А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Регуляризатор В = ~ В, где Ва выбирается так л<е,как »=1 и в предыдущем примере: В»У = — пс»Лау, ЛаУ = У *а»а е 3. Экономичныв Фс»ктоРИЗОВАнные схемы 469 заданы краевые условия первого рода — э = (Ьс + 5э) и +» (х, с), Ь дгэ да асс аа — а = 1 2 даиэ» хяаю сан(о,т), и~г=)с(х»с), с))0, и(х,О)=и,(х), д (х» О) иэ(х)» хекэ' (42) Выберем исходную схему с весами на равномерной прямоУтольной сетке Фа (х» (с»сс»» ссйс)» $а О» 1» ° » )»са» а»аУа = )а» а=1, 2): у-„= Л (оу + (1 — 2о) у + оу) + ф (х, с), $ = (т, 1=1,2,..., хааа, у1 „= (с(х, с), с =)т, у>0„ (43) у (х, О) = ио (х), ус (х, О) = иэ (х)» хан ось» где ие(х) = иэ(х)+0»бт(Ьи +1(х»0)),Л = Л,+Л, Л„у = уПредполонсим, что 4о > 1+ з, е > О, т. е.
исходная схема (43) устойчива. Запишем схему (43) в каноническом виде (Š— атэЛ) у-„= Лу+»р и перейдем от нее к экономичной факторизованной схеме (Š— ат'Л,) (Š— о эЛэ) у-„= Лу+ Ф. (44) Перепишем схему (43) в виде (Š— отсЛ) у, = Е, Р = (К вЂ” от'Л) у;+ т (Лу + Ф) и факторизуем оператор Š— от'Л при у,: (К вЂ” от*Л»)(Š— от'Л„,) у, = )г или аасэЛ»Л у. + (Е' — атэЛ+ О,баас4Л»Лс) у-„= Лу+»р. (45) Обе факторизованные схемы (44) и (45) имеют второй порядок аппроксимации по т при любом о и устойчивы при 4о > 1+ а + з, так как операторы Е = — Л (в пространстве сх Иа функций, ааданных на оса и равных нулю на границе (а сетки) перестановочные, самосопряженные и положительные.
При определении у = ус+» из полученных разностных уравнений следует номнлть о граничных условиях для промежуточного 470 ГЛ. 2Х. ЭКОНОМИЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ значепня. Уравнение В,В,у-„= Лу можно решать так: В, „, = Лу+ р, „и> ~„„= В,р,-„, = О, 1„ В и1М = 2д<ц, й< ~~та»о р", х2 = 0 12 у'+2 — 2у' у) 2 (- тзз2( Р Для вычисления у'+' надо помнить три последовательности величин у' ', у' и иаэ Если переписать схему в виде В2В2у2 — — Ф, Ф = т(Лу+ ф) + В2В»ур то для определения у'+' надо помнить только две последовательности у' и 2даз Однако при этом увеличивается объем вычислений иэ-за усложнения правой части. Решение уравнения (45) приводилось выше.
Нетрудно построить экономичные факторизованные схемы для задачи (42), когда Ь, определяются формулами Ьаи = — ~йа (х, 2) — ), 0 ( ст ~ (Йа ~ (с,. д да т д»„~ " ' д»„/' В этом случае в качестве исходной выбираем схему (Е + т'В) у-„= Лу + ф, 2 где Лу= ~ /аау- 1, Ву= — ОЛу, Лу =-у- +у- . Пара- »а/»а' »2»2»2»2' метр О выберем так, чтобы выполнялось условие устойчивости (Ву, у) > (1+ е Н вЂ” Лу, у)/4, е > О, о о при любом у2ИН= 11, где И вЂ” множество функций, заданных на Е2о И раВНЫХ НУЛЮ На ГраНИцЕ СЕТКИ 7». ДЛя ЭТОГО, ОЧЕВИДНО, дО- статочно положить и = (1+ е)с,/4. Заменяя оператор Е+ т'(В, +В,) факториаованным операто- ром (Е+ Г'В,НЕ+ тоВ,), где Вау = — Оу- „, а = 1, 2, получаем. "а "а экономичную схему (Е + тЗВ2) (Е + тзВ ) у-,„= Лу + ф, у )т = )2, у (х, 0) = ио(х), у, (х, 0) = ио (х) где йо йо+ 0,5т(йи+/)1, о Эта схема абсолютно устойчива и имеет второй порядок точности по т и ~Ь!.
