А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Это выРаже- Э ние для Л у является общим; если х — регулярный узел, то Ьа.>. = а = Ьа = Ьа, и мы приходим к формуле (16). В регулярных узлах Л имеет второй порядок аппроксимации, Лаи — Ьаи = 0(Ь'„), в нерегулярных узлах Л и — й и 0(1). Перейдем теперь к написанию локально. одномерной схемы (ЛОС). Приведем сначала наводящие соображения согласно п. 3. На отрезке О(с<г, введем сетку в, П> )т, ) О, 1, ..., «>>) с шагом т йl1а Пусть ~ — произвольные функции такие, что р :Е 1а = ). Формально заменим многомерное уравнение цепочкой а 1 одномерных уравнений теплопроводности 1 др(а) д( = Г'ар(а) + Уа ПРК т)+(а-()/р < С (» 1)+а!рв (И) р дС и=1,2,...
р, хенб, ' с условиями о„>(х, О) и,(х), о(,>(х, $,+(, „„) =(>„»(х, т,+(, „„), >(28 (э 11 2~ 3~ э ..> р~ о(а> )((х» г) при хж Га| где 1>+ (р Ч+ а/р)т. Длн разностной аппроксимации оператора Е в узле х выбираем трехточечный шаблон, состоящий из точек х( )а),х, х(+'а». Разностный оператор Л - Ь, имеет вид: а) В регулярных узлах Лау = у- „ = — (у(+~а) — 2у + у( ~а)). (16) 4яя гл. пс. зкономичнын схимы для многомшных задач Краевые условия для и, „очевидно, достаточно задавать не на всей границе Г, а на ее части Г„состоящей из точек пересечения Г со всевозможными прямыми С„параллельными Ох и проходящими через любую внутреннюю точку х»н 6 (см.
гл. ЪЧ, $1). Узлы хы "(»,а лежат на Г . Если, например, С»=(О~х <),) — параллелепипед, то Г состоит из граней х, 0 и ха Аппроксимируя каждое уравнение телопроводности номера а. на полуянтервале Г>+, и„< р ( Фв,р двухслойной схемой с весами, получим цепочку р одномерных схем, которую и назовем ЛОС: = ~1а(сау + (1 па)у )+ >р т а а а а = 1, 2,...,р> хеив», где са — произвольное число. В дальнейшем мы ограничимся изучением лишь чисто неявных. ЛОС (с 1): 3+а/р Ьыа-»у« =Аау~+ '«+>р>„+"~Р, а=1,2, ...,р, хеивл. т (21) К этому уравнению следует присоединить краевое условие у'+"р=)»'+" при хы'(»,, 1=0, 1, ..., 1„ и начальное условие (23) у(х, 0) и,(х). Из последующего будет видно, что правую часть >р(~Р и гра яичное значение у~~ рата можно выражать через )а(х, р) и Э ФФ )»(х> т)> взятые в произволькые моменты Времени га и Га иа отреаке [ц, й+,), так что >р,'~"в= уа(х>»а)> )»'+ « = )» (х>»а ).
Это не отразится на порядке точности. Для определенности будем полагать >ра = ~а(х> 6+о,») )л = )»(х> Гз+ар«)> м = 1» 2» .. »р. Пусть известно у'. Чтобы найти иа (21) — (22) значение у'+' на новом слое, мы должны решить р уравнений (21) с краевым условием (22), последовательно полагая а 1, 2, ..., р. Для определения у'+'" получаем краевую задачу вида А~ у(+ »« — С~ у а «+А~+»у»~„+»~ = — р„~ при хаивл> (24) у>+а>«=р'+а>«при хану»,а, а=1,2,...,р, где указаны только те ниящне индексы, которые меняются.
