А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Второй случай. Получим теперь другую оценку для нормы оператора перехода 5, которая будет переходить в оценку леммы 2, когда С является самосопряженным в Н оператором. Для этого увеличим объем априорной информации относительно оператора С, предполагая, что заданы три числа у„ уа и уз: у,Е(С<у,Е, 1Сг(~(у„у,) О, уа)~0, (9) где С, = 0,5(С вЂ” Се) — несамосопряженная часть оператора С. Имеет место Лемма 4. Пусть в неравгнствах (9) заданы у„у, и ую Тогда для нормы оператора 5 =Š— тС при т=т,=т,(! — хр,) справедлива оценка )~Я(р„ра=(! — 5))(!+ ~), (9') где 2 уз — 1 — и у1 угжуз )/у уз-1-уз 1+и уз Приведем доказательство леммы 4. Пусть В в произвольное число из интервала (О, 1).
Представим оператор Я в следующем виде: 5= Š— тС=(ВŠ— тС !+1(1 — 6) Š— тС 1, где Се=0,5 (С+ С") — самосопряженная часть оператора С. Используя неравенство треугольника, получим оценку для нормы оператора Ес 1 Е 1 ~ 1 ВŠ— Со !'+ (! (1 — 6) Š— тСг !,'. (!о) Оценим отдельно норму каждого оператора. Из (9) и равенства (С,х,х)= =05(Сх, х)+0,5(С*х, х)=(Сх, х) получим, что у, н у,— границы самосопряженного оператора Се..
у,Е~С,~уаЕ, у, > О. По аналогии с леммой 2 получим следующую оценку для нормы оператора ВŠ— тСе; (  — туы О~с~ото, 16Š— тСе!)~ щах (1 6 — туг 1, 16 — туз !).= ~ '(ту,— В, т~ота. 290 Оценим норму оператора (1 — 6) Š— тС,. Так как (Сдх, х)=О, то для всех х Е Н получим (! ((! — 6) Š— СВ х ((о =- (! — О) возя !о+ то ~! С х ~(о ~ ((! — 0)о+ ! С, ((о) (~ х ~(о. Отсюда и из (9) следует оценка (((1 — О) Š— тСг((оа К! — 0)о+тоуоо)Н .
Под- ставляя полученные оценки в (1О), будем иметь р,(0, т) =0 — у,+Р'(! — 6)о+тоу„о~ ~т,й, !(5(! ~ ф,(0, т)= — ту,— 6+ф (1 — 6)'-1-т'у', тгэт,й. Выберем теперь параметры т и 6 из условия минимума оценки для нормы оператора 5. Заметим, что функция ф,(6, т) монотонно возрастает по т. 'Поэтому для минимизации нормы оператора 5 достаточно рассмотреть область О~т~т,й, О < 6 < 1. В этой области (!5((~ф,(0, т). Исследуем функцию фт(6, т).
Эта функция монотонно возрастает по 6, следовательно, минимум достигается при т=т,й. При этом значении параметра т будем иметь ((5(, = р(6)= р,(6, т,й) = =6 (( —,ы . (' и — (г(а;((( =((,(-р"(~ — 8)', ч((8 Итак, нужно показать, что ппп ф(0)=р,. Найдем минимум функции ф(0). о<ес( Сделаем замену переменной, полагая 0=(1 — х)/(1+аз), хЕ( — а', 1), ао=.тоуо. Функция (р(6) запишется в виде (р (6) ф (х) ( )(гхя ! (го Ро х ) -~ Ро )Г1-)-ао '(, )(1+аз / 1+аз Отсюда видно, что достаточно найти минимум функции о(х) = )('хо-)-ао — Рох/'т' 1+аз в области — а' < х < 1.
Вычисляя производные функции о (х) х р, ао о' (х) = — о" (х) = , ) О, Рх'+а' У !+а~ (х'+а') '* находим, что уравнение о' (х) =О дает точку минимума функции о(х). Решая уравнение 1у (12) !+ао Ро найдем искомую точку минимума функции о(х): хо=ароД~!+ао — ро ц (О, 1), Оо=-.(1 — хо)((1+аз). Подставляя (12) в (11), найдем минимальное значение функции ф(0): ч/хо+а 1 — хо хо Осталось выразить хо и Оо через известные величины. Используя обозначения леммы 4, получим 1 Ро ='гоугуо хо = тоуоро(()(( 1 Роо "( трау~ ~= иро (14) 10* 291 Из (!2) найдем а =ха(! — Р~Цра — ха), !+п'=р'(1 — х')Яр' — хо). Поэтому ! — хо Ро хо ра (! — ха) а о Ро (!+хо) !+яро Подставим (14) и (16) в (!3): Ра (! — ха) х + ро (! Рх) — я (1 — х) ! — е !+Рак 1+Р.х (!+х)+2(! — х) !+й Найдем теперь выражение для параметра т= — т,йа.
