А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Аналогично найдем, что с,(1г,и, и) <(А,и, и) <с,Я!и, и). Отсюда и из (70) вытекают неравенства с,6(и, и) <с,(йи, и) <((А,+А,) и, и) <с,(йи, и) <с,Л(и, и), складывая которые с неравенствами (71) будем иметь (68) и (69). Самосопряженность оператора А доказывается по аналогии с предыдущим пунктом. Отметим, что в неравенствах (68) указаны постоянные энер- гетической эквивалентности операторов 1с и А, причем, так как е(!) 0 и 6) 811;'+8!1'„то эти операторы эквивалентны с постоян- ными, не зависящими от числа узлов сетки.

Рассмотрим теперь зада!у Дирихле для эллиптического урав- нения, содержащего смешанные производные д (й"в(х) д ) — !р(х), хе !! а, а=! и (х) = д (х), хЕГ. Предполагается, что выполнены условия эллиптичности 2 г 2 с!.Я~ $'„(,Я~ й,в(х) $Дв(с, ~ Ц, х66, (73) а=! а,в=! и=! где с, )с! ) О, а $ = Д„ $,) †произвольн вектор. На прямоугольной сетке «! задаче (72) можно поставить в со- ответствие разностиую схему Ау = 0 5 2~ ((йивудв)ев+ Йааухг)х !) = Ч! (х) хЕ (ог а, а'=! у(х) =д(х), хну. (74) Запишем (74) в виде операторного уравнения (59), определяя 255 оператор А обычным образом: АУ= — ЛУ, где УбН(ос), уЕ Й и у(х) =у(х) для хЕос. При этом правая часть 7 отличается от правой части ср уравнения (74) лишь в приграничных узлах.

Для нахождения явного вида ) следует записать разностное уравне- ние в приграничном узле, воспользоваться краевым условием и перенести в правую часть уравнения известные значения у(х) на т. Покажем теперь, что при выполнении условия симметрии Ь„(х)=Ь„(х) оператор А самосопряжен впространствеН=Н(о!), ойределенном выше. Для этого запишем оператор Л в виде сумм® Л =(Л,-~-Л,)72, где Лар (ЬаоУях+ ааУга)ко+ (Ьаар~<~+ ЬаРУх )кю р=З вЂ” а, а=1, 2. Используя формулы суммирования по частям (7') и (9'), получим для любых и, йЕЙ и1- ! со, (Л,й, й)= Х Х[(Ь! й;,+И!ой;,)й„-,)сгйсЬс с=! с Ф~-! с!с,-! — 1(Ь„й„+ Й„й„) й, )с,.Ь,Ь,.

Учитывая, что й„- и о„равны нулю соответственно при 1'= Лс, и 1=-0, полученное равенство можно записать в виде сс, я, (Л й, й) = — Д ~~'., ((Ьссй-„+ Ь„и-, ) сс-„)ссИсЬ,— с. сс сс,-! и,-! хи Х 1(Ь1сйх, + Ьссйх,) "х,)ссИсИс. (76) Аналогично найдем к, (Л,й, о)= — ~ ~ ЦЬый-, +Ь„й-„)й„-,)с Ь,И,— с сс !сов ! — Х ~~~~ ((Ьсой +Й,„й„,) о,)ссЬсИм (76) Складывая (75) и (76), получаем ос,я, 7 о (Л , ) = — 0,6 Х Х Ь,Ь,(~ Х в -.„й; 1— с=! с=! а, а=! вессс сс1-! ФР-! 7 о — 0,5 ~х~ р~ ЬсЬо~ Х )гаай, й„. (77) с=о с=о ' ' а, а=! " а *ос ссг Отсюда следует, что при условии Ь„= Ь„выполняется равенство (Лй, й) =(и, Лй). 1Ф,-! г н, № — ! — (Ли, й)) 0,5сх![ ~ 1!в ~ ~! (йх)'„пх+ ~ (й,,)~Д + /=! !=1 !еа н,-! г№ н,-! + ~ Й! ~ Ч~~ (й„-)в1йв+ ~~.", (й„)!в1Ьв 1№-! № №-! № = с, ~ ~Ч'„, ';У',(й-„);-;йхйв + ~ ,"», '(й;,),',йхйв = с, ( — Яй, й), у=! о=! в=! !=! где Я вЂ” разностный оператор Лапласа.

Аналогично найдем — (Лй, й)(с,( — Яй, й). Учитывая оценку (70), получаем следующие неравенства для опе- ратора А: с, Яи, и) ((Аи, и) (сх ()си, и), с,б (и, и) ((Аи, и) (сеЛ (и, и), (78) где 8 и Л определены в (64). Следовательно, оператор А, соответствующий разностному эллиптическому оператору со смешанными производными, и оператор )с, соответствующий разностному оператору Лапласа, энергетически эквивалентны с постоянными с, и с„не зависящими от числа узлов сетки. Оператор А имеет границы с 6=0(1) н с,Л=О(!1йв)(1!в= — )!',+Ь',), и если число узлов сетки велико, то оператор А плохо обусловлен. Отметим, что неравенства (78) остаются верными н в случае, когда для аппроксимации дифференциального оператора Е используются разиостные операторы 2 ! — !2 ЛУ 2 ~ [(Ааааа)ка + (йааУхаЫа)+ 2 с.м [(йаВУкВ)кк + (йаВУ- )х ~ В к или Лу = —,' ~ [(й„„у„-„),„+ (й.„у.„);„1+ а=! !аа 1 к + в,ива [(йаВУх )ка+(ЬаВУх )х +(йаВУк )х +( аВУх )ха1.

