А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 55
Текст из файла (страница 55)
3.2. Второй случай. Используя понятие числового радиуса опера- тара, получим еще одну оценку для нормы оператора 5н. Будем предполагать, что апРиоРнаЯ инфоРмациЯ задана в виде постоЯнных уд, 7з и 7з в неравенствах 7дЕ~С~узЕ, (Сдх, Сдх) ~уз(Сх, х), 7д ) О, (27) Имеет место Лемма 6. Пусть в неравенствах (21) заданы 7д, 7з и 7з. Тогда для нормы оператора 5=Š— тС в Н лри т=ппп(ть, хтэ) справедлива оценка Так как лли любого г~Йе имеют место неравенства 7з (г, г) ~ (Сзг, г) 7, (г, г), уз > О, то из трех предыдущих соотношений получим следующую оценку для числю ваго радиуса оператора 5: р'(5)~ пзах <р(1), где ц(1)=(1 — т!)з+тзуз!. т» сеет» Исследуем функцию ф (/), Эта функция может принимать максимальное значение только на концах отрезка [7,, 7»[. Поэтому р (5)~ (:::; *.' фг(т)=(1 — туз)з+т»7,7», Оч к~те* фз (т) = (1 — туз)'+ т'7»уз т те тз.
Выберем параметр т из условия минимума оценки для р (5). Так как функция фз(т) возрастает по т при т ) тз. зр2(т)=2 [т( + ) — 1!)2 7 71 [ 7» > О, 7»+ 71+ 7» то минимум р(5) следует искать в области т~т,, где для р(5) выполняется оценка р'(5) о фз (г). Функция фт(т) при т=тг=1/(7!+7»)=кто досзигает минимального значения, причем при т т, функция фз (с) убывает, а при тгет„— воэрастаег. Поэтому минимальное значение фз (т) на отрезке [О, тз) достигается в точке * е=т,, если т,» см и в точке т= гь если т,>ит».
Итак, найдено оптимальное значение параметра ж т=ппп(те, ктз)- При атом ш1п рз (5) ~~ тз (тз) <рг (т,), к ( 1. Вычислим фг(тз) и цг(т,). Несложные вычисленвя дают тз- — (2 — 1/к)/7„ 7з=!/(ктз) — 7,. Используя эти соотношения, получим фз (тз)= (1 т»7з) +(т») узуз= 1 — 2тоуг+ тзуг/к =- = 1 — (2 — 1/и) 7,/7» = 1 — (2 — 1/л) з (1 рь)/(1+ рз).
Далее 9з (тз) =(1 — т»куг) + (тз) кзузуз — — 1 — токуз = (2к-1) уг/7»=1 — (2к — !) (1 — рь)/(1+рз). Итак, числовой радиус оценен. Оценка леммы следует из неравенства [5" [~ 2 [р (5)[". Лемма доказана. Подставляя в неравенства (27) С=О '/' (РВ-'А) 0 '/з н Сз=О,БР г/з1с Х(РВ-зА — (РВ-зА)') 0 з/', получим неравенства угР~РВ-'А~7,Р, 7» > О, ( РВ-зА — (РВ гА)» Р — »А — (РВ 'А)» ) (28) 0 — з г, к ~ уз (РВ-"Ах, г).
Теорема 6. Пусть 7г, уз и 7,— постоянньи е нероеенстеах (28). Метод простой итерации (2) при значении итерационного параметра т= ° * = ппп(те, кт,) сходится в Нгн и для погргшносши гн имвгш место оценка (26). Длх числа итераций верна оценка арапе(е), гдв пг(е) =)п0,5е/!пр. а х, р и т' опргдгггнм в лемме 6. Приведем вид неравенств (28) для некоторых примеров выбора опера- тора ь!. Если в качестве оператора 1) взять оператор А'А или ВеВ, то неравенства (28) можно записать в следующем виде: тт(Вх, Вх)~(Ах, Вх)~та(нх, Вх), у; > О, (29) 10,5 (АВ-з — (В')-'А*) х 1а ви Уг (Авх, В-тх).
Действительно, неравенства (29) следуют непосредственно из (28) после подстановки ))=В*В в (29). Для случая с)=А"А в (28) достаточно сделать замену х=А-'Ву. Если оператор В самосопряжен положительно определен в Н н ограни- чен, то в качестве оператора )9 можно взять операторы В илн А'В-'А. В этом случае неравенства (28) будут иметь вид т,В~Ам;т,В, т, > 0, (В-'Атх, А,х) =- тг (Ах, х), А;=0,5 (А — А*).
