А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Так как оператор В невырожден, то условия (11) могут быть записаны в виде условий АВ '=-(В*) 'А*, которые выражают само- сопряженность оператора АВ '. Отсюда получим, что оператор РВ-'А =А*АВ 'А самосопряжен в Н. Далее, полагая в (12) х= В-'Ау, получим у,(АУ, Ау)((АВ-'Ау, Ау)(у,(Ау, Ау) или у,(Ру, у)((РВ 'Ау, у)(у,(Ру, у). Таким образом, из неравенств (12) следуют неравенства (8). Обратный переход от (8) к (12) очевиден.
В заключение отметим, что для случая самосопряжениых положительно определенных и ограниченных в Н операторов А и В чебышевский итерационный метод сходится в Нр, где 0= А, В или АВ 'А (а если, кроме того, А и В перестановочны, то и для 0= А'), с одинаковой скоростью, определяемой отношением постоянных у, и у, из неравенств (9). Особо отметим случаи 0= АВ 'А и 0= А'А. При таком выборе оператора О норма погрешности в Но может быть вычислена в процессе итераций. Действительно, для 0 = АВ 'А получим '1г„(Ю=(0з„, г„) = (В Аг„, Аг„) = (В 'г„, «„)=(ш„, г„), 274 а для 0= А'А: 1г„1в»=(Аг„, Аг„) =(г„, г„), где г„= Аг„= Ау„— Аи = Ау„— ) — невязка п-й итерации, а ш„= — В 'г„— поправка. Эти величины можно найти в процессе итераций.
4. 0 вычислительной устойчивости метода. При изучении сходимости чебышевского метода предполагалось, что вычислительный процесс является идеальным, т. е. вычисления ведутся с бесконечным числом знаков. В реальном вычислительном процессе все вычисления осуществляются с конечным числом знаков, и на каждом этапе счета появляются ошибки округления.
Ошибки округления результатов арифметических операций порождают вычислительную погрешность метода. В итерационных методах вычислительная погрешность метода образуется из погрешностей, допускаемых на каждой итерации. Если число итераций достаточно велико, а итерационный метод обладает свойством накапливать погрешности округления каждого итерационного шага, то вычислительная погрешность такого метода может оказаться настолько большой, что произойдет полная потеря точности и итерационное приближение у„ будет сильно отличаться от искомого решения. Поэтому для итерационных методов важно изучить механизм возникновения вычислительной погрешности и найти те этапы алгоритма, на которых происходит рост вычислительной погрешности метода. В ряде случаев некоторые изменения в процессе вычислений позволяют существенно уменьшить рост вычислительной погрешности и сделать метод пригодным для практического использования.
Другая особенность реального вычислительного процесса связана с наличием на ЭВМ «машннного нуля» и «машинной бесконечности», Эти понятия характеризуют допустимый порядок чисел, которые могут быть представлены в ЭВМ. Например, в ЭВМ БЭСМ-б в режиме однократной точности могут быть представлены действительные числа, абсолютная величина которых принадлежит диапазону от 10 " до 10". Это и есть границы для «машннного нуля» и «машинной бесконечности».
Если в результате вычислений на ЭВМ появляется величина, не принадлежащая этому интервалу, то вычисления прекращаются и происходит так называемый «аварнйный останов» (авост). Поэтому требование «безавостности» итерационного процесса является естественным. Итак, итерационные методы должны быть «безавостными» и устойчивыми по отношению к ошибкам округления.
В п. 1 ~ 2 был построен чебышевский двухслойный метод. В теореме 1 доказано, что если выполнить п итераций с параметрами т»=т»!(1+р,р»), р»ЕИ„, й=1, 2, ..., и, то для погРешности г„бУдет спРаведлива оценка 1г„)в ~ 4„1г» '1в. В 275 качестве рь выбираются последовательно все элементы множества %„, причем порядок выбора произвольный. Изучим вычислительную устойчивость чебышевского метода. Будем для определенности считать, что иь есть й-й элемент множества 2)г„. Тогда различные упорядочения множества Ы„будут порождать различные последовательности (рь) и, следовательно, различные последовательности итерационных параметров (ть).
С точки зрения идеального вычислительного процесса все последовательности чебышевских итерационных параметров эквивалентны, т.е. каждая последовательность должна обеспечивать получение одного и того же приближения у„ и, следовательно, одной точности после выполнения и итераций. Наличие ошибок округления в реальном вычислительном процессе приводит к неэквивалентности последовательностей итерационных параметров.
