А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Для разрешилсоспси неоднородного уравнения (9) необходимо и достаточно, чтобы правая часпгь С' оыла ортогонольно ссодссроссссроссству йег А'. В этолс случае решение не единственно и определяется с точностью до проссзвольного элемента, принадлежащего (сег А: и=и+и, иб!сегА, Аи=г, иЕ!шА". Пусть ! ортогонально )сег А*. Нормальным решениелс уравнения (9) называется решение, имеющее минимальную норму. Л е м м а 11.
Нормальное решение единственно и принадлежит подпространству пп А' (т. е. ортогонально кег А). Действительно, пусть и = и+ и, и Е 'кег А, и б пп А*, Тогда !)и)!'== (и, и) ==(! и!!'+с)и'~" з!)и)', так как и — произвольный элемент подпространства ~ег А.
Следовательно, норма !(и!! будет минимальной, если и == и Е !ш А*. Пусть условие ор гогональностн 7' подпространству кег А' не выполнено. Тогда решение уравнения (9) в классическом смысле не существует. Пусть !'=)+'7, С'ЕйегА", Я!шА. Обобщенным решением уравнения (9) называется элемент иЕН„ для которого Аи=7; обобщенное решенне доставляет минимум а* 227 функционалу !Аи — 11. Действительно, так как (Аи — 1) ~ !шА для любого иб.Н, то '!' Аи — Г !' = ! А и — ) (' + ) Д':-: ! Д', причем равенство достигается, если и — обобщенное решение.
Обобщенное решение определяется с точностью до произвольного элемента из надпространства МегА. Назовем обобщенным нормальным решением уравнения (9) обобщенное решение, имеющее минимальную норму. Нормальное решение единственно и принадлежит 1ш А'. Введенное здесь понятие нормального решения, очевидно, полностью согласуется с данным выше. Отметим, что если существует классическое нормальное решение, то оно совпадает с обобщенным нормальным решением. Рассмотрим теперь уравнение (9) с произвольным нелинейным оператором А, действующим в гильбертовом пространстве Н. В этом случае для доказательства существования и единственности решения уравнения (9) часто используют принцип сжатых отображений С.
Банаха. Т е о р е и а 8. Пусть в гильбертовом пространстве Н задан оператор В, опюбражающий замкнутое множество Т пространства Н в себя. Пусть, кроме того, оператор В является равномерно сжимающим, т. е. удовлетворяет условию Липшица ~Вх — Ву1= д)х — у)1 х, уЕТ, где д < 1 и не зависит от х и у. Тогда существует одна и только одна точка х, ~ Т такая, что х, Вх,. Точка х, называется неподвижной точкой операпюра В. С л е д с та и е 1. Если оператор В имеет производную Тато в Н, которая удовлетворяет условию 1В'(х)!<д < 1 для любого хЕН, то уравнение х=Вх имеет в Н единственное решение.
Следствие 2. Пусть оператор С отображает замкнутое множество Т в себя и каммутирует с оператором В, удовлетворяющим условиям принципа сжатых отображений. Тогда неподвижнал точка оператора В является неподвижной точкой (возможно неединственной) оператора С. В частности, если некоторая шперация В" оператора В удовлетворяет принципу сжатых отображений, то неподвижная точка оператора В" является неподвижной тачкой (единственной) и оператора В. Вернемся теперь к решению уравнения (9) с нелинейным оператором А. Имеет место Теорема 9.
Пусть оператор А имеет в каждой оючке хЕН производную Гата А'(х) и существует т~О такое, что для всех х ~ Н еьтолнена оценка ~~ Š— тА' (х) (< д < 1. Тогда уравнение (9) имеет в Н единственное решение. Действительно, уравнение (9) можно записать в следующем виде: и = и — тАи -'; тг, т ~ О. (1О) Определим оператор В: Вх=х — тАх+т1. Очевидно, что оператор В имеет производную Гато, равную В' (х) = Š— тА' (х). В силу условий теоремы имеем 1В' (х) (( д ( 1 для любого х Е Н, Поэтому из следствия 1 теоремы 8 вытекает существование и единственность решения уравнения (10) и, следовательно, уравнения (9).