Разностное уравнение пишется вдоль отрезка й, лежащего на прямой С; концы этого отрезка принадлежат границе (»,. Разностное $ э. метОд суммАРнОЙ Аггпроксилглтши . 469 гг+агР гг+<© гпг 1+аур .= Лаз + гуа 1=0,1 ",1г а=1 2 ° ° р зг+а~Р = 0 при х еи ул,а, з(х, 0) = О, (25) где )+а,.+ 1+а р аН О аМ -Ю~р = Лаи +,фа (26) т Вводя обозначение (верхние индексы при гд опускаем) а Г г да 11+1~1 гэ =~А и+)а — — — ) р д1) (27) Р р и замечая, что ~~.", гуа = О, если ~~.", ~а = 1, представим гуа= гра+~~Р а 1 а 1 в виде а гга = фиг + гга~ где ° (Л 1+а/р ~ 1+мг) + ( )+агр 11+юг) 1' ' ~ ') аг+~йр авм гпр $ ( да 1)+гя) т . р ~дг/ Иэ определения Л и гр, следует, что гЬ'= 0(Ьа+ т) в регулярных узлах, гуа = 0 (1) в нерегулярных узлах.
уравнение (24) решается методом прогонки вдоль всех отрезков Ь при фиксированном а. При этом затрачивается число арифметических операций, пропорциональное числу узлов сетки ы . По латая последовательно а 1, 2, ..., р и меняя'направления прогонок, определим у'+"', уг'*)г, ..., у'+", ..., у'+', затратив при этом 0(1)~ операций на узел сетки.
Таким образом, ЛОС (21)— (23) является экономичной. 6. Погрешиость аппроксимации ЛОС. Перейдем к изучению' погрешности аппроксимации (повязки) ЛОС и убедимся в том, что каждое в отдельности уравнение (21) номера а не аппроксимирует уравнение (15)', но сумма погрешностей аппроксимации гр грг +' + гул+... + гу, стремится к нулю при т — 0 и (й! - О.
ПУсть и=и(х, 1) — Решение задачи (15) с Ь и дгиlдха,в у'+ ", а 1; 2, ..., р,— решение задачи (21) — (23). ХарактериСтИКОй тОЧНОСтИ ЛОС яВЛявтея раЗНОСть у'+' — й+г э~+1. Промежуточные значения у!+'~г будем сравнивать с и'+агг и(х, Фм„г), полагая з'+"У=у'+'~г — иг+"г. Подставляя у'+'~Р з'+ )г+ и'+ " в уравнение (21), получим для погрешности зг+г аадачу 490 Гл. 1х. Зкономнчнын схемы для многомкрпых ВАдАч р Таким обрааом, 1Г = $~ 1р = ~~.", ф, = О (т + ) Ь |~) в регулярных уза 1 а 1 лах, т. е.
ЛОС обладает суммарной аппроксимацией 0(т+!ЬР) 'в регулярных узлах сетки ы1..В нерегулярвь1х узлах 1у 0(1). 7. Устойчивость ЛОС. Наша задача — показать, что из сум- ' марной аппроксимации следует равномерная сходимость ЛОС со скоростью 0(т+!Ь(*). 'Необходимо сначала доказать принцип максимума для ЛОС и получить априорные оценки в сеточной норме С для решения задачи (21) — (23), выражающие устойчи- вость ЛОС по начальным данным, по правой части и по гра- ничным данным.
В $2 гл. 1Ч был доказан принцип максимума и получены априорные оценки для решения сеточного уравнения общего вида А(Р)у(Р) = ~ . В(Р, Яуф)+Р(Р) при Ренй ЯКШЧР1 (28) у(Р) = )1(Р) при, РЫБ, где Р, 9 — узлы связной сетки Я+8, Ш'(Р) — окрестность уз- ла Р, не содержащая самого узла Р. Коэффициенты А(Р) и В(Р, ()) удовлетворяют условиям А(Р) ) О, В(Р, Ч) > О, Р(Р) = А (Р) — ~~.", В(Р, Д) ) О. (29) СНШЧРЪ Применим теоремы $2 гл. 1Ч к нашей задаче (21) — (23) и убедимся в том, что верна Теорема 1. Локально-одномерная схема (21) — (23) равно- мерно (в метрике С) устойчиво по начальным и граничным дан- ным и по правой части, так что для решения Задачи (21) — (23) нри любых т и Ь справедлива оценка 1у~1о~((ив~с+ шах ~)1(х,1')(с + о<1~а ч р + пи1х Ь 11т(х,г)/!Са+,Х т Х ~я~а $р (30) гдв Р 1у та!р 1 г1у.раур1 ф (Х1 Ф ) = фа Ь= шах Ь, 1у$„-.= шах(у~, (у(о„= шах~у(, (~р$са = шах (ф)1 1ааср ааааа вать аоа'ь ~<р)а = шах 1~р(.
