А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Каждый конкретный метод определяется выбором оператора !У и имеет свою область применимости. Оператор О будет выбираться так, чтобы в формулу (3) для итерационного параметра та,, входили только известные в процессе итераций величины. Рассмотрение примеров начнем с метода скорейшего спуска. Этот метод можно применять лишь в случае самосопряженного и положительно определенного оператора А. Пусть оператор А самосопряжен и положительно определе~. в Н. Метод скорейшего спуска характеризуется следующим выбором оператора Р: Р= А. Оператор В должен быть положительно определен в Н. Учитывая соотношения Аг«=Ау — ~= г и А = А', из (3) получим формулу для итерационного параметра т«+, в неявном методе скорейшего спуска ('ь м«) (А «ч«)' Для случая явной двухслойной схемы (2) (В» В) получим ш« —— =В 'г =г, и формула для т«„, принимает вид (г«, г«) т««,—— 1, й=О, 1, ( 'ь г«)' В методе скорейшего спуска минимизируется норма погрешности г«, в энеРгетическом пРостРанстве Н„: !!г«1« —— (Агь г«)ы«.
Условия сходимости метода сформулированы в теореме 1, из которой следуют оценки ) з» !!«~ (р» (( г«!«и )~ п«(з) - 1п е)!и р Значение величины р определяется свойствами операторов А и В и объемом априорной информации относительно их. Заметим, что требование самосопряженности оператора РВ 'А = = АВ 'А для данного метода эквивалентно требованию самосопряженностн оператора В.
Поэтому 1) если В:= В* и выполнены условия (3) ~! или эквивалентные им условия (см. гл. Ч1, 3 2, п. 3) у,В(А(у«В, у, ) О, то 2) если В ~В* и выполнены условия (4) 5 1 или эквивалентные им условия (см. гл. Ч1, 3 4, п. 2) у,(Вх, А 'Вх)(*(Вх, х), (Ах, х)(у«(Вх, х), у, ) О, то Отметим, что если В= В*, то метод скорейшего спуска обладает асимптотическим свойством. 2. Метод минимальных невязок. Этот метод можно применять в случае любого несамосопряженного невырожденного оператора А.
Положительная определенность каждого в отдельности 341 операторов А и В не предполагается, требуется лишь положительная определенность оператора В*А. Метод минимальных невязох определяется следующим выбором оператора 0: 0=А*А. Формула (3) для итерационного параметра та+, в методе минимальных невязок имеет вид (Амь гь) тхьг=,! (, А=О, 1~ ... ( мь э'э' В случае явной схемы (2) (В=В) требуется положительная определенность оператора А, а формула для та+, имеет вид (Агь гх) т„+1= А А, й=0,1, ... ( гь гх)' Название метода связано с тем, что в нем минимизируется норма невязки. Действительно, для указанного оператора 0 имеем $!гхфЬ=(0гх, гь) =(А'Агь гэ) =$!Аг $/'='!гэ)!'.
Следовательно, для рассматриваемого метода норма погрешности в Нд равна норме невязки, которую можно вычислить в процессе итераций и использовать для контроля окончания итераций. Из теоремы ! следуют оценки сходимости метода ~ г„() ( р" )! г„~, и > и, (е) = 1п е!!и р. Оператор 0В 'А =А*АВ 'А будет самосопряжен в Н, если самосопряжен оператор АВ ', что эквивалентно требованию самосопряженности оператора В*А.
Если это требование выполнено, то из условий (3) 2 1, которые в данном случае имеют вид у,(Ау, Ау) ((АВ-'Ау, Ау) (у,(Ар, Ау), т, > О, или после замены у=А 'Вх у,(Вх, Вх) ((Ах, Вх) (у,(Вх, Вх), у, > О, (4) и теоремы 1 следует, что р = (1 — $)й1+ $), $ = у,/уь Отметим, что условие у, > О будет выполнено, если выполнено указанное выше требование положительной определенности оператора В*А. Условия самосопряженности и положительной определенности оператора В*А будут выполнены, например, при следующих предположениях: А =А* > О, В=В' > О, АВ=ВА. В этом случае неравенства (4) эквивалентны более простым. Действительно, полагая в (4) х=В ы'у и используя перестановочность операторов А и В, получим у,В~А~уВ, у,>О. (5) Условия самосопряженности и положительной определенности оператора В*А будут автоматически выполняться и в том случае, когда оператор В имеет вид В=-(А') 'В„где В,— самосопря- 342 женный и положительно определенный оператор.
В этом случае вместо неравенств (5) нужно использовать неравенства Т,В, < А*А (у,В„у, ) О, (6) а в формуле для параметра т»», поправку ьо» можно находить из уравнения В,ш»=А"г». Если оператор В'А несамосопряжен в Н, то из условий (4) 3 1 или эквивалентных им условий у,(Вх, Вх) ((Ах, Вх), (Ах, Ах) (у,(Ах, Вх), у, ) 0 и теоремы 1 следует, что р=~ ! — $, 5=7,/7,. 3. Метод минимальных поправок. Этот метод можно применять для решения уравнения (1) с несамосопряженным, но положительно определенным оператором А. Требуется, чтобы оператор В был самосопряженным положительно определенным и ограниченным оператором.