Теорема доказана. Отметим, что в главе Ч1 будут рассмотрены некоторые способы получения сценок для норм линейных операторов вида Š— тС, где т — число. Принципом сжатых отображений не исчерпываются все случаи, когда решение нелинейного уравнения существует. При доказательстве разрешимости операторного уравнения (9) можно использовать один из вариантов теоремы о неподвижной точке— принцип Ераудера.
Теорема 10. Пусть в конечномерном гильбертовом пространстве Н непрерывный монотонный (строго монотонный) оператор В удовлетворяет условию (Вх, х)~~0 для )х)(=р)0. Тогда уравнение Вх=0 имеет в шаре 1х((р по крайней мере одно (соответственно единственное) решение Воспользуемся этой теоремой и сформулируем условия, при выполнении которых операторное уравнение (9) однозначно разрешимо при любой правой части 1. Те о р ем а 11. Пусть в конечномерном гильбертовом пространстве Н задано уравнение (9) с непрерывным и сильно монотонным оператором А, (Ах — Ау, х — у)>~61~х — у!)', 6)0, х, упН.' Тогда в шаре 1'и~', - — 1АΠ— Ц уравнение (9) имеет единственное решение.
Действительно, запишем уравнение (4) в следующем виде: Ви=Аи — 1=0. Видно, что оператор В непрерывный и сильно монотонный. Используя условие теоремы и неравенство Коши — Буняковского, получим (Вх, х)=(Ах — г, х) =(Ах — АО, х — 0) — (1 — АО, х)) ) 6(х)(* — (( ~ — АО() х!) = (6)~ х(! — !) АΠ— Д) (х~. 1 Отсюда следует, что на сфере 1х(= — '1АΠ— Г1 оператор В удовлетворяет условию (Вх, х) ) О.
Поэтому в силу теоремы 1О уравнение Ви=О (а вместе с ним и уравнение (9)) имеет единственное решение в указанном шаре. Теорема 11 доказана. 229 Следствие 1. Если оператор А имеет в Н производную Гата, являющуюся положительно определенным в Н оператором, то условия теоремы 11 вьтолнены. Действительно, так как в конечномерном пространстве линейный оператор ограничен, то производная Гато является непрерывным ограниченным и положительно определенным в Н оператором. Из теоремы 2 следует, что А — сильно монотонный оператор. Кроме того, из ограниченности производной Гаго вытекает, что оператор А удовлетворяет условию Липшица и поэтому непрерывен.
й 2. Разиостные схемы как операторные уравнения 1. Примеры пространств сеточных функций. В 2 1 гл. 1 были введены основные понятия теории разностных схем: сетки, сеточные уравнения, сеточные функции, разностные производные и т. д. Теория формулирует общие принципы и правила построения разностных схем заданного качества. Характерной чертой этой теории является возможность сопоставить каждому дифференциальному уравнению целый класс разностных схем с требуемыми свойствами. При построении общей теории естественно освободиться от конкретной структуры и явного вида разностных уравнений. Это приводит к определению разностных схем как операторных уравнений с операторами, действующими в некотором функциональном пространстве, а именно, в пространстве сеточных функций. Под пространством сеточных функций понимается множество функций, заданных на некоторой сетке. Так как каждой сеточной функции можно поставить в соответствие вектор, координатами которого являются значения сеточной функции в узлах сетки, то операции сложения функций и умножения функции на число определяются так же, как и для векторов.
Пространство сеточных функций линейно, и если сетка содержит конечное число узлов, то пространство конечномерно. Размерность его равна числу узлов сетки. В пространстве сеточных функций можно ввести скалярное произведение функций, превратив это пространство в гильбертово. Различные пространства сеточных функций могут отличаться одно от другого выбором сетки и нормировкой. Приведем некоторые примеры. Пример 1. Пусть на отрезке 0(х(! введена равномерная сетка ю=1х;=1й, 0<1(У, йУ=Ц с шагом й. Через а, ы" и ю обозначим следующие части сетки в: со = 1х; ч ы, 1 ~ 1( У вЂ” 1~, в+ =(х,Ею, 1(1(У~, ю = ~х, Ев, 0~1(У вЂ” 1~.
