А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 73
Текст из файла (страница 73)
При этом уравнения первой группы решаются прн заданной температуре (по аналогии с изотермнческим случаем); вторая группа уравнений решается при заданных т) и и; фактически при этом решается уравнение теплопроводности с заданными источниками газодинамического происхон(денни где я=)а;=х(0,5(ц~ ьв+т)ыад), 0,5(Тт а,в+Т,+а,в)). Здесь а)0, р ) 0 — произвольные числа.
Нелинеяные разностные уравнения на новом слое и здесь. можно решать методом Ньютона, однако в этом случае приходится применять алгоритм матричной прогонки для системы двух трехточечных уравнений (см. $1 гл. Х). Для упрощения алгоритма применяется метод раздельных или последовательных прогонок. Разностные уравнения (60) разбиваются на две группы; Группа 1 (адинаиическаяв) т)а= — з;, т)а=да' а з=р+с)а (в,в) с) = <о (т) <)а т)1 Р = Р (т) Т). Группа 11 (атепловаяв)' с, = — у< )о(а в к)( к) = )аТ° У з=з(т), Т), й= х(0,5(р+ р< ю),0,5(Т+ Т<-п)). э х консвгвативныв схимы гзвовои диназшки 44$ Итерации для первой и второй групп находятся методом проз ь топки. Пусть найдены и, ц — й-я итерация, для которой выполнено условие окончания итераций, например, условие вида ь=~ 'Ы1с =1о — о 1с(зз1и1о (ез) Π— заданная точность).
Зная а з и, л, находим итерационным методом Ньютона из уравнений второй группы и-ю итерацию Т.. ю Выбирая Т в качестве исходной температуры, повторяем указанные выше итерационные циклы. Полученный таким образом процесс внешних итераций продолжается до выполнения условий сходимости. Возможны и другие способы органиэации этого итерационкого процесса, например, можно положить й 1, и 4 для всех итераций или изменить порядок групп.
Метод раздельных прогонок целесообразен, если требуется уменыпить объем информации, хранимой в оперативной памяти. Глава 1Х ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Ояввм лв ввжпых достюквппй в вычлолптельпой математике являв|- ся раврабвгка мвнюпячвых ревностных методов дая рвпиппя миоввмврвых (в пвспечькпвш проотравстввлвмми пврвмвнпмпл ви вь ..., вр) урпв вввпй в частных проявводпых.
В явстомцев арвмя лкввтся бовыпов число экономичных охом двя мюгояврпмх урввпевпй параболическом, глпврболвчаокого л вланптлчвского типов. В втой главе юлвгвво'сл тверяк ампюмячкых методов, овпраюпывся ла обюую хвораю уотойчивоовп. Выдепмпв два класса мкмовшчяьгх схвп: схвпга с фвпторпвоваплым опвратоуоп яв вврхпвм оков я аддптпвиыв саввы, обладмопэпв суммарной аппропопмацпвй. $1. Метод переменных направлений (продольно-поперечная схема) для уравнения теплопроводностп 1. Об экономичных схемах. Одной иэ- основных проблем тео-- рии численных методов является поиск экономичных вычислительных алгоритмов, требующих минимального машинного времени для получения приближенного решения с любой заданной точностью в >О. Время счета задачи зависит не только от качества алгоритма, но и от качества программы и типа вычислитрльной машины.
Поскольку последние, две характеристики трудно учесть, то основным покаэателем обычно считают число арифметических действий ()(е) для получения решения задачи с заданной точностью е ) 0: Особенно большую остроту приобретает вопрос об экономичности алгоритмов при численном решении многомерных аадач математической физики Выясним на простейших примерах предпосылки к написанию экономичных разностных схем. Рассмотрим р-мерное уравнение теплопроводности р 2 — =-. 1и, 1и =- ~~ 1»и, Ь»и = —, д» '%~ ди (1) ге=6, ) о:-(0,)о), и)г = О, и(х,0) = ив(.г). Пусть О= С,в — р-мерный куб, (0<я <1, а=1, 2, ..., р), в» = К(,Ь, ..., 4Ь) м Я вЂ” кубическая сетка с шагом Ь по всем э ь мктод пш вмннных нлпглвлкнии 443 х, а = 1, ..., р, ю, — сетка с шагом т $,/л~ на отрезке 0<г<га да Оператор / и =- —,аппроксимируем разностным оператором "а э Л„у — = у- „, так что Л = ~ Л .
Напишем двухслойную схему аааа' а=л с весами у, = Л (оу+(1 — о)у), хеюл, 0(~8 = пт<Сэ. у)тл — — О, у(х, 0) = ие(х). (2) (:хема (2), как было показано в гл. т', $ 3, устойчива по начальным данным при л' н~ )— — — = пэ 2 4рт Полагая о = О, получим явную схему у, =Лу нли у =у+ тЛу, (3) устойчивую при условии т ~ 0,5Ь'/р. Если (1) — уравнение с переменными коэффициентами, т. е. /аи —" (Ьа (х~ 8) )е 0 ( Ьа (~ сю д да а — д ( а д то р Лар =- (паУ„" ) 1 Л ~х~~ Ла 0(лаосы "а *а а=1 л явная схема (3) устойчива прн т ~ 0,5Ь'/(рс,). Отсюда видно, что допустимый шаг т для явной схемы надо уменьшать с ростом числа намерений и ростом максимума коэффициента теплопроводности. Последнее требование является особенно жестким в случае задач с сильно меняющимися коэффициентами. По этой причине использование явных схем для решения не только многомерных, но и одномерных (р 1) задач, часто оказывается нецелесообразным.