Отметим, что в случае ))=А'В-'А неравенства (30) следуют из (28) после указанной выше замены. 4. Метод симметризации уравнения. При решении уравнения Аи=( с несамосопряженным оператором А используют хорошо известный прием симметризации уравнения. Вместо исходного уравнения рассматривается симметризованное уравнение Ам =1, А = А'А, у=А'( (31) которое получается из исходного уравнения умножением слева на сопряженный к А оператор. В алгебре такое преобразование уравнения называется первой трансформацией Гаусса. Для приближенного решения уравнения (31) рассмотрим неявную двухслойную схему В~~;~ ~~+Ауа=~ А=О 1 ° ° ° угбН (32) с самосопряженным положительно определенным оператором В.
В качестве оператора Р выберем операторы В или А=А"А. В этом случае оператор РВ 'А самосопряжен в Н, поэтому итерационные параметры т могут быть выбраны по формулам чебышевского метода, исследованного в 9 2. Априорная инфор. мация для этого метода в случае указанных операторов Р имеет вид постоянных энергетической эквивалентности операторов В и А=А'А у,В(А'А (узВ, у, ) О. Оценка скорости сходимости чебышевского метода (32) и формулы для итерационных параметров даны в теореме 1. 997 $5. Примеры применения итерационных методов 1.
Разиостиая задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Для иллюстрации применения построенных в этой главе двухслойных итерационных методов рассмотрим решение разностной задачи Днрихле для линейных эллиптических уравнений второго порядка. Разностную задачу будем трактовать как операторное уравнение Аи=г (1) в конечномерном пространстве сеточных функций. Будут рассмотрены явный и неявный чебышевский методы, а также метод простой итерации. Рассмотрение примеров начнем с задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Пусть в прямоугольнике 6 = = (О (х ( 1„, а= 1, 2) с границей Г требуется найти решение уравнения Пуассона Еи = —,+ —,= — 1(х), х=(х„х,) Е 6, (2) дк( дк1 принимающее на границе Г заданные значения и(х)=у(х), хЕГ.
(3) Соответствующая (2), (3) разнсстная задача Дирихле на прямоугольной сетке ел=(хы — — (1й„)й,) 66, О(1(Л'„О(1(йг„й„=1а1М„,а=1,2) имеет вид 2 Лу= ~.", у-„„= — ~р(х), хаев, у(х)=д(х), хну, (4) а=1 "а"а где у=(х,,ЕГ) — граница сетки в, а уек = —,(у(1+1, 1) — 2у(1, 1)+у(1 — 1, 1)), укк = —,(у(1, 1+1) — 2у(1, 1)+у(1, 1 — 1)), у(1, /) =у(х;,). В 9 2 гл. Ч было показано, что разностная задача (4) может быть сведена к операторному уравнению (1), для которого опе- ратор А определяется следующим образом: Ау = — Лу, где у с Н, у ЕЙ и у(х) =у(х) для хаев. Здесь Й вЂ” множествосеточ- ных функций, заданных на а н обращающихся в нуль на у, а Н вЂ” пространство сеточных функций, заданных на в, со ска- лярным произведением (и, о) = ~'., и(х)о(х) й,й,.
Правая часть г кеи 298 где йг 21а г х 4 . ий»» у =,т — з!и'— 21»» а»=1 ~а Операторы А и В=Е самосопряжены и положительно определены в Н. Поэтому из рассмотренных в и. 3 9 2 примеров следует, что у„у, из (8) являются постоянными для чебышев- ского метода (5) — (7), если в качестве Р выбран один из операторов Е, А или А'. Тогда в формулах (б), (7) 2 1 — $ 1 — р»$ т» — р = р г 1,» р» 1+г» г 1+ у~ где у„и у, определены в (9). Так как 7,=0(1), а 7,=0(1Щ+Щ), то 5=0()й~г), где ~Ь1г = = Ь)+Ьгг.
