А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Известно, что для любого х полииомы Чебышева первого рода Т,(х) удовлетворяют следующим рекуррентным соотноше- ниям (см. 9 4 гл. 1): То,(х)=-2хТ (х) — Т,(х), й=-!, 2, Т, (х) = х, Т, (х) = 1. (5) Используя (4) и (5), получим '( )=2 ( оооо ! Ро ! Ео Чо-о Р ° (!У У. = (1 — то!))Ро~ Во Я~Уо == !.
Из определения (4) и соотношений (5) следует !!уо+о=2!(роуо) !(г(о-о~ уо=Ро уо=!. (8) Отсюда найдем Цоо,!Цо-о = 24оо Ярого) — 1, Й = 1, 2, (9) Подставляя (8), (9) в (6) и (7), получим рекуррентные формулы для полиномов Ро(!): Ро оо Ро Ро (о) = ! — то! Ро (!) Отсюда и из (3) следуют рекуррентные соотношения для хо х = — ='(Š— т С)х + (! — — — ~х, !о=!, 2, ..., 2 до 2 до+о т Ро Чо Ро Чо х,=(Š— т,С) х,. Сравнивая эти формулы с (2), получим ыо+г — — 2до~,!(р,до), т,=— т,=2!(у,+То), /г=1, 2, ... (10) Итак, формулы для итерационных параметров т„и ао получены. Преобразуем формулу для параметров а„. Для этого вычислим, используя (8), выражение Отсюда получим ао„=4((4 — р',ио), я=1, 2, ... Полагая в (!О) у=О и учитывая (8), найдем, что а,=2 Итак, доказана Теорема !.
Пусть выполнены условия у,Р:.РВ 'А < у,0, у, ) О, РВ 'А = (РВ 'А)о, Полуитерационный метод Чебышева (2) с итерационными параметрами то=21(У,+То), ао,,=4((4 — Рооао), Я=1, 2, ..., а,=2, (11) сходится в Но, и для погрешности го справедлива оценка '!го)о.-. Уо(го)о. Для числа итераций и имеет место оценка п)п,(е), где 1п О,ве 1 — о ! — Уо 2го то п (е)= — ' р = —, р = — ч = — э= —. о = !пс, о !+о о !+у~ ' о !+гол о Замечание.
Сравнение полуитерационного метода Чебышева с чебышевским двухслойным методом показывает, что для этих методов имеет место одна и та же оценка (!г„((р(д„()г,(!о, если выполнено и итераций. Однако для двухслойного метода эта оценка верна лишь после выполнения всех итераций, в то время как для трехслойного метода такого вида оценка имеет место для любых промежуточных итераций. В отличие от двухслойного метода в трехслойном методе нормы погрешностей на промежуточных итерациях монотонно убывают, и это обеспечивает вычислительную устойчивость трехслойного метода. 2.
Примеры выбора оператора,0. Приведем теперь примеры выбора оператора 0 и требования, налагаемые на операторы А и В, для которых условия теоремы 1 будут выполнены. В п. 3 5 2 гл. Ч! были рассмотрены некоторые случаи выбора оператора 0 в зависимости от свойств операторов А и В. Приведем эти результаты. !) Если операторы А и В самосопряжены и положительно определены в Н, то в качестве 0 можно выбрать один из сле- ЗЯО дующих операторов: А, В или АВ 'А.
При этом априорная информация может быть задана в виде у,В<А<у,В, у,>0. (12) 2) Если операторы А и В самосопряжены положительно определены и перестановочны А = А' > О, В = В' > О, АВ = ВА, то в качестве 0 можно взять оператор А*А. В этом случае априорная информация имеет вид неравенств (12).
3) Если А и  — невырожденные операторы, удовлетворяющие условию В*А=А*В, то в качестве 0 можно также взять опера- тор А*А. В этом случае априорная информация задается в виде неравенств у,(Вх, Вх)<(Ах, Вх)<у„(Вх, Вх), у,>0 При выполнении этих предположений для трехслойного по- луитерационного метода Чебышева верна теорема 1. 3.