5. Экономичные схемы для систем уравнений параболнческоге и гиперболического типов. Пусть 2» = (О «х, «1, а 1, 2, ..., р) — р-мерный параллелепипед, д,-аХ(0«2«т), О,=аХ(О«2 т). Е 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ 471 Пусть й=(пав)= (пав), г, пг=1, 2, ..., и,— клеточная матрица р Х р с клетками ЕХ и, удовлетворяющая условию симметрии й,",В(х,Ф)'= йф;(х,т) для всех (Х,2) еи9т (46) и условию положительной определенности а р а р а р с,~~.", ~'„', (фа)*~( ~~.", ~ ЙЯ(Х,2)фД~(~сг~ ~ ($',)~, (47) г ю где с, и с, — положительные постоянные, $а=Д„..., $а,..., $ )— произвольный вещественный вектор. Положительная определенность матрицы Й является условием сильной зллиптичности опе- ратора Р в ! вв '1 ~авц1 Трави = ~йав (хэ г) — ~1 ' ")' а,е 2 (48) где ц (и', ..., и', ..., и") — вектор размерности и, т.
е. условием выполнения 'неравенства с,( — Ь"'ц, ц) ( (-Ьц, ц), (49) а где (ц, ч) = ~~~ ) и'(х) Р'(х) Ых, Ых = Нхг... Ихр, Ь ц = Лц = ° 1С Лавц = 0,5 [(Ус вц- ) + ~йаецав)- 1 (51) н обозначим Р Лц = ~ Лавц. При р=сг получаем Л,„,ц = (аац- )„, аа = 0,5 (хаа+ й(„а)). (52) г ~ч вз р, †, ц — произвольная достаточно гладкая вектор-функг вага ция, равная нулю на границе Г. Рассмотрим следующую задачу. Требуется найти непрерывное в (7г решение системы уравнений параболического типа —, = Ьц+ 1 (х, 2), (х, 2) я (3„ ц=)г(х,й) при хелГ, Фея(0 Т), (50) ц(Х,О) = цг(х), хенгр. ПУсть егг= (х< ((,ЬО ..., $р)гр)) — сетка в 6, 0<2 ()У, Ь ),УУ„ а 1, 2, ..., р, и ег.
Ц ут, 1 О, 1, ...) — сетка на отрезке О ~ 2 ~ Т. Оператор Ь,г алпроксимируем разностным оператором.(см. гл. ГЧ) 472 ГЛ. 1Х. ЭКОНОМНЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМКРНЬГ Введем пространство»1» — множество сеточных вект< заданных на а<» и равных нулю на границе 7». Скаля о ведение в Й» определяется так: « (у,ч)=~(у,и), (у,и)= ~ р (х)э (х)Й1.
»-1 «На» В силу (46) оператор Л является самосопряженвь ром, так что (Лу, ч) — (у, Лч). Из (47) следуют равен< с,(-Л'"у, у)((-Лу, у) <с.( — Л'"у, у), ум р р « где Л~~'у = ~ у- , ( — Л < у, у) = ~ ~ (1, (у - ) В качестве регуляризатора выберем оператор р В= ~В„, В у= — оу-, а=1,2,...„ «а«а' где о — числовой параметр, который будет выбран из вий устойчивости. Напишем сначала двухслойную экономичную схему схема имеет вид (Е+ тВ)у, = Лу+ <р, где <р = ?1+ 0(! ?< р меняя Е+ тВ = Е+ ч ~~.", Ва факторизованным р и< ) = П (Е+ тВа) ? Э=а+1 при х=0,?,а=2,3, П (Е+ В ) = Е+ В, В=,В+ 0~,0Р««х В»? а=1 а<В получаем экономичную факторизованную схему х<х< (Е+ тВ«) у< = Лу+ <р, х ен с»ь $ Я <е« а=< у(х,<) = )»(х,<), хну»,тая <э„ у(Е,О)=па(х), хенв» Для отыскания вектор-функции у<+» у можно, нав пользоваться таким алгоритмом: (Е+ тВ,) ъ<,> = Лу+ <р, м<,> = (Е+ тВа) )«при х< = О, ?м (Е+ тВ«) <Р<а) = %(а-1н << = 2~ 2~ ' ' Р е 3.
экОнОмичные Факторизованные схемы 473 (56) у. +тлВу1, = Лу+ лр. Перепишем ее в виде (Е.+ 2тВ)ул =. г, где г' 2(Лу — >р) — (Š— 2тВ)уо р н заменим оператор Е+ 2тВ= Е+ 2т ~ Ва факторизованным а 1 оператором Й (Е + 2тВа) = Е+ 2тВ + 4т~()р. Тогда получим факторизоваиную экономичную схему ~~за~ (Е + 2тВа) у> = лг. а-л ,(57) Запишем ее в каноническом виде (Е+ 2тз>',)р) у.
