А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Ч было показано, что разиостная задача (38) сво- дится к операторному уравнению (1) обычным образом: Ау== — Лу, где убН, уЕН и у(х)=у(х) для хаев. Здесь Н вЂ” множество сеточных функций, заданных на о и обращающихся в нуль на у, а Н вЂ” пространство сеточных функций, заданных на а, со ска- лярным произведением (и, о) = ~и(х) о(х)Ь,Ь,. ФЕИ Там же было показано, что при выполнении условия (36) по- строенный оператор А самосопряжен в Н и, если выполнены условия (37), имеет границы у, и у„равные 2 2 ч-с 4 па<» ч.~ 4 Яьр (39) т. е.
у,Е<А<у,Е. (40) Для приближенного решения уравнения (1), соответствующего разностной схеме (38), рассмотрим явный чебышевский метод (5) — (7) (В=Е). Так как операторы А н В самосопряжены и положительно определены в Н, то априорная информация имеет вид постоянных у, и у, в неравенствах (40), и метод сходится в Нр, где Р=А, В или АВ 'А. Из (39) получим у,=о(с,), 7,=0( — „'ь), $= т' =О(' Ь), 313 Следовательно, для рассматриваемого прпмера асимптотическая по Ь оценка числа итераций и, (е) имеет вид л„(з) =0( ~/ — ' — „!и — ) . В частном случае, когда 6 есть квадрат со стороной 1 и сетка в квадратная (Й,=-й,=-й=11У), получим вс, . аь Рс, а аа с~,аь у = — зш' — у = — соз —, $= — 1а'— э 21 ' 6 ГП ' с 21 ° т. е.
число итераций так же пропорционально числу узлов У по одному направлению, как и в случае уравнения без смешанных производных. На этом мы закончим рассмотрение примеров применения двухслойных итерационных методов к решению эллиптических уравнений. Более сложные примеры будут рассмотрены в главе Х1Н. ГЛАВА Л1 ТРЕХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В главе изучаются трехслойные итерационные методы решения оператор. ного уравнения Аи=1.
Итерационные параметры выбираются с учетом априорной информации об операторах схемы. В $ 1 дается оценка скорости сходи- мости для трехслойных схем стандартного типа. В Я 2, 3 рассмотрены полуитерационный метод Чебышева и стационарный трехслойный метод. 1 4 посвящен исследованию устойчивости двухслойных и трехслойных методов отно. сительно возмущения априорных данных. 5 1. Оценка скорости сходимости 1.
Исходное семейство итерационных схем. В главе ьг1 для нахождения приближенного решения линейного операторного уравнения Аи=р (1) с невырожденным оператором А, действующим в вещественном гильбертовом пространстве Н, были построены двухслойные итерационные методы. В этих методах двухслойная схема связывает два итерационных приближения у„+, и у . В данной главе будут изучены трехслойные итерационные схемы. Трехслойная итерационная схема для уравнения (1) связывает три итерационных приближения уа+„уа и у„„так что уа+, определяется через у„и у„,. Для реализации трехслойной схемы должны быть заданы два начальных приближения у, и у,.
Обычно при произвольном у, приближение у, находится по двухслойной схеме. Ограничимся изучением трехслойных схем стандартного типа, Неявная стандартная трехслойная итерационная схема имеет вид Вуаьг — — ааьг ( — тле гА) уа+ (1 — аагг) Вуа, + па,„,таьг~, Ву,=( — ттА)уа+т,1, й=1, 2, "узЕН, (2) где у,— произвольное начальное приближение,  — линейный невырожденный оператор, действующий в Н, аа и т„— итерационные параметры. Формулами (2) определяется исходное семейство трехслойных итерационных схем. 315 Нахождение нового приближения у»+, можно трактовать следующим образом. Пусть у — промежуточное итерационное приближение, которое находится по неявной двухслойной схеме  — """+Ау„= у.
т»+1 Тогда из (2) следует, что у,», есть линейная комбинация при- ближений у и у», у»+ =и»+1у+(1 и»+»)у»- ° Вг„,, = я»~, ( — т»,А) г»+ (1 — и»+,) Вг» „ Вг, = ( — т,А) г„г, = у, — и. й=1, 2„ Разрешим это уравнение относительно г»+, и, полагая г» = =- Р-'1'х», перейдем к уравнению для эквивалентной погрешности х„. Уравнение для х» будет иметь следующий вид: х»,=а»~,Я»+„х»+(1 — а»»,)х» „й=!, 2, ..., х, = 51хо, Я» — — Š— т»С, (3) где С=Рп'В 'АР 'м. В силу сделанной замены г»=Р-ы'х» справедливо равенство !~х»~,'=-1г»)р, и, следовательно, сходимость схемы (2) в Нр бУдет иметь место, если !)х») — О при й — оо. Изучим поведение нормы х» в Н при й — оо.
Для этого найдем явный вид решения уравнения (9). Используя формулы (9), 316 Таким образом, приближение у„„ есть линейная экстраполяция по приближениям у и у„,. Если положить в (2) и„ вЂ” = 1, то трехслойная схема (2) перейдет в двухслойную схему, сходимость которой была изучена в главе И. Поэтому введение итерационных параметров а» позволяет рассчитывать на то, что сходимость схемы (2) будет не хуже сходимости двухслойной схемы. Отметим, что, в отличие от двухслойной итерационной схемы, реализация трехслойной схемы требует запоминания не одного, а двух итерационных приближений у„и у 2. Оценка нормы погрешности.