Проиллюстрируем это утверждение на примере. Пусть на сетке в = (х; = й, 0 <! < У, й = 11Ф) требуется найти решение следующей разностной задачи: Лу = у„-,— иу = — ~р (х), х б в, у(0) = О, у(1) =1, г(=сонэ! > О, В 5 2 гл. Ч было показано, что разностная задача может быть сведена к операторному уравнению Ау =), (!3) оператор А в котором определяется следующим образом: Ау= — Лу, где учН, уЕН, у(х)=-у(х) для хбв. Здесь Й— множество сеточных функций, заданных на в и обращающихся в нуль при х=О и х=1, а Н вЂ” пространство сеточных функций, заданных на в, со скалярным произведением (и, о) = ~ и (х) о (х) й. хне Правая часть ~ уравнения (13) отличается от правой части ~р разностной схемы лишь в приграничных узлах сетки: р(х) = ~р (х), й < х < 1 — 26, Г (1 — Ь) = ~р (1 — й) + 1)У.
Для приближенного решения уравнения (13) рассмотрим явный чебышевский метод "~+Ауь=р, й=О, 1, ..., у, ЕН. (14) Так как операторы А и В=Е самосопряжены в Н, то из рассмотренных в п. 3 $ 2 примеров следует, что в качестве априорной информации для чебышевского метода (14) достаточно задать границы оператора А: у,Е< А <у,Е, у, > О, если в качестве оператора Е! взять оператор В=Е. Очевидно, что у, и у, совпадают с минимальным и максимальным собственными значениями 276 разностного оператора Л, т. е. 4 . ий 4 и!а 7, =,—, з!и' — + «(, 7, = —,, соз' — + А Рассматривались три последовательности итерационных параметров, определяемые следующими упорядочениями %„: 1) «прямая» последовательность %„=%и'=(а„а„..., о„), т.
е. Р»=ал, 1=1, 2, ..., и; 2) «обратная> последовательность %„=%и'=(а„,а„„...,а,), т. е. !»»=а„о+„й=1,2, ..., и; 3) «чередующаяся» последовательность Роо = а„о+ „й = 1, 2, ..., и(2. 2« — ! Здесь обозначено а»= — соз — и. зп Вычисления проводились следующим образом: задавалось число итераций и и по схеме (14), (15) для каждой последовательности итерационных параметров проводилось и итераций.
Реальная точность, которая достигалась после выполнения и итераций, определялась по формуле !у„— и (! Реал = ! уо — и !! Для сравнения вычислялось значение а„, где 1 — УГ 7> Ра= —. 1+ у'З' 7 ' лула 1+Р,'" ' определяющее теоретическую точность метода, когда число итераций равно и. Во всех расчетах начальное приближение у, бралось равным нулю на о>. Точное решение разностной задачи у(х)=х соответствует правой части «Р(х)=«(х. Коэффициент д выбирался так, чтобы 7, было равно 0,1: 7, = 0,1, 7, = 0,1+ —, совий, — = — „, совий +1. 4 1 40 Результаты вычислений для Л'=10 приведены в табл.
5. В этой таблице, помимо указанных последовательностей параметров, приведены результаты для оптимального унорядочения множества %„*, которое будет описано ниже. ятт Итерационные параметры то вычисляются по формулам то=тоl(!+Рор») Р>6%» й=! 2 и то = 2/(7>+ 7>) Ро = (7> 7>)!(7>+7>) (13) Таблица 5 реал в!ео! з и!ез> л ме»е и 8,14 10-! 9,62.10-! 3,38.!Оз 3,07 10» авост 8,!4 !О 7,1! 1О 3,55 !О' 2 44 1Оо 3,46 10'о 1,02 10!» авост 8,14.!О-! 7,!1 !О 5,63 10 5,03.10-' 2'47 1Оо 2,29 1Оз 1,87 10» ! 73.10» авост 8,!4 !О-' 7,11 10-' 5,63 10"' 4,85.10 3,64 1О-! 3,10 10 2,23.10-' 1,72.10-' 1,44.!О-' 8,79 1О 7,58 10-' 6,30 10 5,09 10 4,04 !О 3,17 10-! 2,47.10-' 1,92 10-' 1,49 10 !6 24 32 40 48 56 64 72 80 4,97 10 1,23 10-' 4,80.
1О" о 1,15 10 256 5!2 т»Е<С <Т»Е, т, ) О, найдем (1 — тд,) Е ( Š— т„С <'(! — тд,)Е. Подставим сюда та из (15) и учтем равенства 1 — р,=тд„ 1+ р, = тд,. Получим Ро ( Рв) Е <~Е <Ро ( +Ро)Е !+Рона 1+РоИ» и, следовательно, 278 Проведенные расчеты показывают, что для реального вычислительного процесса рассмотренные последовательности итерационных параметров действительно не являются эквивалентными. Расчеты продемонстрировали две характерные особенности реального вычислительного процесса: возможность <авеста», вызываемого ростом промежуточных итерационных решений, и возможность потери окончательной точности в безавостной ситуации, вызываемой накоплением погрешностей округления. Причиной такой вычислительной неустойчивости метода для некоторых последовательностей итерационных параметров является тот факт, что норма оператора перехода от итерации к итерации Ео = Š— т,С для некоторых значений й больше единицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
