(2эЬ г), ТУ (а) == сп 2Уг = сЬ ш (г), (/у, (а) == зй 2Уг зЬ ю (г) в1 г з)г2г 2зп гсй г' зйг ю (г) = —. (39) Поэтому з)э ю (г) с!г г сй ю (г) Так как при фиксированном е бю е/(ойг — гсйг) о/г зйз г м О, «/ю бок ог сЬ г — зЬ гзЬ юс)г ю оо =~О* Следовательно, оо максимально при г=О. Это дает оценку во~!!г (з/).
Неравенство (33) доказано. Пусть теперь уг — произвольная сеточная функция. Из замечания 2 к лемме !4 при а; м1/з, бг=— з, ио=-ко=О, ро — — ру=2/А, р1=0 для ! ~/АУ вЂ” 1 получим оценку о о Г, 1/а Уз+Уме- гпах ь2 ~з(У, У)+ — 1„, 1) окг<л где о; — решение краевой задачи 1 г о 1 0 ! ~ г ~ У 1 (40) 2 2 2 2 — о — зи = — —, — — в'- — воу= — —.
х,о о= /, ей «,м У= /г' Решением задачи (40) является функция ей (Ту г (а) )- Т; (а) ) (а' — 1) (/у, (а) где а определено выше. 0~/~У« 243 для сеточной функции ун удовлетворяющей условию ум=-О. Эта оценка точна в том смысле, что она переходит в равенство, если в качестве у; взять функцию о;. Оценим теперь оо сверху для любого Ь.
Если обозначить сЬ 2г=а, то г~О и Отсюда ннхьдцм, что е/! (1-! ТК (а)) ШНХ О1= — О = ОН— е«о<л Оценим вть вырвнсение сверху длн любегь Ь. Испольвун (39), получим 1 1 1+ сн в (г) 2 сй в (г) сЬ в (г) 2 ь сь г оп в (г) 1 ~ — — т (г). сь г о!о — в(г) вЬ вЂ” в(г) 1 2 2 (41) Твк квк др 1 дв — — — >О, Вг вЬо 0,5в дг то функция Ч!(г) максимальна при максимальном г= г, которое находится ив соотношениЯ си2го=! 1+вор/8 (8~1/2).
Ив (39) полУчим, что в (го) = 4г, Следовательно, ск 2го 1+ епо/8 8-(- ео/о о !'!8-;- !'!6! ! о !! ! Оценка (36) палученн. — (а,у„,, — х,у,) — й„у„ь — О, 1 о (аУ-)3, . йуо 1,;! -Л! 1 — — (а„у-, +хоун) — йнун, 1=Л/. Ф (42) Лемма 16 доказывается так же, как и предыдущие леммы, Замечание 1. Если а,= — 1, йг= — О, р;= — 1, то неравенство (33) принимает вид у,(у, у)((у-,, 1) +хоуо,+х,уно, (43) где 8 (х 4 хо Р/хох!)о 1(2+/хо)(2+/хд) (2хот2хх+1хох,) ' Леммы !3 и 14 без затруднения обобщаются на случай про извольной неравномерной сетки в. В этом случае для скалярных произведений используются обозначения (4), (6), а разностные операторы Л заменяются соответствующими операторами на неравномерной сетке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