аФВ 9 а, Ь. Сеаероииа, а. С. Николаев В силу равенства (Аи, о) = — (Лй, й) оператор А самосопряжен в Н. Найдем границы оператора А. Подставим в (77) вместо о се. точную функцию и, учтем условия эллиптичности (73) и условие и(х) =0 для хЕу. Получим $ 3. Основные понятия теории итерационных методов 1. Метод установления.. Выше было показано, что разностные схемы для эллиптических уравнений естественным образом записываются в виде операторного уравнения первого рода Аи==~ (1) с оператором А, действующим в гильбертовом пространстве Н конечной размерности.

Линейным эллиптическим уравнениям соответствуют линейные операторы А, а квазилинейным — нелиней. ные операторы А. Теория итерационных методов для операторного уравнения (1) может быть изложена как один из разделов общей теории устойчивости разностных схем. Итерационные схемы можно трактовать как методы установления для соответствующего нестационарного уравнения. Поясним это на примере уравнения с самосопряженным положительно определенным и ограниченным оператором А, А = А' > 6Е, 6 > О. Пусть о =о(!) абстрактная функция г со значениями в Н, т. е.

о(!) при каждом фиксированном ! есть элемент пространства Н. Рассмотрим абстрактную задачу Коши: — +Ао=~, ! > О, о(0)=о,ЕН. (2) Покажем, что 1нп 1о (!) — и ~(= О, где и — решение уравнения (1), 1 ю т. е, решение о (г) нестационарного уравнения (2) с ростом ! стремится к решению и стационарного (не зависящего от !) уравнения (1) (имеет место «установление» или «выход на стационарный режим»).

для погрешности г(Г) = о(!) — и имеем однородное уравнение — +Аз=О, Г>0, г(0)г в(0) — и. з» «! Умножая это уравнение скалярно на ач ( —, г)+(Аг, г)=0 и /«г ~и учитывая, что (. д, ~~= — д,(~, )= — л,~~,'~', (А~, )>6) лг х ! ы ! получим — !1г(() 1!»+261!г(!)!!»(О. После умножения этого неравенства на е»м > 0 имеем — е»м !/ г (!) /)» (О, откуда следует е»м1г(!)!!»(/!г(0)1» илн )! о (!) — и !!(е-«'// о (0) — и /~ 0 при ! — оо.

258 Таким образом, решая уравнение .(2) с любым о» йН, мы при достаточно болыпом 1 получаем приближенное решение исходного уравнения (1) с любой заданной точностью. Такой метод получения решения называют методом установления. Аналогичным свойством затухания начальных данных обладают и разностные аналоги уравнения (2). 2. Итерационные схемы. Остановимся сначала на общей характеристике понятия итерационной схемы.

Пусть требуется найти решение уравнения (1). Будем сначала предполагать, что А — линейный оператор, заданный в Н. Б любом итерационном методе решения уравнения (1) исходят из некоторого начального приближения у, Е Н и последовательно определяют приближенные решения у„у„..., у», у»+ы ..., где й — номер итерации. Приближение у»+, выражается через известные предыдущие приближения по рекуррентной формуле у.1=Р»(у. У1 " у») где Р» — некоторая функция, зависящая, вообще говоря, от оператора А, правой части ~, номера итерации й.

Говорят, что итерационный метод имеет порядок т, если .каждое последующее приближение зависит лишь от и предыдущих, т. е. У»+»=Р»(У»- +1 У»- »» . У»). Итерационные схемы высокого порядка при своей реализации требуют запоминания большого объема промежуточной информации и поэтому на практике обычно ограничиваются значениями л» = 1 или п»=2. От выбора функции Р» зависит структура итерационной схемы.

Если функция линейная, то итерационный метод тоже называется линейным. Если Р» не зависит от номера итерации 1г, то итерационный метод называется стационарным. Рассмотрим общий вид линейной итерационной схемы первого порядка. Любая такая схема, в соответствии с определением, может быть записана в виде У»+1=3»~~У»+т»~~гр»~» А=О, 1, (3) где Я» — линейные операторы, заданные на Н, т» — некоторые числовые параметры. Обычно к итерационным схемам предъявляется естественное требование: решение и= А '~Е Н уравнения (1) для любого Г должно быть неподвижной точкой процесса последовательных приближений (3), т.

е, А-'г=$»~,А '~~ т»+р +, (4) Отсюда следует, что если положить Я»+, =Š— т»,,Вь'.,А, (р»~, = В»'Д (5) 259 где В»+,— линейный обратимый оператор, действующий в Н, то условие (4) будет выполнено. Подставляя (5) в (3), получим в результате несложных преобразований Сохраняя терминологию теории разностных схем (см.

А. А. С амарский, Теория разностных схем, 1977, гл. Ч), назовем (6) каноническим видом двухслойной итерационной схемы. Итак, любой линейный итерационный процесс первого порядка может быть записан в виде (6). Если В,=Е, то итерационная схема называется явной, так как в этом случае приближение у»э, находится по явной формуле у„э,=у„— т„»,(Ау„— )'), я=О, 1, ...

Характеристики

Список файлов книги