воаь Для доказательства представим решение задачи в виде суммы ' у у+ о+и1, з з. мнтод стим»гноя ьшп оксимлцин 491 где у — решение однородных уравнений (21) с краевыми и на- чальными условиями (22) — (23), а и и ю — решения неоднород- ных уравнений (21) с однородными краевыми и начальными ус- ловиями: Р)+а/р р)+(а-))/р о ° = Лап)+а(р + ф'+~~р, Х Ы ВЛ, а = 1,2,...,Р, Р(х, 0) = О, и(+а)Р = 0 пРи ханфл,а, (31) „(+а!р, )+(а-))lр .~~ о(+а!р = Лаир+аlр + фа, х ен вл, а = 1, 2, .
° ° р, (32) ю(х, О) = О, из+а)р = О при х ~ у» о Здесь фа и (Р определяются условиями фа= о фа при хеивь 0 при хе вы ° фа о 0 при хе-='вл, ~фа при хенвл, так что о 'Ра+ (Ра = фа ПРИ х аи вло т. е. фа отлична от нуля только в приграничных узлах. Для удобства изложения введем сетку в, = (О, 1)+а)р =() + а(р) т, у = О, 1, 2,..., у, — 1, а =1, 2,..., р); содержащую не только узлы $)=1т сетки в„но и фиктивные У узлы.т)+„„а =1, 2, ..., р — 1; пусть в, — множествоуаловсетки в, для которых Ф > О.
Обозначим через Р(х, )'), где хе вл, (' я во, — узел (р+1)- мерной сетки И=влхао, через Я вЂ” границу Я, состоящую из уалов Р(х,.О) при ховал и узлов Р(х, (+о)р) при г)+ (рявт и х(н'(о,о для всех а 1, 2, ..., р, 1=0, 1, ..., )о; пусть 1»а есть множество уалов Р(х, ()+ „), где х ан вл,а — приграничный по направлению х, узел сетки а . Рассмотрим' аадачи 'для у и ю.
Зипишем уравнение для у в канонической форме (28), используя выражение И8) для Л, пригодное как для регулярных, так и для нерегулярных узлов: у)+ а/р— у)а+а~~р'+ 1 у)+а!Р ( ( урр(а-)ур (33) а+ а „- а где у( лл —— у (х о)+а)р); Ььа(Р ( (а»а) 492 ГЛ. 1Х. ЗКОНОМИЧНЫИ СХВМЫ ДЛЯ МНОГОМВРНЫХ З»Д»Ч Отсюда видно, что условия (29) выполнены и Р(Р) О. Из теоремы 2 $2 гл. 1У следует, что для решения уравнения (33) верна оценка шах ~ у (Р) ~ (~ шах ) у (Р) ~. Реп+В РОВ -" Учитывая, что шах (у(Р)~=шах ~у(х,у)~с, где (у(х)(с=шах!у(з)(, Рая+ 8 йЮВ» шах)у(Р) ~ = шах(шах 1)»(х,у)Ц,~и,(с» '»'оет где 1)» (х) 1с = шах ~ )» (х) ), получаем кот» $у" $с а ) и,(с+ шах $)» (х, у) )с ° е<нс)р (34) Обратимся'теперь к задаче (32) для и.
Перепишем (32) в каноническом виде (28): »)+а'Р е-~а ия+ШР = 0 при л ЕН у» <„ю(х, О) = О, т. е. и 0 на границе Я сетки И: Р (Р) ) ш(п —, = -г-, где )» = шах Ье„ 1 а Ь'~»е Й а Применяя затем теорему 4 из т 2 гл. 1У, получаем шах) у(Р) (( шах ~-Р+ )-~ (шах Ь»(фе)сэ. (35) Гнет Ф'е ет Чтобы оценить функцию с, предположим, что Р .х — точка р-мерной-сетки ем и аапишем уравнение (31) в каноническом в(Р) 0 при Р ш 8. Правая часть ф» отлична от нуля лишь в узлах (х, Ф'), где аенв».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
