А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 70
Текст из файла (страница 70)
п. 6). Проведенные численные эксперименты для случая, когда й = йа(»а есть степенная функция температуры, показывают, что формулой (38) для а<(и) не следует полъзоваться, а формула (36) лучше, чем (37) (по точности). Сравним схемы (34) и (35). Погрепшость аппроксимации этих схем 0(т+ йа). Обе они абсолютно устойчивы. Схема а) линейна относительно значения функции у»+' на слое („.„ и значения функции у»+' находятся по значению функции у» на слое (», например, методом прогонки. Поскольку схема а) абсолютно устойчива, шаг т выбирается толъко из соображений точности. Схема б) нелинейна относительно функции у'+' и для нахождения ее решения используется метод итераций. Итерационный процесс строится следующим образом: (а+и г (а+и (а+и (а+и (а+и и» - Э»» ((уа)) иЦ.1 — и» (уа)) и» вЂ” и»-1 + '„') т Ь +' ь Ь (39) Недостаток схемы (35), (39) в том, что счет итераций требует удвоения числа занимаемых в машине ячеек памяти по (а+И сравнению со схемой а), так как для вычисления у нужно (а) »помнить» у и у.
(а+1) Относительно у разностная схема оказывается линейной. В качестве началъной итерации берется функция у предыдуще(е) го шага по времени: у = у'. Итерационный процесс для большинства встречающихся на практике коэффициентов й и 1 сходится. Практически оказывается достаточным сделать две-три итерации. Даже в том случае, если итерации не сходятся, для повышения точности схемы оказывается полезным сделать две итерации. При счете по итерационной схеме (35), (39) задают либо число итераций, либо точность сходимости итераций в и требуют выполнения условия (а+И (а) шах (у» — у»)<з.
$ ь квьзилинкннов жавнвнив ткп»кизэонодности 425 Для нахождения значения функции р'+' по функции р' при' счете по схеме (35), (39) нужно сделать несколько итераций, а при счете по схеме а) значение у'+' находится сразу. Поскольку обе схемы абсолютно устойчивы и имеют одинаковый порядок аппроксимации, то, казалось бы, и в этом отношении схема а) имеет преимущество перед итерационной схемой б). Однако это не так. Практика показала, что для получения одинаковой точности счета по схемам а) и б) схема б) позволяет использовать настолько более крупный шаг по времени, что, несмотря на необ ходнмость итераций, зто приводит к уменьшению объема вычислительной работы.
Можно использовать схемы, имеющие второй порядок аппроксимации по пространству и времени: Однако такие схемы имеют недостаток, они — немонотонны, что приводит. часто к появлению '«ряби». Для получения хороших результатов в этом случае нужно выбирать достаточно мелкий шаг по времеви. В случае уравнений ИЗ) со слабой квазилинейностыо при Й Й(х, «), ( =*1(и), с = с(х, «) иногда используются так называемые схемы предилтор-корректор, дающие точность 0(т'+ Й*).
Приведем пример такой схемы при с "Й 1, 1=~(и) (рис. $3): Мы не будем останавливаться на теоретическом исследовании укаэанных. выше схем. Во-первых, это приводит к весьма громоздким вычислениям и, во-вторых, получаемые оценки весьма 'у' Й» грубы (что, вообще говоря, типично для нелинейных задач) и у 4,ьу дают не вполне правильное пред- у ставление об условиях применимости рассмотренных разност- Рэс.
18. ных схем. В связи с этим заметим, что для нелинейных задач первостепенное значение для проверки качества численных методов имеют тесты, т. е. численные решения частных задач — типичных представителей класса решаемых задач, для которых известны аналитические решения. Заметим также, что для решения задачи (35), помимо метода (39), мол<но применять метод Ньютона. 426 гл. 'л11. мвтоды Рипвння нелннвнных уэьвнвний 6.
Расчет температурных воли. Рассмотрим теперь случай, когда й(и) есть степенная функция температуры: (41) Как мы видели в п. 3, распространение тепла при этом происходит с конечной скоростью, причем ди/дх обращается в бесконечность на фронте при»г ~ 1.
Для расчета температурных волн можно применять схему б), которая является схемой «сквозного счета» и не предусматривает выделения фронта волны. Проведенные расчеты задачи (15)— (17), имеющей точное решение (18), показывают, что всюду, кроме нескольких ближайших к фронту узлов, отклонение сосчитанного решения от точного оказывалось малым (не превосходило 0,002 прн числе узлов Л = 50, х» = 0,5, с = 2, Р = 5; число итераций не превышало 3, »<0,2).
При движении температурной волны (слева направо) по нулевому фону температуры происходит последовательное «включение» интервалов сетки. В зависимости от способа вычисления коэффициента а,(у) включение новых интервалов происходит по-разному. Для использования формулы (38) необходимо ставить перед фронтом отличную от нуля «фоновую» температуру, и тем не менее включение новых интервалов задерживается, что приводит не только к занижению скорости волны, но и к сильному искажению решения в окрестности фронта. Формула (37) непригодна при очень больших значениях показателя с (при с>20).
