А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Очень сильная зависимость числа итераций метода простой итерации от числа узлов сетки У является причиной того, что в настоящее время этот метод почти не используется для решения сеточных эллиптических уравнений. 2. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области. Пусть в произвольной ограниченной области б с границей Г требуется найти решение уравнения Пуассона Еи= — „+ — ",, = — 7(х), х=(х„х,)Еб, (13) принимающее на границе Г заданные значения и(х)=я(х), хЕГ.
(14) 30! т. е. число итераций для метода простой итерации пропорционально квадрату числа узлов У по одному направлению (или пропорционально числу неизвестных в уравнении). Сравнивая оценки для числа итераций чебышевского метода (10) и метода простой итерации (12), получим, что метод простой итерации требует значительно большего числа итераций, чем чебышевский метод.
Для сравнения этих методов на реальных сетках приведем точное значение числа итераций для указанного частного случая в зависимости от числа узлов Л! по одному направлению для е = 10 ' (первым указано число итераций для чебышевского метода): У=32 и=101 и=1909 %=64 и=202 и=7642 !У = 128 и = 404 и = 30577. Для простоты рассмотрим случай, когда пересечение области 6 с прямой, проходящей через точку х Е 6 и параллельной оси координат, состоит из одного интервала.
Покроем плоскость решеткой, образованной пересечением прямых, параллельных осям координат и проведенных на одинаковом расстоянии й друг от друга. Точки решетки х,, принадлежащие 6, назовем узлами сетки в=(х;, Еб). Через Л„(х; ) обозначим интервал, образующийся при пересечении б с прямой, проведенной через точку х;, Ев параллельно оси координат Ох„, в=1, 2. Концы этого интервала назовем граничными узлами по направлению х„. Множество всех граничных узлов по направлению х„обозначим через у„, а через у=у,() у, обозначим границу сеточной области. Множества внутренних и граничных узлов образуют сетку в=в() у в области 6. Рассмотрим один из интервалов Л„.
Множество узлов х11~в, лежащих на этом интервале, обозначим через в„(хв), ()=3 — а, и = 1, 2. Через в'„(ха) обозначим множество, состоящее из узлов в„(хв) и правого конца интервала Л„. Определим в„(хз) как множество, состоящее из узлов в„(хз) и концов интервала Л„. Обозначим через х(,+.'") и х(, '") узлы, ближайшие к точке х,, Е в„(хв) соответственно справа и слева и принадлежащие в„(хз). Шагами Ь~(х;,) сетки в в точке х,, Ев будем называть расстояние между узлами х; и х(~'") цв. Отметим, что если все четыре соседних к х, узла х(~'") принадлежат в, то шаги й~ равны основному шагу решетки й. В приграничных узлах й~ (Ь. Между шагами Ь„' и Ь„имеет место соотношение Ь'„(хп) =й„-(х(,."")) .
Задаче (13), (14) поставим в соответствие на сетке в разностную краевую задачу 2 Лу= Х у-„; = — ~р(х), хЕв, у(х)=д(х), х~у, (!5) где ! у- = — (у — у ~а), "'я й 1 у- = — (у" — у), й уе "=у(х(е' )), 002 1 ух —— — (у" ~а — у), )~а а=1, 2. Введем некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Определим для сеточных функций, заданных на а, скалярные произведения по формулам: (и, о)„а= ~~~ и(х)о(х)Ь, ха Е а (ха) (и, о)а+ = ~ и(х)о(х)Ь (х), ха е аа (ха) (и, о)а =((и, о), 1)„, 1)=З вЂ” а, а=1, 2.
Используя эти обозначения, скалярное произведение в Н можно записать в виде (и, о) =((и, о)„, 1)„, =-((и, о) „1)„,. Из определения оператора А получим, что (Аи, о)= — (Лй, о) = = — ((й;;, о),„1)„— ((й;;, о), 1) а так как в силу разиостных формул Грина имеет место равен- ство (см. и.
