А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Ч было показано, что определенный здесь оператор А является самосопряженным в Н. Поэтому априорная информация для чебышевского метода 307 имеет вид постоянных у, и у, из неравенств т!Е< А <у,Е, у,)0, если в качестве 0 выбран один из операторов Е, А или А'. Найдем эти постоянные. Для этого введем оператор А, соответствующий разностному оператору Л, где Лу=у„-„+у„-„, и определим следующие скалярные произведения для сеточных функций, заданных на в: (и, о)„„= ~~ и(х)о(х)Ь„, (и, о) + = Я и(х)о(х)Ь„, "ае~а х„!и<', (и, о)„=((и, о) +, 1)„, р=-3 — а, !х=1, 2.
Здесь а!„= (х„! = !Ь„, ! < ! < У вЂ” 1), со = (х„! = !Ь„, 1 < ! < Ь7„). Введенные здесь скалярные произведения являются аналогом скалярных произведений, определенных в п. 2. Из определения операторов А и А и разностных формул Грина (см. п. 2 9 2 гл. Ч) получим (Аи, и) = — (Лй, й) = — ((а!й„-,„„й),, 1)„,— ((а,й-„,„„и), 1)„,+ 2 + (!(и, и) = ~ (а„й;', 1) +(!(и, и), (29) (Аи, и) = — (Ли, й) = ~ (и, 1), и Е Н, й Е7т'.
а=! " а Учитывая неравенства (28), отсюда получим операторные неравенства вида с!А + с(,Е ( А < с, А + Й,Е. (30) В п. 1 9 5 было показано, что оператор А имеет границы 2 ! т"а 4 ° л >ьа ' 'г~ 4 лад у — ~~ з)п! " у = ~~ — „, соз! Ь! 2! ' ~ а 2! а=! а Я а=! Я т. е. имеют место неравенства у,Е < А < т!Е, (31) Из (30) и (31) найдем, что оператор А имеет границы у, = с!т!+с(„ у! = 72+ Д2. Итак, постоянные у, и у., найдены. Используя их, вычислим по формулам (б) итерационные параметры т, а по формулам (7) найдем оценку для числа итераций л. Так как $=у!/у,=О(~Ь('), то 5=7!!7,=0()Ь'Г) и для числа итераций рассматриваемого метода имеет место следующая асимптотическая оценка: 308 а константа в оценке зависит от экстремальных характеристик коэффициентов а„(х) и су(х), т.
е. от с„и су„, сс=1, 2, В частном случае, когда область 6 есть квадрат со стороной У (1, = Е, =1), сетка сэ квадратная (й„= 6, = Ус = ЕУйУ) и Й=О, получим 8с; . яа зсд яа с;, яь =-+з!п' — у = — соз' — $= — (ив с Ь 21 ~ Ьс 2Е ' сз 2Е и, следовательно, и (е) ж ~г — ' — 1и — ж 0,32 у — йУ 1п — . -/су 2 /с,2 Сравнивая полученную здесь оценку для числа итераций явного чебышевского метода решения разностного уравнения (27) с пе- ременными коэффициентами с оценкой (10), находим, что для рассматриваемого примера число итераций в к'с,ус, раз больше числа итераций для случая постоянных коэффициентов. Приведем расчетные формулы для явного чебышевского ме- тода (5) — (7), используемого для решения разностного уравне- ния (27). Эти формулы имеют вид: у» -1(Е !) = ! =аз+,(Е, у) уь(Е, у)+т,, с(ьс [а,(Е+1, у) аь(!+1, У)+ +а,(Е, !) аь(Š— 1, у)у+ — „, 1а,(Е, у+1) аэ(Е, у'+1)+ + а, (Е, !) у„(Е, у — 1)1+ ~р (Е, у)), 1 ~ <Е ~ (М1 1 Э 1 ~ (! ~ (ЛЕ2 1 где обозначено аз+,(Е, !) = Г сс (Е+ ), В+с, (~', !), с, (ь', у+!)+и, (О !) а а начальное приближение у, есть произвольная на сз сеточная функция, принимающая на у заданные значения: у(х) =а(х) для х~т.