Метод минимальных поправок определяется следующим выбором оператора Р; Р=А*В 'А. Формула (3) для итерационного параметра т»+, в методе минимальных поправок имеат вид (л м м») т»+» — — (В-,лм» ла, 1, 3=0, 1, ... В случае явной схемы (2) (В=В) методы минимальных поправок и минимальных невязок совпадают. В методе минимальных поправок минимизируется норма поправки в На. Действительно, для выбранного оператора Р получаем !!г»~$~=(Рг» г»)=(А*В Аг», г»)=(шм г»)=(Вв», ш»)=!со»1ээ. Норма поправки в На может быть вычислена в процессе итераций и использована для контроля окончания итераций.
Из теоремы 1 следуют оценки сходимости метода Пш.!!.~р П~.н„.~..(.) =1"Л.р. Оператор РВ»А =А"В 'АВ 'А самосопряжен в Н одновременно с оператором А. Поэтому: 1) если А =А' и выполнены условия (3) 3 1 илн эквивалентные им условия (см. гл. Ч!, 3 2, п. 3) у,В(А~(у,В, у,)0, то р=(1 — $И1+$) 5=у/у»! 2) если А ~ А' и выполнены условия (4) 3! или эквивалентные им условия (см. гл. Ч1, 3 4, п.
2) у,В =.А, (Ах, В 'Ах)~у»(Ах, х), у,>0, р=Р~ †$=т/у' Отметим, что по сравнению с методамл скорейшего спуска и минимальных невязок в методе минимальных поправок требуется не один раз обращать оператор В, а дважды, сначала для вычисления поправки шю а затем для вычисления В-'Ашм Отметим также, что если А =А', то метод минимальных поправок обладает асимптотическим свойством. 4.
Метод минимальных погрешностей. Этот метод можно применять, как и метод минимальных невяэок, в случае любого несамосопряженного и невырожденного оператора А. Метод минимальных погрешностей определяется следующим выбором операторов В и Р: где В,— самосопряженный положительно определенный в Н оператор. Подставляя в формулу (3) для итерационного параметра тг„ выбранный оператор Р и учитывая, что и„ =- В '«„ = В„'А*«„, получим формулу для т~+, в методе минимальных погрешностей "+1 (Амм гг) ' Поправка ш„находится из уравнения В,шь=А*«м В случае явной схемы (В,=Е) формула для тг„, имеет вид («и «г) та+1= (,р л~ «ь '«г) ' В методе минимальных погрешностей минимизнруется норма погрешности в Н, Для этого метода оператор РВ 'А=А"А является самосопряженным в Н, а условия (3) й 1 принимают вид неравенств (6).
Из теоремы 1 следует оценка сходимости метода ')г„)а (р")г,)з,, л.=гн,(е)=1пг/1пр, где р=(1 — $)/(1+ $), 5= у,/у„а у, и у, определены в (6). Метод минимальных погрешностей всегда обладает асимптотическим свойством. 5. Пример применения двухслойных методов. Для иллюстрации применения построенных двухслойных градиентных методов рассмотрим решение модельной задачи явным методом скорейшего спуска. В качестве примера возьмем разностную задачу Дирихле для уравнения Пуассона на квадратной сетке а=(х;,= =(й, /Й), 0()г-У, 0(/(У, й=1/У) в единичном квадрате Ли=и-„„+и-„, = — <р, лб«л, и)т=й. (7) 344 Введем пространство Н, состоящее из сеточных функций, заданных на е!, со скалярным произведением (и, о)= ~ и(х)о(х)й'.
«6а Оператор А на Н определим следующим образом: Аи= — Ла, УЕН, где о(х)=у(х) для хне! и о!т =О. Задачу (7) запишем в виде операторного уравнения Аи=р', (8) где 1 отличается от !р лишь в приграничных узлах ~=Ч+й.+а* п(О, х,), х;=й, д(х„О), х,=й, (р О, 26<х,<1 — 26, (р,= О, 26<х,<1 — 26, У(1, х,), х,=1 — й, п(х„1), х,=1 — й. Оператор А является самосопряженным и положительно определенным в Н. Поэтому для решения уравнения (8) можно применить метод скорейшего спуска. Явная итерационная схема имеет вид У«э! — Уй +АУа — — Р или Уа!.«=Уь — т„,,г„, 6=0, 1, ..., та+ ! а итерационные параметры та находятся по формуле (гм г!) Приведем расчетные формулы и подсчитаем число арифмети- ческих действий, затрачиваемых на одну итерацию.
Учитывая определение оператора А и правой части р, рас. четные формулы можно записать в следующем виде: 1) га(хы)= — (уа)„-, — (у„)„-„— <р(хы), 1<!, 1(Ф вЂ” 1, Уа~, =й! и-! и-! 2) (гю га) = ~ ~ 4(х!~)й', г=! (=! и-! и-! (Аг„, г ) = — Д',,Е га(хНЦ(г„Д„-„+(гд) „16, г~„=О, !=! !=! (гм гэ) «+! (Агм г«) ' 3) у„+,(х,,) =у„(хы) — та+«га(х!~), 1 < !, 1<У вЂ” 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
