А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Обычно х есть степенная функция Т н р. Функция Р(р, Т), в(р, Т) и х(р, Т) должны быть заданы. Для идеального газа уравнении состояния имеют внд Р ЯрТ, е в(Т), например, в=с.Т, где В и с,— постоянные, В/с, '( — 1, ( — постоянная, так что е р/((у — 1)р). (8) Отметим два предельных случая. а) Адиабатическое течение, когда и О, т. е. теплопроводностью можно пренебречь, положив х О.
Перепишем уравнения газодинамики (1), (б), (4) для адиабатнческого течения идеального газа: дв др а ~ 1 1 ди ю = ав' ав(р)= ав' Яв++) = — —,', (Р ). (10) (9) Добавим сюда уравнение (8): е= (т — Ор ' (И) Таким образом, имеем 4 уравнения для четырех неизвестных и, р, р, з. Мы будем пользоваться вместо плотности р удельным объемом ц 1/р. Тогда будем иметь д11 дв дС дв ' (12) Рц = (у — 1) е.
(13) Уравнение (10) для полной энергии можно заменить одним мз уравнений дв ди Р дв дв ' (14) Р 3. дв д дв дв (15) В самом деле, учитывая первое уравнение (9) и (12), получим д Г в 1 д дв ! дв ди1 ди 0 = — (е + — ) + — (Ри) = — + (и — + и — ) + р — = аз ( г ) дв аз ( аз ав ) ав дв ди 'дв дв = — +Р— = — +Р—. = ав ав ав ав ' б) Ивотермическое течение гаса, когда температура газа Т сопэз и уравнение эноргии отсутствует.
Условие Т сопев соответствует случаю х - . Система уравнений газодинамики 430 Гл. тш. методы Решения нелинейных Рвлвненей для изотермического течения идеального газа принимает вед — — — — — — р=ср, ди др д > 1> ди (101 д» ди" д» (р! ди> где с сопвФ ) 0 — скорость звука, или ди др дЧ ди д» ди' д» ди> (17) В дальнейшем мы проведем основное изложение для уравнений газодинамики идеального газа в адиабатическом случае (9), ИО) и И1). К уравнениям (9), ИО) следует присоединить начальные условия для всех искомых функций, т. е. задать и(х, 0), р(х, 0), р(х, 0) И8) й=р+о» > > где »вязкое» давление ю = ю (р, и„ Ь) зависит от р, и, и от шага сетки Ь.
Обычно рассматривается два типа вязкости: а) линейная вязкость = — — ( — — ~ — ~); ' (20) б) квадратичная вязкость, или вязкость Неймана ~(де и> — коэффициент вязкости. (21р и краевые условия, например, вида р(0, С) =Р,Ю при д=О, р(М> Г) р>(Г) при в М И9) и(0, й) = и,(Г) при д О, р(М, г) = р,(1) при з = М. И9') Перейдем теперь к построению раэностных схем для уравнений газодинамики (9), ИО) в области 0 < и < М,.г) О, 2.
Уравнения с псевдовявкостью. К равностным схемам гавовой динамики предъявляются прежде всего требования однородности и консервативности. Однородность схемы означает, что раэностные уравнения записываются одинаково во всех узлах сетки независимо от того, является ли решение разрывным илн гладким, так что вычислении всегда и всюду ведутся по одним и тем же формулам. Однородные схемы или схемы сквозного счета в газодинамике содерл(ат дополнительные члены с псевдо- вязкостью, которые вводятся для .того, чтобы вразмазывать» фронт ударной волны на несколько интервалов сетки.
Формально псевдовязкость ю вводится как дополнительное слагаемое к давлению р, так что в уравнения (9), ИО) вместо р входит сумма $ а консвРВАтивныв схимы гьловон динАмики 43$ дел Отсюда видно, что функция в = 0 при д ) 0 и отлична от нуля прн ди/дг ( О, т. е. в зоне ударной волны. Таким обраэом, псевдовязкость действует лишь в зоне удар- ной волны.