Сравнивая (16) и (16), получим вора' — Ро (!7) С другой стороны, из (16) можно выразить ро через ро и аи Ра=(ра х)1(! хр ) Подставляя ро в (17), находим йа= ! — хра, т=та(1 — хро). Лемма доказана. Неравенства (9) могут быть записаны в следующем виде: у,(х, х)((Сх, х) <у,(х, х), (С,х, С„х)(у,'(х, х) у, > О.
Подставляя сюда С=Р-Ы'(РВ 'А)0-х7а и С,=0,50 о~н Х х(РВ 'А — (РВ 'А)*) Р-ыа, получим неравенства 7,0(РВ 'А <у,0, у, > О, (р-х ~~( '(Р ). 0-а х, * ху!(у,'(Рх, х). Подставляя в (4) оценку (9') для нормы оператора Я, найдем !!г.!!о(Рг!!г. 1!о. (19) Теорема 4. Пусть у„у, и уо — постоянные в неравенствах (18). Метод простой итерации (2) при значении итерационного параметра т=т,=т,(1 — хр,) сходится в Но, и для погреианости г„имеет место оценка (19). Для числа итераций верна оценка и > и, (е), где п, (е) =! и е(1п р„ 2 — 1 — я — ! — х уа уо та .1 ° о !+я Замечание.
Так как число итераций определяется величиной К которую можно записать в виде й=(Р У!У +(У /У) У/У) то оператор В следует выбрать так, чтобы отношение а=ух(уа было максималы;ым, а уа(уа минимальным. 292 Приведем примеры выбора оператора Р. Если в качестве Р выбрать оператор А*А или В'В, то неравенства (18) можно записать в виде у,(Вх, Вх)((Ах, Вх)(у,(Вх, Вх), )~0,8(АВ- — (В)- А ))~(уз. (20) Действительно, для случая Р= В*В это утверждение очевидно, а если Р = А'А, то в (18) нужно сделать замену х = А 'Ву и получить неравенства (20).
Если оператор В является самосопряженным положительно определенным и ограниченным в Н, то в качестве оператора Р можно взять оператор В илн А*В 'А. В этом случае неравенства (18) эквивалентны следующим неравенствам: у,В( А (у,В, у, > О, (В 'А,х, А,х)(у,'(Вх, х), А,=0,8(А — А'). Действительно, для Р = В неравенства (!8) и (21) совпадают, а для Р=А'В 'А неравенства (2!) следуют из неравенств (18) после замены х=А ' Ву в (!8). 3.
Минимизация нормы разрешающего оператора. 3.1. Первый случай. В п. 2 $4 были получены оценки для пармы оператора 5", основанные на неравенстве !5" 1~!)5(э. Рассмотрим теперь другой способ получения оценки для ~)5"!. Этот способ основан на оценке числового радиуса оператора. Напомним (см. 4 ! гл, Ч), что еислазым радиусом оператора Т, действующего в комплексном гильбертовом пространстве Й, называется величина р (Т) = зар ! (Тг, г) 1, г Е Й.
з гз=! Для линейного ограниченного оператора Т числовой радиус удовлетворяет неравенствам р (Т) (! ~Т (! ~~ р (Т) ~ ! Т (), р (Т ) ~ !р (Т)!", (22) где л — натуральное число, а р (Т) гв 112. Используя понятие числового радиуса оператора, получим две оценни для нормы оператора 5" в зависимости от типа априорной информации атно- сительно оператора С. Рассмотрим случай, когда априорная информация задана в виде постони. ных ты уз и уз'. тГЕ~С~ уэЕ, ~)С,х1~тз(~х(), тт > О, хЕН. (23) Комплексное пространство Й определим следующим образом: ано состоит иэ элементов вида г= — х+1у, где х, уЕН. Скалярное произведение в Й определяется формулой (г, в) =-(х, и) -Р 1(у, и) †1 (х, о) + (у, о), г.=-х+гу, в=-и+1а.