3.2. Неявный чебышеве к и й метод. Для приближенного решения построенного в предыдущем пункте уравнения (1), соответствующего разностной схеме (27), рассмотрим теперь простейший неявный чебышевский метод (5) — (7). В качестве оператора В, как и в п. 2, снова возьмем диагональную часть оператора А Вд=бу, Ь (Е, У) = — „, ~а, (!+1, !)+ а, (Е, !) ~ + — „, ~а, (Е, У+!)+ а, (Е, у)1+ +су(Е, !).
(32) 309 Так как операторы А и В самосопряжены в Н и положительно определены, то априорная информация для неявного чебышевского метода (5) — (7) имеет вид постоянных энергетической эквивалентности операторов у,В(А(у,В, у,>0, если в качестве О выбран один из операторов А, В или АВ 'А. Найдем постоянные у, и у,. Точно так же, как и в п. 2, доказывается, что имеет место равенство у,+у,=2. Поэтому в формулах (6) для итерационных параметров ть имеем т, = = 21(71+у«) = 1~ Ро = (у«71И7«+ у1) = 1 71' Оценим у,.
Из леммы 14 3 2 гл. Ч следует, что для любой сеточной функции уЕ Й имеет место неравенство (Ьу, У)„а( к„((а„У„-', !) + ~ (с(У У) Д, сс=1, 2, (33) где к =ха(ха) = шах оа(х), а оа(х) есть решение следующей «а е аа трехточечной краевой задачи: (а«,а~аааа~ аао", -— э о"= — Ь(х), йа( „=(а — л ' (34 «а)«а оа(х)=0, ха=О, 1а, Ьа(ха(10 — Ьа, Р=З вЂ” сс, а=1, 2. Из неравенств (33) делением на ха и последующим суммиро- ВаНИЕМ ПО а10 ПОЛУЧИМ ~ у, у)((а„у-'„', 1)+ ! (1(у, у), сс=1, 2. ('.
Складывая эти неравенства и учитывая (29), получим с в Ьу, у ) ( ~1' (аау„-', 1) + (ду, у) = (Ау, у). а=1 а=1 Следовательно, в качестве у, можно взять г ° ! у,=ш)п~„— = ппп + ш!и ««а 1 ~а «,«а ««(х«) «,«а ~«(««) (35) шах оа (х) ( М (Ь', 1) а~* «а саа 310 Итак, для нахождения у, нужно решить уравнения (34), найти х„(хв) и по формуле (35) вычислить у,. Постоянная у, находится по формуле у,=2 — у,.
Получим оценку для числа итераций рассматриваемого неявного чебышевского метода. Из теории разностных схем следует, что разностная схема (34) устойчива по правой части в равномерной метрике, т. е. существует такая постоянная М, не зависящая от шагов сетки Ь1 и Ь„что для решения уравнения (34) имеет место оценка Так как 5(х)=0 ( — „, г1, 7!= ш!пй„для хааа!, то отсюда получим, /1 т что l ! н„= шах о" (х) = 0 ~ — „, у! «а е мо и, следовательно, Уз = 0(йз) н У,= 0(1). ПоэтомУ 5= 7„!Тз = == 0(!гз), а для числа итераций имеет место такая же асимптотическая по Й оценка, как и для явного метода п,(е)=0 ( — 1п — ) .
В чем же преимущество неявного итерационного метода по сравнению с рассмотренным выше явным чебышевским методом? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, которую мы приведем без доказательства. Теорема 7*'. Для итерационной схемы (5) — (7) с оператором А, соответствующим разнсстной схеме (27), наилучшим в классе диагональных операторов В (т. е.