Займемся теперь исследованием сходимости трехслойной схемы (2) в энергетическом пространстве Нр, порождаемом самосопряженным и положительно определенным в Н оператором Р. Для этого изучим поведение нормы в Нр погрешности г»=у — и при й- оо, Подставляя у» — — г„+и для У=О, 1, ... в (2) и учитывая уравнение (1), найдем уравнение для погрешности г»: последовательно получим х, = (Š— т,С) х, = Р, (С) х„ х, = и,(Š— т,С) х, + (1 — а,) х, = ~а» (Š— т,С) Р, (С) + + (1 — а,) Е~ х, = — Р, (С) х„ х», » = а»+, (Š— т»„С) Р» (С) х, + (! — и„,) Р,, (С) х, = = Р»», (С) х, и т.
д. Следовательно, решение уравнения (9) для любого й имеет вид х»=Р»(С) х„й=О, 1, (4) где Р» (С) — операторный полипом степени Й относительно опера- тора С. В силу произвольности х„соответствующий алгебраи- ческий полипом Р» (1) удовлетворяет следующим рекуррентным соотношениям: Р», (1) = я»», (1 — т» „1) Р» (1) + (1 — а»»,) Р», (1), (5) Из (5) следует, что полипом Р»(1) для любого й удовлетво- ряет условию нормировки Р,(О) =1.
Оценим теперь норму х». Из (4) получим (~х»//=~~ Р (С)х,//(/)Р»(С)!)~/х,Д, й==О, 1, ... или, в силу сделанной замены г =-0-ы'х», 1 з» )ю ~ (( Р» (С) ()! з» (!р. (6) Итак, оценка нормы погрешности г» получена. Из (6) следует, что метод будет обладать наибольшей скоростью сходимости, если норма полинома Р»(С) будет стремиться к нулю при а- оо наиболее быстро.
Так как полипом Р»(С) есть функция итера- ционных параметров т„т„..., т» н с»„сс„..., а», то эти пара- метры должны быть выбраны из условия минимума нормы операторного полинома Р» (С). Другими словами, нужно по- строить полипом степени й, нормированный условием Р,(О)=Е, который имеет минимальную норму. В главе Ч1 при изучении чебышевского двухслойного метода эта задача была решена в предположении, что оператор 0В-'А самосопряжен в Н и заданы постоянные энергетической эквива- лентности у, и у, самосопряженных операторов 0 и 0В 'А: 7,0(0В 'Ае у»0, т, ) О, 0В 'А=(0В 'А)*. (7) При построении трехслойных итерационных методов будем рассматривать только самосопряженный случай, т. е. будем пред- полагать, что выполнены условия (7). Пусть выполнены условия (7). Укажем оптимальный опера- тор Р»(С) и получим априорную оценку для погрешности г».
З!7 Так как С.=ЕРШОВ-гЛР-'М=Ь-'н(РВ-гА) Р-Ы', то из (7) следует, что оператор С самосопряжен в Н, а у, и у,— его границы: у,Е(С у,Е, у„>0, С=С*. (8) Тогда в силу (8) для нормы оператора Р„(С) справедлива оценка $Рг(С))( шах 1Р„Я(, т~<~<тз Следовательно, оптимальный полипом Р,(1) выделяется сле- дующим условием: максимум модуля этого йолинома на отрезке 17„ 7,1 минимален. Из Э 2 гл. Ч1 следует, что прн условии нормировки Рл(0) = ! искомый полипом имеет вид Р„(1) а.т, ( — )~, (9) т,( ~ ) где Тл(х) — полипом Чебышева 1-го рода степени й: соз(йагссозх), ~х)(1, Т„(х) = сЬ(йлгсйх), (х!) 1, 2 ! — ь 2Рь 1 У$ т~ — 5=в т +т*' ' ~-"~ ' 1+г1' 1+ г'Г т При этом имеет место оценка )Р„(С)1( шах ~Р Я(=д„, й=0, 1, ...
т,<с<т, Подставляя эту оценку в (6), получим 1 г„(~ р ( дл () г, ~(о. Таким образом, скорость сходимости трехслойного итерационного метода (2), параметры т„и аь которого выбираются из условия минимума нормы разрешающего оператора, равна скорости сходимости чебышевского двухслойного итерационного метода. Формулы (9) дают решение задачи о построении наиболее быстро сходящегося трехслойного итерационного метода. В 9 2 будут получены формулы для итерационных параметров т„и ил этого метода, который называется полуитераиионным методом Чебышева. $2. Полуитерационный метод Чебышева 1. Формулы для итерационных параметров.
Найдем теперь фоРмУлы дла итеРационных паРаметРов аь и тл аолУитерационного метода Чебышева. В 2 1, используя трехслойную 318 итерационную схему метода Вуо„,= — а о,( — т„+,А)ух+(1 — аоо,) Ву,-(-а о,то+,7, Вуо=-( — т.А)уо+то~ й=! 2 . о уоЕН, (1) мы получили уравнение для эквивалентной погрешности хоо,=аоо,(Š— то„С)хо+(1 — ао„) хо „(о=!, 2, ..., х, — — (Š— т,С) хо. (2) Было показано, что для любого !о решение этого уравнения имеет вид (8) (6) (7) 3!9 хо-— -Р (С) х„я=О, 1, а оптимальный полипом Р„(С) определяется формулами Р, ' „ Я + оо Для того чтобы получить формулы для итерационных пара- метров ао и т„, найдем рекуррентные соотношения, которым удов- летворяет полипом Ро(!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