Следовательно, длЯ РассматРиваемого пРимеРа асимптотическая оценка числа итераций и,(з) имеет вид и, (е) = О ( й1 1п — ) . 299 уравнения (1) отличается от правой части»р разностного урав- нения (4) лишь в приграничных узлах:, 7 (х) = »р (х) + ч», (х)Щ+»р, (х)Я, д (О, х,), х, = Ь„ (р,(х) = О, 2Ь,~<х,<1,— 2Ь„ а(1„х,), х,=11 — Ь„ д(х„О), х,=й„ <р (х) — О, 2Ь,<хг<1,— 2Ь„ д(х»» 1»)» х,=1,— Ь,.
Итак, разностная краевая задача (4) сведена к операторному уравнению (1) в конечномерном гильбертовом пространстве Н. Для приближенного решения уравнения (1) рассмотрим яв- ный чебышевский метод (В=Е): В"",' "'+Арг=~» Ь=О 1 ° ° .» р»ЕН» (5) Ь=1, 2, ..., и, и)и,(з), и,(з) =1п(0,5з)/1прм (7) В 9 2 гл. Ч было показано, что определенный здесь опера- тоР А ЯвлЯетсЯ самосопРЯженным в Н и его гРаницы У, и уг совпадают с минимальным и максимальным собственнымй зна- чениями разностного оператора Л, т.
е. уЕ<А<уЕ, у,)0, (8) В частном случае, когда О есть квадрат со стороной1(1,=1,=1) и сетка а квадратная (й,=й,=й=!)У), имеем 8 . з лЬ 8 лЬ о лЬ у = — „з!и' — у = — соз' — $=1д'— Ьз 21 ' Ь~ 21 ' 21 лй /Р 1 — ип— лЬ оое— лЬ р,= соз— и (е) ж — !п — ж 0,32У!п— 2 2 о лЬ е (10) Таким образом, число итераций и пропорционально числу узлов)Ч по одному направлению. Отметим, что число неизвестных в задаче (4) равно М = (М вЂ” 1)', т. е. число итераций пропорционально квадратному корню из числа неизвестных. Итерационную операторную схему (5) при В=Е можно записать, используя определение оператора А и правой части ), в виде следующей разностной схемы: Уьэ,— — Уз+те+,(ЛУь+<Р), хбсо, Уь)т=а, Ь=О, 1, ... Подставляя сюда (4), получим расчетные формулы Уь+г (~ ° 1) (1 Уь (~~ 1) + то Г эь(1+1 У)+иь(1 — 1 й иьб !+1)+иь(1 1 — 1) ! +те+1 ~~ 1 ~й 1 ((~~Уд 1 1 (1(Ф~ 1 Я (е) ж 2,9Л1'!п (2)е).
Для решения уравнения (!) рассмотрим теперь метод простой итерации. Итерационная схема метода простой итера- ЗОО Начальное приближение у, есть произвольная сеточная функция на в, принимающая на границе у заданные значения у, (х)=д(х) для хну. Оценим число арифметических действий 1,)(е), которое необходимо затратить, чтобы получить приближенное решение разностной задачи (4) с тонностью е по чебышевскому методу(5) — (7). Считая заданными итерационные параметры тм получим, что для вычисления уь+, в одном узле сетки а потребуется девять арифметических операций. Так как число внутренних узлов сетки го равно М =(Ф,— 1)(У,— 1), то на реализацию одного итерационного шага потребуется 9,же,Ф, действий.
Поэтому Ю (е) = и!а, ж 9ий1,Л1„где и — число итераций. Для рассмотренного выше частного случая число итераций и определено в (10), и следовательно, для этого примера получим ции имеет вид (5), а итерационные параметры ть и число итераций и определяются по формулам теоремы 2: т =т = —, а.-за (з) = — ', р, = —,, $= —, (11) 2 1пз ! — З т, а о 71-1-72 !ПРО 1+В тз где у, и 7, заданы в (9). Из (9) и (1!) получим асимптотическую по й оценку числа итераций для метода простой итерации 1 1т а (з) = О1 — „1п — ~ . Для рассмотренного выше частного слуо ~!ар чая найдем 2Р 1 з 1 п,(е) ж —,„, 1п — -О, 2!У'1п —, (12) Приведем расчетные формулы метода простой итерации для рассматриваемого частного случая: ! уз+, (с, 1) = — ~у,(с+1, 1)+у,(! — 1, !)+уз(1,1+!)+у„(1, 1 — 1)!+ /Р + 4 (Р (Е !).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