Алгоритм метода. Рассмотрим вопрос о реализации трех- слойной схемы (1). Алгоритм метода может быть описан следую- щим образом: 1) по значению параметра а и заданным приближениям у» и у» находим а а, и т»„по формулам (11) н вычисляем (р = В (а» „у»+ (1 — а»„)у»,) — а»„г»,, (Ау — ~), Вычисленное ч~ может быть размещено на месте у» „которое для дальнейших итераций уже не нужно; 2) для нахождения нового приближения у»е, решаем уравне ние Ву»а, — — ар. Приближение у, находится из уравнения Ву, = ар, где р=Вуа — т,(Ау,— !'). Такой алгоритм решения может быть рекомендован в случае, когда требуется экономить память ЭВМ.
Если на вычисление значения оператора В требуется большое количество арифметических действий, а ограничений на память нет, то целесообразно воспользоваться следующим алгоритмом: 1). По заданному у» вычисляется невязка 㻠— — Ау» — ~; .2) решается уравнение для поправки гв». Вгв»=г„; 3) по заданному а» вычисляется а»+, по формуле (11) и новое приближение находится по формуле у»„— — а»„у»+(1 — а»а,) у»» вЂ” а»еат»+,гв», где т»„определяется по формуле (11).
Опислнный алгоритм не содержит вычисления значения опе- ратора В, но требует дополнительную память для хранения г» ш». 5 3. Стационарный трехслойный метод 1. Выбор итерационных параметров. Вернемся теперь к формулам для итерационных параметров а» и т» полуитерационного метода Чебышева. В 3 1 были получены следующие выражения 11 Л. ». Сакараки», В. С. Николаев 32! для а»„и т»„: ໄ— — 2ц»,»)(р,ц»), т»=т,=2/(у,+у,), й=-!, 2, ..., (1) где р,= —, $= —. (2) ! — $ т! !+$ ' т» Значение итерационного параметра т» не зависит от номера итерации й, в то время как параметр а» изменяется, начиная с а,= 2.
Найдем предельное значение для а», когда й стремится к бесконечности. Из (!), (2) получим а» =2р (1+р»~йр»(1+0»+ )). Так как р,(1 и р»=4,=2р,)(1+р5, то а=1!ша»=1+р'„и »-г а при достаточно больших й имеем а» а. Поэтому естественно изучить стационарный итерационный трехслойный метод Ву»,=а( — тА) у»+(1 — а) Ву»,+ат), й=1, 2, ..., Вр» =( — тА)д, +т~1 у» Е Н (3) с постоянными (стационарными) параметрами а=1+р,', т=т,= —, р,= 2 ! — Р$ т! — (4) т»+ т» !+ )~$ т» где у, и у,— постоянные энергетической эквивалентности само- сопряженных операторов 0 и РВ 'А: у,Р<РВ 'А <у,Р, у,)0, РВ 'А=(РВ 'А)*.
(6) 2. Оценка скорости сходимости. Для получения оценки скорости сходимости стационарного трехслойного метода перейдем от (3) к схеме для эквивалентной погрешности х» — — Рчэг»: х»+, — — а (Š— тС) х»+ (1 — а) х„„й = 1, 2, ..., х, =(Š— тС) хо, С =0'пВ 'АР-чн Отсюда следует, что х для любого й) О выражается через х, следующим образом: х,=Р,(С)х„ (6) где соответствующий Р„(С) алгебраический полипом Р»(!) определяется рекуррентнымй соотношениями Р»э, (!) = а (1 — т!) Р» (!) + (1 — а) Р», (!), й = 1, 2, Р, (!) =- 1 — т1, Р, (!) — = 1. Из (6) следует оценка для нормы погрешности г в Нр! /!г»$!о — — )/х»(/<//Р»(С)!1)!х,/)= /(Р»(С)Цг,(о.