230 На множестве Н сеточных функций, заданных на ы и принимающих вещественные значения, определим скалярное произведение и норму следующим образом: (и, о) =(и, о)-= '~Р исосй+ 05((,,,+игсос!), с=! (1) (~ и ,'( = ~/ (и, и), и; = и (хс), ос = о (хс). Если ис и о; рассматривать как значения на сетке со функций и(х) и о(х) непрерывного аргумента хЕ[0, 11, то скалярное произведение (1) представляет собой квадратурную формулу тра! пеций для интеграла ~ и(х) о(х) с(х.
Если сеточные функции зао даны на со, со+ или н, то скалярное произведение вещественных сеточных функций определяется соответственно по формулам (и, о) = ~ и р,й, и, о Е Н (а!), с=! Ф-! (и, о)= ~ исосй+0,5йиссо „и, оЕН(со+), с=! К-! (и, о) = — )~ ~исосй+0,5йи,о„и, о ЕН (сз ). !=! Легко проверить, что введенные скалярные произведения удовлетворяют всем аксиомам скалярного произведения, и поэтому построенные пространства являются гильбертовыми. П р и м е р 2. Пусть теперь на отрезке О ( х (1 введена произвольная неравномерная сетка в=(хсЕ[0, Ц), хс=х;,+Ь;, 1(с(У, х,=О, х~=1). (2) Напомним определение среднего шага Фс в узле х;: Й,=0,5(йс+Ьс„), 1(с(У вЂ” 1 Во=О 5й„йч=О 5йзс (3) Отметим, что равномерная сетка есть частный случай неравномерной сетки (2) при Ь! — = Ь.
При этом имеем !с! =й, 1(! (йс — 1, Ф, =Ф„= 0,5Ь. Обозначим, как и выше, через со, «с+ и се соответствующие части сетки «!. По аналогии с примером 1 определим в вещественных пространствах сеточных функций, заданных на 231 указанных сетках, (4) (и, (5) (и, (и, скалярное произведение по формулам: о) = ~ и!о,Ь„и, о~Н(ы), !=о Ф-! о)= ~ и!огн„и, оЕН(н), !=1 о) = х~~~~ иго!й!, и, оЕН(ь!+), != ! Ф-! о)= ~ч.", и!о!й!, и, о~Н(а! ).
!=0 Построенные пространства сеточных функций являются зильбер. тоеыми и имеют конечную размерность, равную числу узлов соответствую!цей сетки. Введенные скалярные произведения удобно записать в виде (и, о)= ~ и(х,)о(х!)1!.(х!), и, оЕН(11), х!ЕЯ где под (е понимается либо <ь, либо со, в+ илн ы . Помимо указанных скалярных произведений часто встречаются суммы вида Ф н-! (и, о).>+ = ,~ ~ир,Ь„ (и, о)„- = ~ ир;Ь„„ (5) 1=1 с=о которые можно использовать в качестве скалярных произведений в пространствах Н(ы+) и Н(ы ). Видно, что для скалярного произведения (4) в пространстве Н(в) верно равенство (и, о) = 0,5'1(и, о)„!.
+ (и, о)„-1, и, о Е Н (ы). П р и м е р 3. Пусть в прямоугольнике б = (О ( х„~ 1„, а=1, 2) введена произвольная прямоугольная неравномерная сетка в=в,хв„где «!ч= (ха (!а) Е)0 1а) ха ((а) =ха (!а 1)+Ьа (!а)1 1 <~ !а ~ ~На х„(0)=0, х„(У„)=1„), а=1, 2. Пусть Й„(!<,), 0<!„(М вЂ” средний шаг в узле х„(!' ) по направлению х„: ~а (!а) = ОЛ!!Ьа (!а) +Ьа (!а+ 1)1, 1 (~!а~( Н!,.— 1, Йа(0)=0>5Ьа(1), бк(Уа)=0 5Ь<~(Ма) и= 1~ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