3 3 2 гл. Ч) — (й- -, о) =(й-, о- ) = — (и, о- - ) каха' яа ха' ха аа кака аа' то отсюда вытекают равенства (Аи, о)=(и, Ао), (Аи, и)= ~'., (и-,, !)а, а=! а иЕН, й ЕН. (17) Первое из этих равенств доказывает самосопряженность в Н оператора А. Для приближенного решения уравнения (1) рассмотрим неявный чебышевский метод В~~~~ ~~+Ауе — ее, у=О, 1, ..., у бН, те+1 где в качестве оператора В возьмем легко обратимый диагональный оператор Ву=(Ь +Ь,) у, Ь„(х) = — ~ — „+ — ), ахх 1, 2. (18) ! г ! 1 (е Ьа (х) аа (х) 303 Разностная задача (15) сводится к операторному уравнению (1) и оператор А определяется таким же образом, как и в п.
1. Скалярное произведение в Н задается следующим образом: (и, о) = ~ и(х) о(х) Ье. хеа Поясним выбор оператора В. Если трактовать уравнение (1) как систему линейных алгебраических уравнений с матрицей А, соответствующей оператору А, то матрица М, соответствующая оператору В, есть диагональная часть матрицы .К. Так как операторы А и В являются самосопряженными и положительно определенными в Н, то 7, и 7„входящие в условия (6), (7), являются постоянными энергетйческой эквивалентности операторов А и В: 7,В<А<7,В, 7,>О, если в качестве О выбран один из операторов А, В или АВ 'А.
Найдем оценки для 7, и 7,. Сначала покажем, что имеет место равенство 7,+7,=2. (19) Действительно, пусть и(х) — произвольная сеточная функция из Н. Рассмотрим функцию о(х), которую определим следующим образом: о (хп) = ( — 1)'+~ и (х;,), х,, ~ в. Вычислим значение разностного оператора Ло в точке хо. Получим 2 л'о,о — у — „'(', ' — ' ' ) а=« й«йа «-«; ( уй"« — й й — й 'а'о ь а «=«, — 2 ( — 1)'+~ (Ь, (хы) + Ь, (х; )) й (хп). Следовательно, Ао((, ») = — Ло((, 1) =( — 1)'+~(2 — А)и((, 1). Далее, так как уо=ш)п ', (Ао, о)=2(Ви, и) — (Аи, и), (Во, о) — (Ви и) (Аи, и) о(Ви, и» ' то 7,=шах — '=2 — ш(п ' =2 — 7,. (Ао, о) . (Аи, и) о ~ о (Во, о) и Ф о (Ви, и) Утверждение доказано.
Используя соотношение (19), получим, что в формулах (6) то = 247о+7о) = 1 Ро = (7« — уо)((7о+7«) = 1 7о Следовательно, для вычисления итерационных параметров то достаточно найти оценку для 7,. Из леммы 13 $2 гл. Ч полузо4 чим, что для любой сеточной функции уЕЙ имеет место нера. венство Ь,„(х) Ьг (х) + Ь1 (х) и"4 и (х а) (23) найдем решение задачи (2!).
котором расположены узлы В силу построения решетки Й лишь для приграничных Осталось вычислить к . Для этого Пусть концы интервала Л , на сетки си„(ха), есть 1„(ха) и Е„(ха). на плоскости шаги Й~~ отличны от узлов (см. рнс. 3). ~аЩ г„(;,) Рис. 3. Поэтому на сетке си„(ха) разностная производная о,—; и правая часть уравнения (21) записываются в виде !Гс+'и — с и — и 1<с ~ 1 "а "и а~ а и- - = — „, (о+с" — 2о+о-"), Ь„= — „,, 1„+Й (х„с. ń— Й+, кака а( а+ Й ~~ а Й(а у/~ а 305 (Ь„у, у)„~ к„(у'-, 1)„+„, сс = 1, 2, (20) где и„=х„(ха)= шах о" (х), а о" (х) есть решение следую. х,„еа (ха) щей трехточечной краевой задачи: Ос У Ьа (Х)~ Ха 6 Сиа (Ха)з о" (х)=0, ха Е уи.