т дее т /дг)2 В дальнейшем будем писать в = — — — или в = — ( — ), е) де 'лд )' предполагая, что коэффициент вяэкости аависит от анака ди/дг, так что о~О при ди/да~0. 3. Консервативные однородные схемы. Введение псевдовяэко- сти делает воэможным построение однородных раэностных схем или схем сквоэного. счета, пригодных для расчета газодинами- ческих движений при наличии ударных волн. Так как уравне- ния газодинамики выражают заковы сохранения импульса, мас- сы и энергии, то естественно требовать, чтобы и рааностные урав- нения выражали соответствующие аналоги законов сохранения на сетке, т.
е. раэностные схемы были консерватнвными. Для получения консервативных схем будем исходить из урав- нений гаэодинамики, эаписанных в интегральной форме (т. е. воспользуемся ннтегро-интерполяционным методом (ИИ)И)): ф (и лЬ вЂ” р Ыт) = О, (22) ф(з) сЬ+ и е(2) О, ф Ие + О,бе*) ела — ри л(2) = О, (24) (23) в„=(г, =(Ь, ( О, 1, ..., У, ЬУ М), в,=()е-/т,/ О, $, 2, ...,/е,)ет=.те), вв вл Х ве Для удобства изложения сохраним обозначения и, е), р, е при переходе к раэностным уравнениям. Будем относйть функцию и к целым точкам г г, сетки вл, а р, г), е — к полуцелым точкам 8 длее,е. Напишем уравнение (22) для прямоугольника г» л ~ г < 2,+,в 8е "4 2 < Фыл.' ел+'/е Е)+2 ~ ("' — ') 2+ ~ (,+ч — Р, „,)в=о, ел Ф/ Э а уравнения (23) и (24) — для прямоугольника г, < в < 2,+,, где интегрирование проводится по любой замкнутой кривой в плоскости (г, 2).
Выберем сетку 452 гл. Тдп. Методы Решения нелнненных РРАвнэиии дд < д ~ днд: н+д О+1 '((е+ 0,5ив))+~ — (в+ 0,5ив))] д(в+ ) ((ри)1+д — (ри)1]д(1 = О. ч 1) Заменим входящие в этн тождества интегралы выражениями 1; д д ддйд 1)+1 Рддд Р( )т, дд и( )т, ~ (Ри) 111= Р(1) 1 )т, 1) 1) 1) где 1 = ов1 + (д — ов) ~ о„— проиэвольный параметр, (ва) )+1 ) ры -0,5(р<-ь+ рыь), дь д, 2, 3, 4, и далее: вд+Ч, ° ь(1 ид(вж ид)д, ) д)дЬтд)1+1ЕЬ и т. д. ° д й/ вд В реэультате получим раэностную схему и~+ — ид ~ р , — р , ~(ид) и — и + * ' =О, (25) т $ Ъ+ — ~Ы, ( еь — ) — — .(~) й ад+ ь+, +' — едд.'ч, + д+' (ив) „(ив) (ив)„(ив) де+1 '+' '1 ' .
(27) $ (26) Это — консервативная схема при любых значениях параметров оо ддд„ о„ о,. В частности, прн дд, О, о, — 1, о, 1, о, 1 получаем систему раэностных уравнений, которая может быть ре'+1 )+1 шепа по явным' формулам: сначала находим и(, затем д)1+вд,, а иэ уравнения энергии и уравнения состояния рд) =(( — 1)э определяем по формулам прогонки рд+ь для всех 1 О, 1, 2, ...