С другой стороны, явная схема обладает тем достоинством, что решение у у„+, на новом слое га„г.+,т находится по явной формуле (3) и при этом в каждом узле сетки юл затрачивается конечное число действий, так что общее число арифметических операций при переходе со слоя на слой пропорционально числу узлов сетки юл (есть величина 0(1/Ьл)).
Рассмотрим теперь чисто неявную схему с о 1. Она устойчива при любых т и Ь. Для определения у"+' получаем задачу уа+л тЛуа+~ уа уа+ь ~ л О, у(х, 0) = иа(х) 453 гл. <х. экономичные схемы для многомегйых 3Адлч т. в. — ф совпадает с погрешиостью «пирон«имании (Я) факторизсиаи- 1 о иой схемы (5<).
Замечая, что <р< 'р« о $ — о ' 1 < убеждаем«и з том, что каждое из рраииеиий (48) имеет аа«»рок«имению О() й) <+ т»). $2. Экономичные факторизоваииые схемы 1. Сх6«ы с факторизоваиным оператором. Рассмотрим двухслойную разностную схему Ву,+Ау <р, 0(Г )т(Г„)=0, 1, ..., у(0) у. (1) Пусть известно значение у у' на 1-м слое, требуется найти у'+'. Для него получаем уравнение Ву'+' Р, Р = ( — тА)у'+т<р',! О, 1, ..., (2) где Р— известная правая часть.
Пусть для вычисления Р затрачивается число 0(У) действий, пропорциональное числу )« узлов сетки ю» (это имеет место для всех разностных схем с шаблоном, не зависящим от сетки ю»). Из (2) видно, что устойчивая схема (1) экономична, если для решения уравнения (2) затрачивается число действий 0(У). Пусть В„ а = 1, 2, ..., р, — «экономичные» операторы, т. е. такие операторы,что для вычисления решения уравнения В,о =с' (3) требуется О(«<) действий.
Тогда схема (1) е Яакториеоеаннььм оператором В вида (4) В=ВВ,...В, будет также экономичной, так как для решения уравнения (2) с оператором (4) потребуется 0(У) действий. В самом деле, решение уравнения В,В,...В у'+' Р (5) может быть найдено в результате последовательного решения р уравнений вида (3), точнее В,у<О Р, В,у<, у<, О, а = 2, 3, ..., р, (6) у'+<» '"» — промежуточные значения.
Из предыдущего следует, что устойчивая схема (1) с фактоуизованным оператором В, являющимоя произведением конечного числа «экономичных» операторов В„..., В, является экономичной. Схемы с факторизованным оператором В будем называть (ракториеоеанными схемами. «х экономичкыз юлктогизовлняыв схимы 459 В $ 1 было показано, что появиая экоиомичкая схема перемеиных направлений (продольио-поперечиая схема) эквивалептиа факторизовапкой схеме с оператором В = »«Ва = Е 0 5"«Ла Лау = у- о. = 1, 2. (7»» Можно рассмотреть также факторизовапкые схемы с г и„- з  — В,Вю Ва — Ь т СВа, В,у —,«~ — „, В»р — — ~ — „, (8) а а» а где В, и В, — «треугольные» операторы (соответствующие им матрицы являются треугольиыми, так казываемая «явпая схема переменных направлений»).
Для решепия уравиепия (3) в этом случае получаются формулы явного («бегущего») счета. Заметим, что В, и А, не являются самосопряжеииыми, а сопряжены друг другу. Часто используются «одкомеркые» разкостпые операторы Ва вида В„= Š— о«Л„, где Л вЂ” разпосткая аппроксимация дифференциального оператора Ь„содеря»ащего производные только пв ' д"и одному аргумепту з . Так,например, если Ваи = †,, то Л р = да«! = у„-а есть трехточечный оператор, и уравнение (3) решается методом прогонки.
' Одну и ту же факторизоваикую схему можно свести к последователькости простых схем кесколькими способами. Укажем одии способ. Из (1) пайдем у'+' = у'+ тк»», где к»' есть решение уравнения В,В,... В ш = Ф', Ф' = »р' — А р', (9) Для определения к»» можно воспользоваться системой р уравнений Вфз»о> = Ф ~ Ваи~(а> = к»~а-о, а = 2, 3, ..., р, (10) полагая затем в» = ю<»г (11) Иптересио отметить,что первые экономичные схемы составлялись так, чтобы можно было легко исключить прмежуточкые зиачеиия; это приводило к факторизовакиой схеме «в целых шагах» связывающей значения у' и у'+'. 2.
Краевые условия. Требования устойчивости и аппроксимации предъявляются к факторизованкой схеме (1). Уравнения (6) или (10), (11) можно трактовать как вычислительный 'алгоритм для факторизоваииой схемы (1). Такая эквивалеитиость имеет место лишь при согласованном задании краевых условий. Поясним это иа примере. Пусть требуется решить первую краевую задачу для уравнеиия теплопроводиости в прямоугольнике 444 Гл. 3х, экОнОмичные схемы для многомвгньгх задач — +Аи = О, г) О, и(0) = и», где и=(и"'(Г), ..., ием(Г)) — вектор, А =(аэ) — матрица. Предполагаем, что А симметрична и положительно определена. Явная схема у +, = у.— тАр„при переходе со слоя на слой требует 2т'+ 2т арифметических действии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