(8) 322 а= —. та та отобразим отрезок [у„уа! на [ — 1, Ц. Тогда Ра (1) = 1',)„(х), х Е [ — 1, Ц, шах !Р,(1)(= шах (()а(х)(. т,<с<т, 1х!<! Учитывая выбор параметров а и т согласно (4), из (7) получим следующие рскуррентные соотношения для полиномов 1,"гх(х): Ях~, (х) =- 2р хЯх (х) — рагГ',)х, (х), Й = 1, 2, ..., 1), (х) = р„х, 9а (х) = 1.
Отсюда при помощи замены 17» — — рЯ (х) (9) легко получим стандартное рекуррентное соотношение й „(х) =2хР (х) — Ра,(х), й= 1, 2, Рг(х) =р,х/р„йга(х) =1. Этому соотношению удовлетворяют полипом Чебышева первого рода Т (х) с начальными условиями Т„(х) =.х, Т,(х) =1 и полином Чебышева второго рода (7 (х): ' г Мп ((а+!) агссоа х) (х(~(1, Мп (агссоа х) а)г((х+1) АгсЬх) а)г (АгсЬ х) с начальными условиями Юг(х) =2х, (г',(х)=1.
Используя ука- занные свойства полииомов Та(х) и (г'а(х) и равенство р,=-.г),= =2р,)(1+ра), из (10) найдем выражейие для полинома )га(х) через полиномы Чебышева К,(х) = — '*', Т„(х)+ ' "., и„(х), й~0. 1+ А 1+р1 323 Поэтому необходимо оценить норму операторного полинома Ра(С) для случая, когда параметры а и т выбраны по формулам (4). Из условий (5) следует, что С вЂ” самосопряженный в Н оператор, - а уг и У,— его гРаницы, следовательно, "1Р„(С)!1~ шах (Р»(1)(. т,<с<т, Оценим максимум модуля полинома Рх(1) на отрезке [у„уа). Для этого выразим полипом Рх(1) через полиномы Чебышева. Нам будет удобнее рассматривать Ра(!) не на отрезке [у„уа], а на стандартном отрезке [ — 1, Ц.
Полагая 1 — рах В ! — $ р та 3 0 тг+тай а 1+5~ Далее, используя известные оценки шах ) Т, (х) ! = Т, (1) = 1, !»! < ! шах (0»(х) ~ = У»(1) =й+1, !к!<! получим шах ) Я» (х) ~ = Я» (1) =! + й (1 — р)!(! + р ). )х!< ! Отсюда, учитывая сделанные выше замены, найдем следующую оценку для нормы операторного полинома Р»(С): (С)(~~р(1+(1р)(1+р)) Подставляя (11) в (8), получим оценку для нормы погрешности г» в Но! ~~г,(о = д,(г»Ь, д,= р,'(! + й(1 — р!)1(1+р!)), причем о» вЂ” О при я — оо и д „( !1».
Итак, доказана Теорема 2. Стационарный трехслойный итерационный метод (3) — (5) сходится в Нр, и для погрешности г справедлива оценка ~! Ь~ц.!~ .~!, ц.=р."(1+й(1 — р1И1+р1)). Замечание. Можно показать, что !нп а !д»= 1пп д»~р»»=О, » в» ю где о» определено в теореме 1. Поэтому стационарный трехслойиый метод сходится быстрее метода простой итерации, но медленнее чебышевского двухслойного метода и полуитерационного метода Чебышева. й 4. Устойчивость двухслойных и трехслойных методов по априорным данным 1. Постановка задачи. Для приближенного решения операторного уравнения Аи=1 в главе Ъ'1 были изучены двухслойные методы простой итерации и чебышевский метод, а в Я 2, 3 гл. ЧП построены полуитерационный метод Чебышева и трехслойный стационарный метод.
Напомним, что для вычисления итерационных параметров в этих методах используется определенная априорная информация об операторах итерационной схемы. В случае самосопряженного оператора 0В 'А эта информация имеет вид постоянных энергетической эквивалентности у, и у, операторов 0 и 0В-'А: у,(0х, х)((0В 'Ах, х)(у,(0х, х), у!)О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