+ т'(В+ тДр) у-„= Лу+ >р, (58) у = )л при х е "(л, 1 ля е„ у(х, 0) = п,(х), ул(х, 0) = пл(х) при х е ел, где п,(х) = Еп, + 1(х, 0). Для определения у = у>+' из (58) воспользуемся алгоритмом (Е + тВ>) Ф(» = Р', з = 1, 2,..., и, р к»л> = П (Е + тВз) р> при х, = О, 1„ с 3 (Е+ тВ ) к>Д> = В>~а,>, з = 1, 2,..., н, и~,'а> = Й (Е+ тВс) р> х„= О, )а, а = 2, 3,..., р — 1, З-а+л у = у +ти<р> а=2,3,...,р, Компоненты В>~а> находятся независимо. Исходная схема (50) устойчива, если положить о =ел(1+ Э)/4, е = совз1) О. Схема (55) абсолх>тно устойчива при О < 0,5с, и сходится со скоростью 0(г+!ЬР). Второй порядок точности по т имеет трехслойная схема 474 гл. 1х.
экОнОмичные схвмы для многОмерных зАдАч Операторы В попарно перестановочны и положительны, поэтому ()р >О, а также Я)В, где Я =В+тДр' — регуляризатор о схемы (58). Отсюда следует, что схема (58) в йл абсолютно устойчива. Пусть у — решение задачи (58), и — решение исходнои задача (50). Подставляя в (58) у = з+ и, получим для погрешности з условия (Е+ 2т'Ч3р) з* + т'(В+«9р) з-„= Лз+ лр, з 0 прихлв7л, ллн ело з(х, 0) =0 при хляелл, (59) Зу(Х, 0) = «(Х) ПРИ Х ж ЕЛл, где лй = Лп + 1р — и.
— тлВН- — 2т*()рп, = лр — 2т'~)рпл, (60) 1 Сл лрл — погрешность аппроксимации исходной схемы (56), .ч = и— — и, =0(т). Так как В Е+ 2тл9р ) Е, то длЯ схемы (59) веРны теоРемы 6 и 9 иэ гл. У1, т 3. Погрешность аппроксимации «второго качальяого условия оценивается в норме 1«((р, где ~ «)пр = (Р«, «) = тл (В«, «) + тл фр«, «) = 0 (тл), )«1п — — 0(тт), так как « = 0(т). Иэ (60) видно, что лр = 0(т*+ (ЬР). Требования гладкости, при которых лу 0(т'+ )ЙР) и '()«(1р = 0(т'), возрастают с ростом числа измерений р.
Эти требования иожно ослабить, используя, например, при выводе априорных оценок для уравнения (59) с прар лчл л-л (л1 ВОй ЧаетЬЮ ЛР = т'Чр« = т'А, т Чр Ч, Ч = П1, СЛЕДУЮЩИЕ НЕРаВЕН- ства: 2т(лр, з.) = 21л(л)рч, з.) = 2т'(Одарыч, з.)+2тэ ~ т' ~((~рм1«, з.)( р р <т~з ~1+т 10рм~ч~л+ ~ т'(ф~з, з.) + 3 т~~(ф~ч,ч)< р ~ (Вз„з )+"1Е!> ~+~ '+'(Ф1«, ). Два последних слагаемых в атом неравенстве есть величины 0(т'); они дают вклад в оценку погрешности з.
Таким образом, схема (58) сходится в сеточном пространстве )«'л со скоростью 0(т'+ )ВР).. Перейдем теперь к системе уравнений гиперболического типа. Требуется найти непрерывное в цилиндре 1;1, решение системы % 2. экономичные ФьктОРизОВАнные схемы 475 уравнений дав Р— =Ьп + 1 (х 2), (х 2) ~ Дт Ь = ~~~н данае . (61) д1 а,д 1 удовлетворяющее дополнительным условиям и= 11(х,г) при ханГ, 2а[О,Т), п(х,О) = и (х), " ' = п,(х) при хенб (62) р ()перетер Д = ~ нн д опРеделЯетсЯ фоРмУлой (48).
и истема ана=1 уравнений теории упругости Р да ~~до — 1= ргнп+(нн+ р)йгайо1тп+1, Лп = ~, —, д11 а-1 а где Х = сопас > О и )1 сопас > Π— коэффициенты Ламе, н = =(и', ..., ин) — вектор-функция раамерности р, очевидно, явля- ется частным случаем системы (61) при п р и йар = рбадбан + (Х + р) (66аабат + (1 — 6) баабдн]н (1, 1=), (О, 1ФУ, 6 — проиавольная постоянная. Условие (46) выполняется автоматически. Условие (47) также выполнено при с,-)1, с,-),+2п: ~= Х Х *дс'Я=Р Х Ж)'+ Р Р + <Л+ р) 6 Х И; + (1 — 6) Х Я7 Полагая адесь 6 1, найдем с, = р, так как Р (аадьан аа) Р С1 (ьа) + ()1+ Р) ~ ха $а) аа И аа (ьа ! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