Наиболее точной является формула (36), для которой не требуется ставить фоновую температуру. На рис. 19 приведены результаты численнего расчета температурной волны (18) по схеме (35) с коэффициентом (36). Аналитическое решение изображено сплошной кривой, результаты численного расчета отмечены крестиками. 7. Задача о фазовом переходе (эадача Стефана). Пусть имеются две фазы с коэффициентами теплопроводности и тепло- емкости )«,(и), )«»(и) и с,(и), с»(и), В каждой фазе температура удовлетворяет уравнению ~~~~)»«дх ()«~(~~ дх)' г = 1, 2.
(42) На границе раздела фаэ температура постоянна и равна температуре фазового перехода, и(х, ») =из. Скорость движения границы фазового перехода $ удовлетворяет уравнению ди 1 ди ) «« й,— ~ — й,— ~ = — Х вЂ”, ~ д» !к «+» » дх 1~ «-» ~и ' если в первой фазе и ( иэ, во второй фазе и ) и«.
Ф 2. БОИСВРВАТИВИЫВ схимы РАЗОВОЙ динАмики 427 Вводя б-функцию, уравнение (42) (с учетом условий на границе фазового перехода) запишем в виде (с (и) + Аб (и — и )) д дс (я (и) д )' )с,(и), и<и*, )Й1(и), и<и*, ~с,(и), и>и*, ~)с (и), и>и*. Для решениязадачи Стефана прйменяетсяметодсглажявания~ 6-функция заменяется б-образной функцией 6(и — и*, б), отличной от нуля лишь иа интервале (и» вЂ” Ь, и*+ + Л) и удовлетворяющей условию нормировки а~+А у 6(и — иа, б)йи = 1. ие А г Сглаживая на интервале (иа — Ь, и*+ Ы функции й,(и), й,(и), с,(и), с,(и), получаем квазилинейное уравнение с (и) — = — ()с (и) — ), Ф 48 04 4Ю ДР Ю л' Рлс. 19.
для решения которого можно использовать описанные выше схемы. Существуют и другие численные методы решения задачи Стефана'. $2. Консервативные разностные схемы нестационарной газовой динамики 1. Уравнения одномерной нестационарной газовой динамики в переменных Лагранжа. Многие процессы механики и физики приводят к уравнениям газовой динамики. Это — задачи аэродинамики летательных аппаратов, теории реактивных двигателей, астрофизики, задачи, связанные с проблемой управляемого термоядерного синтеза и многие другие.
Уравнения газовой динамики нелинейны, н для их решения универсальным методом является разностный метод. Хотя задачи газовой динамики решаются давно и повсеместно, однако до сих пор нет строгих математических результатов о сходимости какой-'либо схемы даже в простейшей ситуации. Качества схем проверяются на линейных моделях в акусти- 428 гл. чпь мвтоды гвпшния нвлинннных гэавнвнии ческом приближении, на тестах, т.
е. путем решения частных задач, решение которых может быть выписано в явном виде. Решения уравнений газовой динамики, как правило, разрывны — это либо слабые разрывы (например, «волна разреженияэ), либо сильные разрывы (ударные волны). Поэтому принцип сгущения сеток для проверки точности численного метода, имея в виду пример из гл. П1, $2, п. 1, следует применять с большой осторожностью. Мы будем в этом параграфе рассматривать разностные методы численного решения простейших задач газодинамики.
Рассмотрим задачу об одномерном неустановнвшемся (нестацнонарном) плоском течении газа. Пусть и — скорость, р — плотность, Т— температура, р — давление, з — внутренняя энергия (единицы массы) газа. Напишем уравнения движения газа (уравнения газодинамики), выражающие законы сохранения импульса, массы и энергии. Их можно записать в переменных Эйлера (х, в) и в переменных Лагранжа (в, в), где х — координата частицы, в — начальная координата частицы или же величина в= ) р($, 0)4ф, о т. е. величина массы, находящейся в объеме 0 = 3 (х.
Система уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа (в, в) имеет вид — = — — (закон сохранения импульса) дв др дз дв Ф дв — =э дз (2) — = — (закон сохранения массы), $ дв (3) р дв дв — (з+ — ) = — — (ри) — —, (закон сохранения энергии), (4) р р(р, Т), е = з(р, Т) (уравнения состояния), (5) = — м(р, Т) р —, др где и — поток тепла. Из второго и третьего уравнений следует (6) При этом уравнение (2) можно исключить из системы, так как оно может быть проинтегрировано отдельно. Чтобы замкнуть систему этих уравнений, надо написать выражение для теплового потока з з консвгватнвньгв схимы гввовон динамики 429 где х = х(р, Т) — коэффициент теплопроводности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