Линейный оператор С, заданный на Н, определим на Й следующим образом: Сг = Сх+ 1Су. В силу свойств (22) для любого целого п верна оценка [[5л [[~ р (5л)л- 2 [р (5)]л 1 11 (5л) поэтому достаточно оценить числовой радиус оператора 5. Имеет место Лемма 5. Пусть в неравенствах (23) заданы 7„7, и 72. Тогда длл норма оператора 5=Š— тС в П лри т=пз]п (то, хто) справедлива оценка []5л [~2рл где 1 — Х (1 — ро), 0 < х 1, 7 (714-72) ! — (2 — 1/х) (1 — ро) х си 1, 2 (72.1- 72) то=2/(71+72) Ро=(1 — $)/(1 — ] $) 4=71/72 Для доказательства леммы представим оператор С в виде суммы С =. =Со+Сз, Со=0,5(С+Со), С1=0,5(С вЂ” С"). Оценим числовой радиус опе.
ратора 5=Š— тС. Для любого гЕЙ получим (5г, г) = (г, г) — т (Сог, г) — т (Сгг, г). В силу самосопряьтенности оператора Со скалярное произведение (С,г, г) есть действительное число. Так как С,= — Сз, то (С,г, г) — мнимое число. Поэтому [(5г, г) ['= [(г, г) — т(Сог, г)]'+т'[(С,г, г) ['. Из неравенств (23) получим 71(г, г)~(Сог, г) ау,(г, г), [С,г[~7,[г[. Пусть [а[=1. Из (25) найдем [ (г, г) — т (Сог, г) [ ~ гпах ([ 1 — ту, [, [ 1 — ту, [) =- ~ туз — 1, [(С,г, г) [~][С,г [[г]]( 7,. Подставляя эти оценки в (24), получим р'(5)= зир [(5г г) [2~[ !21=1 [ ьро(т)=(1 — туо)2-,' т271, т) 12.
(24) (25) 0~ т~то гдето то, приравнивая производную ~рз (т) =- 2 [т (71-, 'уз) — 71[ пулю, найдем точку экстремума функции фз(т) 71 = — = с,х. 2, 2 71+ 72 Выберем параметр т нз условия минимума оценки для числового радиуса оператора 5. Так как функция гр, (т) возрастает по т при т)то: 2 ф,'(т)=2[2(7[+7',) — 7,] 27'7' 7" "' > 0, 71т 72 то минимум р(5~ по т следует искать в области т~т„где для р(5) выпалняется оценка р (5) (фз(т).
Исследуем функцию зр,(т). Так как 111 (т)=2(71+уз) > 0 При тать функция дрд(т) убывает, а при т)тд — возрастает. Поэтому мини- мальное значение фд(т) достигается в точке т=т„если тд~ть, и в точке т= т„, если т,==те. Итак, оптимальное значение параметра т найдено т = =ш!п(т,,т,х). Прн эдом [ цд (т), ~йи1.
пип Р (5) з~'[ ( ) 0~ Вычислим фд (т,) и фд (тд). Из определения и и равенства 1 — тзуд — — ре получим з гоуз 7 1 та уз (1 Рз) 'гз7д з з т . з з 1 Рз тзуд+тзуз х Далее, фд(тз)=(! тьуд) +,зуз=рз+(1 — рз)/.-(! — РзР=( (2 1/х) (1 — Рз). цдд(тд) =(1 — тдуд) -[ тд7з= 1 — 2гд7д+тд (7д+7з) = = 1 — тдуд = 1 — хтзуд = 1 х (1 Рз) Итак, числовой радиус оценен. Оценка леммы следует из неравенства [5" ![~ 2 [р (5))".
Лемма доказана. Используя лемму 5, получим оценку для нормы погрешности г„: [[глЬ~2р» [ге [[лд. (26) !! 5и [[ ~ 2рв, 1 — (2х — 1) —,, — ~и~1, рз— 1 — Рз 1 1+Рз Ре — —.) 1+Р'. х= 7д 2(уз+уз) ' тз =2/(уз+ 7з+7з) Рз=(1 — $)/(1+$) 3 =7д/7з Действительно, представляя оператор С в виде С=Сз+Сд, где Сз = 0,5(С+С") н Сд — — 0,5(С вЂ” С*), получим [(5г, г) [з=- [(г, г) — т (Сзг, г))а+ те [ (С,г, г) ['. Из неравенства Коши — Буняковского и из условий леммы найдем [(С,г, г) [~в~(Сдг, Сдг) (г, г) ~уз(Сзг, г) (г, г).
295 Т е о р е м а 5. Пусть уд, 7, и 7з — постоянные в неравенствах (18). Метод простой итерации (2) при значении итерационного параметра т=ш!п (т„хт,] сходится в Но, и длл погрешности г„имеет место оценка (26). Для числа итераций верна оценка л~лз(е), где аз (е) =1и (0,5е)/)п р, а х и р определены в лемме 5. Примеры выбора оператора О и конкретный вид неравенств (18) .приведены в и. 2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
