А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 53
Текст из файла (страница 53)
3 2 1) оценивается следующим образом: ! Т„,)!< гпах ~ Р„(!) (, т <о<т то при т=т, получим оценку !!Т„о/!(р,", Отсюда следует оценка для погрешности г„в Ир! 1~г,!~о уро ~!го!!а. (4) Итерационный метод (2), (3) называется методом простой итерации. Итак, доказана Теорема 2. Пусть самосопряженный оператор 0В-'А удовлетворяет условиям (1). Метод простой итерации (2), (3) сходится в Нр, и для погрешности имеет место оценка (4). Для числа итераций верна оценка и) п,(е), где п,(е) =!пе!1пр,. Замечание. Как и для чебышевского метода, априорная оценка погрешности для метода простой итерации является неулучшаемой в случае конечномерного пространства. Сравним число итераций для чебышевского метода и метода простой итерации.
Из теоремы 1 в случае малых $ имеем следующую оценку для числа итераций чебышевского метода: п)п,(е), п,(е)= ' ==!и —. !пр, 2у~ е ' Из теоремы 2 получим оценку для числа итераций метода простой итерации !пе 1 ! п)п (е), и (е)= — ж — 1п —. о ' о !и ро 2Е е ' Из этих оценок следует, что для 8 ~~~1 число итераций чебышевского метода существенно меньше числа итераций метода простой итерации. Например, для 5=0,01 число итераций для метода простой итерации примерно в !О раз больше, чем для чебышеве кого метода. 2.
Оценка нормы оператора перехода. В п. 1 8 3 была исследована скорость сходимости метода простой итерации. При этом метод простой итерации рассматривался как частный случай чебышевского метода. Из методических соображений будет полезно изучить сходимость метода простой итерации независимо от чебышевского метода. 285 Итак, пусть для нахождения приближенного решения уравнения Аи=7' используется двухслойная схема (2) В~"' «'+Ау,=)', у=О, 1, ..., у,ЕН. (5) Для изучения сходимости схемы (5) перейдем к задаче для эквивалентной погрешности хе= Рп г„: хе+ г — — Зх„, й = О, 1, ..., В = Š— тС, (6) где С = РП В-'АР-*~*.
Используя (б), найдем явное выражение для х„через х,: х„= 5"х„из которого следует оценка для нормы погрешности г„в Йр !! е. !!о = (! х„!! < !!В" !!!!хо (= !!В" !(!! го !о. (7) Будем предполагать, что оператор РВ 'А самосопряжен в Н и заданы постоянные у, и у, в неравенствах (1). При этих предположениях оператор С, а вместе с ним и оператор 3, самосопряжены в Н и у, и у,— границы оператора С: у,Е<С <у,Е, у, ) О, С=С*. (8) Б силу самосопряженности оперлгора Я имеет место равенство !!5"!!=!!В!!". Поэтому из оценки (7) следует, что итерационный параметр т нужно выбирать из условия минимума по т нормы оператора перехода Я = Š— тС. Имеет место Лемма 2.
Пусть 5 =Š— тС и выполнены условия (8). Норма оператора 5 минимальна при т=т,=2/(у,+у,), и имеет место оценка !!В!!=!! Š— тоС!! = Ро Ро = (1 — В)/()+ В), В = у,lу,. Действительно, так как 5 самосопряженный в Н оператор, то из определения нормы получим !!В!!= зпР ' =зпР (1 — т ' ~= гпах !1 — т(!. !(Ях,х)1 ) (Сх,х) кФО (х х) х~о (" «) т к~кт Так как ф(1)=! — т( — линейная функция, то максимальное по модулю значение ~р (1) на отрезке 1у„, у,) может достигаться лишь на концах отрезка. Непосредственные вычисления дают ~р, (т) = 1 — ту„О < т < т„ (!Я//=шах((1 — ту,!, (1 — ту,!)= где т, указано в лемме.
Так как функция р,(т) убывает иа отрезке 10, т,), а ~р,(т) возрастает при т)т„то минимум нормы 286 оператораЯдостигается прит=т, и равен р,=1 — т,у,=т,у,— 1= =(1 — 1)/(1+$), 5=7,17,. Лемма доказана. Из леммы 2 и оцейки (7) следует, что при т=т, для погрешности итерационной схемы (5) верна оценка ) аи)оуро) зю!!и. Таким образом, получено еще одно доказательство сформулированной выше теоремы 2 о сходимости метода простой итерации. Примеры выбора оператора О, для которого выполнено условие самосопряженности оператора ОВ 'А, рассмотрены в п.382. й 4.
Несамосопряженный случай. Метод простой итерации 1. Постановка задачи. В Я 2, 3 были построены двухслойные итерационные методы для приближенного решения линейного операторного уравнения Аи =-1 (1) с невырожденным оператором А, заданным в вещественном гильбертовом пространстве Н. Предполагалось, что операторы А, В и Р таковы, что оператор ОВ 'А самосопряжен в Н, и заданы постоянные энергетической эквивалентности у, и у, операторов О и ОВ-'А, причем у, > О. При этих предположениях задача оптимального выбора итерационных параметров была решена и были построены чебышевский метод н метод простой итерации.