для которого отношение $ максимально) является оператор, определгнный формулами (32). Из теоремы 7 следует, что если в качестве оператора В выбрать диагональную часть оператора А, то отношение 3=7,!у постоанных энеРгетической эквивалентности У, и уз опеРатоРов г! и В будет максимальным и, следовательно, число итераций и — минимальным. Проиллюстрируем преимущество неявного метода на следующем модельном примере.
Пусть разностная схема (27) задана на квадратной сетке в единичном квадрате Аг=мйа=й=11йг, 1,=1,=1, Коэффициенты а,(х), а,(х) и й(х) выберем следующим образом: а,(х) = 1+с!(х,— О 5)'+(х,— 0,5)'1, а,(х) = 1+с!0,5 — (х,— 0,5)' — (х,— 0,5)з), й(х) — = О, с ) О. При этом в неравенствах (28) имеем с,=1, с,=1+0,5с, г(,=да=О. Меняя параметр с, мы будем получать коэффициенты разностной схемы (27) с различными экстремальными характеристиками. Для явного метода было показано, что число итераций за- висит от отношения се!сг.
Для неявного метода число итераций зависит не от максимального и минимального значений коэффи- циентов а„(х), а от некоторых интегральных характеристик этих коэффициентов. В табл. 7 приведено число итераций для явного и неявного методов в зависимости от отношения с,!сг и от числа узлов Ж '1 Эта теорема есть частный случай более общей теоремы, доказанной в работе: 6.
Ро ге у1Ье, Е. О, 51г а из, Оп Ьез1 сопгипопеб пга1г!сез, Ргос. Агпег. Май. 5ос. а (1955), 340 — 345. 311 по одному направлению. Расчеты проведены для е=!0-'. Для случая, когда параметр с=0, т. е. а„(х)= — 1, и рассматривается уравнение Пуассона, число итераций для явного и неявного метода одинаково и приведено в п. 1. Из таблицы следует, что для рассматриваемого примера число итераций для неявного метода значительно меньше, чем для явного метода. Зависимость числа итераций от отношения с,/с, более слабая для неявного метода, чем для явного. Таблица 7 В заключение приведем расчетные формулы для неявного чебышевского метода: уае,((, !) =(! — т„а,) уа(1, !)+ +,'ь;.'.
( —,)»(1+1, !)уа('+1, !)+а,(1 !)уа(1 — 1, И+ „(,„(„. + —,1а,(1, )+1)уа(1, )+1)+а,(1, !)уа(1, )+1Ц+»р(1, !)), ьа 1 < 1 < У,— 1 1 < ! < Л»,— 1, где Ь(1, !) определено в (32), а начальное приближение у, есть произвольная на а» сеточная функция, принимающая на границе у заданные значения: у,(х) =д(х), хе(Т. Из сравнения расчетных формул для явного и неявного чебышевских методов следует, что число арифметических действий для вычисления у„„по заданному у„для обоих методов практически одинаково. Так как число итераций для неявного метода значительно меньше, чем для явного, то следует отдать предпочтение неявному методу. 4.
Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения со смешанной производной. В прямоугольнике 6=(0<х„<1„, и=1,2) с границей Г требуется решить задачу Дирихле для эллиптического уравнения со смешанными производными Еи= ~~»„, — (й,а(х) )= — !(х), хеб, дхс» ~ дха ! и (х) = д (х), х Е Г. 3!2 Предполагается, что выполнены условия симметрии Ьы(х) =Ьм(х)~ х 6 0э (36) и эллиптичности 2 2 2 ~ Хй< Х М«вЬ<~ Х Б'« с,) О, (37) где $=(Чо 5,) — произвольный вектор. На прямоугольной сетке со= (хм — — (1Ь„)Ь,) Е 6, 0<~ ю' <У„0<1<~,М„ Ьа = 1и!Уа сс = 1, 2) дифференциальной задаче соответствует разностная задача Дирихле 2 Лу=0,5,~ ~~(йаау )к,„+(Ьяад~ )" ]= — ф(х), хЕы, (38) а,а=1 "а " ' 'а '~ и(х)=д(х), х~у, где у — граница сетки в. В 9 2 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