..., У вЂ” 1, если при 1 0 и 1=У вЂ” 1 заданы краевые условия„ например, полученные из формул (19).. Оказалось, что консервативные разностные схемы, аппроксимирующие уравнения полной энергии, могут плохо аппроксимировать уравнение для внутренней энергии (14): дв ди р дд дв ' 3 К КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 433 Этот дефект весьма опасен, так как может приводить к неправильному счету температуры. Возникающий дисбаланс внутренней энергии не может быть уничтожен сгущением сетки по пространственной пвременной г. Наличие в схеме энергетических дисбалансов можно трактовать яак наличие некоторых источников энергии чисто разностной природы, связанных с «рассогласованием» отдельных разностных уравнений схемы. Дисбалансы зависят от характера решения: на гладких функциях они малы, однако на решениях, сильно 22еняющихся во времени и пространстве, днсбалансные члены велики и могут быть сравнимы по величине с полной энергией системы.
4. Полностью консервативные схемы. Потребуем теперь, чтобы для разностной схемы выполнялись не только законы сохранения массы, импульса и полной энергии, но и детальный баланс энергии — кинетической и внутренней. Схемы, обладающие этими свойствами, назовем полностью консерватнвнымн схемами. Требование полной консервативности фактически эквивалентно требованию, чтобы консервативная схема аппроксимировала также и уравнения И4) и И5): Эз За Зе ЗЧ вЂ” = — л Зт За ' Ег ' З2 ' Для удобства записи обозначим .
Р2 = Р~+'ч. Ча = Ч2+ч„е, = з2+ч„ Р=РС С=4 и т.Д.„ ) $ а~+2 ь (Р~+ч» Р2-ч,) — Рм в = "е после чего будем опускать черту сверху над Р, Ч и е в тех случаях, когда это не вызовет недоразумений. Тогда уравнения (25) и (26) примут вид Р2= Р Ч~=еа (аг) (аэ) (28) 2 Вместо (27) рассмотрим схему, аппроксимирующую уравнение для внутренней энергии И4), а именно, (аэ) (аа) е~= — р ие (29) В результате мы получили 4-параметрическое семейство схем (28), (29).
Будем в этом семействе искать полностью консерва. тивную схему. Для этого надо потребовать, чтобы схема (28),. (29) аппроксимировала уравнения И5) и ИО). Нам понадобится очевидная формула ~<в1 Рю (. т(9 'п)7' (301 ЗЗ А. А. Оамаэааза 434 Гл. Епд.
методы Решения нелинейных тгавненйй где а' и р — любые числа, >( ' а~+(1 — а)~. Из уравнений (Ов) (Оа) (Ов) ЧС= ив И иа = Ра — т(О,— ОВ)ои = ЧС+т(О,— ОВ)гад СЛЕ- дует ес = — р Чс+ 6»Е (Ов) (31) где 6>Е = — т (о« вЂ” ов) р Р,с — величина дисбаланса. Отсюда (а ) видно, что (31) соответствует «энтррпийному» уравнению (15) только при о, = о,. Потребуем теперь, чтобы схема (28), (29) была консервативной. Умножая уравнение ив= — р;-д нас(ОБ) =0,5(и+о), по(Од] лучим З (гв)с = — Р ' Р- (32) после чего сложим это уравнение с уравнением' (29): (е+ О 5"), = — р(").(") — "" '") а (33) Преобразуем правую часть (33) при помощи формулы (30): (Ов) (Оа) , (в Б> (Од) а а = (р + т (о, — пд) рсу (и.
' + т (о« вЂ” 0,5) гас) + и р (Од) Ъ (в Б> (О,Б) (Од) а = (р(( 'д))и('") + 6,Е, (34) где Р(-д> = Рс-д = Ра-ч а Ь,Е = т(ов — пд)иа ' рс+т(оа — 0,5)р гас+ (О,Б) (Од) + тв (ов — пд) (о« вЂ” ' 0,5) рана>. В результате уравнение (ЗЗ) преобразуется к виду (е+ 0 5)>в)с (р«дд)и(О,Б)') .6 Е (35) Здесь 6,Е означает дисбаланс полной энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