В п. 3 3 2 были рассмотрены некоторые примеры выбора оператора 0 и найдены условия самосопряженности оператора ОВ 'А для каждого конкретного выбора оператора О. Очевидно, что если заданы операторы А и В, то не всегда можно указать такой оператор О, для которого оператор РВ 'А будет самосопряжен в Н. Следовательно, необходимо изучить итерационные методы и в несамосопряженном случае. В данном параграфе изучается метод простой итерации для несамосопряженного случая. Будут рассмотрены некоторые способы выбора итерационного параметра в зависимости от объема априорной информации об операторах итерационной схемы. Итак, пусть оператор РВ 'А несамосопрлжен в Н.
Для приближенного решения уравнения (1) рассмотрим неявную двухслойную итерационную схему В "~+~ У" +Аул — — ), й=О, 1, ° уаЕН (2) Для исследования сходимости схемы (2), как обычно, перейдем к задаче для эквивалентной погрешности хэ=Рч гэ хаэ,=аахм Й=О, 1, ..., З=Š— тС, (3) 287 где С=РН*В 'АР и. В силу сделанных выше предположений, оператор С несамосопряжен в Н. Из сделанной замены и уравнения (3) получим 5 х 1х ((=~а (р()5 11х )=)(5 (Цз !) .
(4) Следовательно, итерационный параметр т должен быть выбран из условия минимума по т нормы разрешающего оператора 5". 2. Минимизация нормы оператора перехода. 2,1. Первый случай. Получим оценку для нормы оператора 5". Так как для любого оператора имеет место оценка '15 ~)()~5~~", то первый способ выбора параметра т состоит в нахождении параметра т из условия минимума нормы оператора перехода 5. Получим два типа оценок нормы оператора 5 в зависимости от объема априорной информации относительно оператора С. В первом случае предполагается, что априорная информация состоит в задании постоянных у, и у, из неравенств у, (х, х) < (Сх, х), (Сх, Сх) < у, (Сх, х), у, > О.
(5) Если С=С*, то у, и у,— границы оператора С. Лемма 3. Пусть в неравенствах (5) заданы у, и у„тогда для нормы оператора 5=Š— тС при т=1(у, справедлива оценка РЫр р=)'~ — В, В=у,Гу' Действительно, используя (5), получим '15х'1'='1х — тСх(' = (х, х) — 2т(Сх, х)+т'(Сх, Сх) ( ((х, х) — 2т(Сх, х) + т'у, (Сх, х) = ) х)' — т (2 — ту,) (Сх, х), Отсюда следует, что если выполнено условие т (2 — ту,) > О, т. е. О < т < 2!у„то норма оператора 5 будет меньше единицы. Пусть это условие выполнено, тогда, используя (5), получим !!5х!/ь(~1 — ту, (2 — ту,Ц/!х)' и, следовательно, '15'ьь= зпр >, (1 — ту,(2 — ту,).
1Ях 1' к;о 1х1' Функция ср(т) =1 — ту,(2 — ту,) в точке т=1/у, имеет минимум, равный Ч~(1(у,)=1 — $, где $=ть!у,. Поэтому для указанного значения параметра т для нормы оператора 5 справедлива оценка 151()/с! — а. Лемма доказана. Подставляя в (5) оператор С = Р ч*(РВ 'А) Р пь получим, что неравенства (5) эквивалентны следующим неравенствам: у,(Рх, х) ((РВ-ьАх, х), (РВ-ьАх, В 'Ах) (у,(РВ ьАх, х), уь> О. (6) Подставляя в (4) оценку для нормы оператора 5, полученную в лемме 3, найдем 1г )о <Р" 11г~(о Р=)'с~ В (7) Теорема 3.
Пусть у, и у,— постоянные из неравенств (6), Метод простой итерации (2) при значении итерационного параметра т=1!у, сходится в Нр, и для погрешности г„имеет место оценка (7). Для числа итераций верна оценка и =-п,(е), где п,(г)=1пе~'1пр, Р=)Г1 — $, $=7,(у,. Приведем примеры выбора оператора 0 и конкретный вид неравенств (6). В табл, 6 приведены: предположения относительно операторов А и В, указан оператор 0 и вид неравенств (6). При получении конкретного вида неравенств (6) мы исходим как из самих неравенств (6), так и из эквивалентных им неравенств у,(0А 'Вх, А-'Вх) <(0А 'Вх, х), (0х, х)<у,(0В 'Ах, х), (8) получающихся из (6) при помощи замены х= — А 'Ву, Таблица 6 Отметим неравенства у, (Вх, Вх) < (Ах, Вх), (Ах, Ах) < у, (Ах, Вх), т, > О.
Если этн условия выполнены, то для рассмотренных в табл. 6 частных случаев в качестве оператора 0 можно взять либо оператор А', если А =А*, либо оператор А*А. При таком выборе оператора 0 норма погрешности г„в Нр может быть вычислена в процессе итераций ) г„)о =- (0г„, г„) = (Аг„, Аг„) = ( г„11', г„= Ау„— 7. 1О а.
А. самарская, в. с. никьлаев 289 Вернемся к оценке нормы оператора 5. Если оператор С самосопряжен в Н, то в силу (5) он положительно определен, и следовательно, существует корень квадратный из оператора С. Полагая во втором нз неравенств (5) х=-С п*д, получим, что неравенства (5) эквивалентны неравенствам у,Е<С<узЕ, у,) О. Из леммы 2 при этих предположениях вытекает следующая оценка для нормы оператора 5: 15((о„р, = (! — $)1(! + $), ь = уг/уе Сравнивая эту оценку с полученной в лемме 3, убеждаемся, что оценка леммы 3 является грубой и не переходит в оценку леммы 2, когда оператор С являе!ся самосопряженным в Н. 2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