Разделив неравенство (20) на и„и суммируя по сиа, получим < — „' у о)с((у-,'. 1)„.. !). =(у,.*.!), -~,2. Складывая эти неравенства, найдем < Ь„ (22) в=~ '" / и=1 Из (17), (18) и (22) следует, что в качестве 7, можно взять величину Непосредственная проверка показывает, что сеточная функция (ьй)'- — (:)* для х Еа„(ха) есть решение задачи (21).
Так как и" (х) ( —,(х„— 1„)(й„— х„)+1, то 1'а — 1и (24) к ее~, (ка) Подставляя (18) и (24) в (23), найдем оценку для у,. Грубую оценку для у, можно получить следующим образом. Пусть рассматриваемая область 6 вписана в квадрат со стороной 1. Тогда ń— 1„(1 для любого а и, следовательно, х„( (Р!(46')+1, и=1, 2. Подставляя эту оценку в (23), получим у,>46'!(Р+4й'), т. е. у,ж4й'1Р. Так как 7,=2 — у„то з== = т,!т,ж26'1Р.
Следовательно, из оценки (7) для числа итераций получим и, (з) ж = !и — ж 0,35 М 1п —, р 2 2 йа 3 з (25) где М есть максимальное число узлов по каждому направлению. Итак, для рассмотренного здесь неявного чебышевского метода число итераций зависит только от основного шага сетки Ь и не зависит от неравномерных шагов й~ в приграничных узлах. Сравнивая оценку (25) с полученной ранее оценкой (10), находим, что число итераций для случая произвольной области 6, вписанной в квадрат со стороной 1, такое же, как и для случая, когда область 6 есть указанный квадрат.
Приведем расчетные формулы для чебышевского итерационного метода решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области 6: уь„(ху) = (1 — тьь,) у„(х;,)+ хсоЕа, у„(х)==а'(х), хну. Заметим, что в главе Х для рассматриваемой задачи будет построен другой неявный чебышевский метод (попеременно-треугольный итерационный метод), для которого число арифметических действий, затрачиваемых на реализацию одного итерационного шага, несколько больше, чем для рассмотренного здесь метода, а число итераций значительно меньше, что и обеспечивает эффективность указанного метода, 306 3. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами.
3.1. Явный чебышевский метод. Рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами в прямоугольнике 6 = (О <х„< 1„, сс=1, 2): Еи =;> — (й„(х) — ) — д (х) и = — 7 (х), д / да хм дх (, " дк / сс=! хЕ6, (26) и (х) = д (х), х Е Г.
(и, о) = ~ч ', и (х) о (х) Ь,й„ На прямоугольной сетке со = (х, = (й„, 16 ) б 6, 0 < 1 ( Л~„О < 1 ( У„ л„=(„/У„, а=1, 2) дифференциальной задаче (25) соответствует разностная задача 2 Лу= ~~ (а„(х)у; )„— г((х)у= — ~р(х), хам, а=1 и ч ' (27) у(х)=д(х), хну. Если коэффициенты а„(х), а (х) и Г(х) являются достаточно глад- кими функциями, то коэффициенты а„(х), а(х) и ~р (х) разностной схемы (27) можно, например, определить следующим образом: а,(х; ) =я,((1 — 0,5)а„(Ь,), а,(х,,) =я,(сй„(1' — О, 5) й,), сМ(х,. ) = а (х;,), <р (х; ) = 7" (х;,).
Будем предполагать, что коэффициенты разностной схемы (27) удовлетворяют условиям 0 < с, < а„(х) < с„х б м, 0<с(,<б(х)<г(„хан, и=1, 2. (28) Эти условия обеспечивают существование и единственность реше- ния задачи (27). Разностная схема (27) сводится к операторному уравнению (1) обычным образом: Ау= — Лу, где убН, убЙ, а Н вЂ” простран- ство сеточных функций, заданных на в, со скалярным произве- дением правая часть ) уравнения (1) отличается от правой части ~р схемы (27) лишь в приграничных узлах. Для приближенного решения уравнения (1) применим явный чебышевский метод (5) — (7)(В=В). В ~ 2 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
