А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 75
Текст из файла (страница 75)
В самом деле, введем у по формуле (18), найдем из (18) (Š— 0,5тЛа)у = 2у — (К.+ 0,5тЛ,)у . и подставим зто выражение в (20); после несложных преобразований получим уравнение (9). Из него и из (18) следует (10). Тем самым доказана эквивалентность задач (9) †(14) и (20), (21). Она имеет место при согласованном задании граничных значений у по формулам (13), (14). Исследование схемы (9) — (14) можно заменить исследованием схемы (20), (21) «в целых шагаха.
Применим общую теорию устойчивости двухслойных схем. Краевые условия предполагаются однородными, т. е. рассматривается задача (Š— О,бтЛ,) (Š— ' 0,5тЛа) уа = Лу+ <р, Ф~ )О, (22) у (х, 0) = иа (х), у ~та — — О. Введем пространство Н сеточных функций, заданных на еаа и обращающихся в нуль на та, со скалярным произведением ла-а ла-1 (у, и) = 2', у (х ) и (х) Ь,Ь, = ~',;Я у (а,Ь„ааЬа) и (а,Ь„$,Ь,) Ь,Ь, *мал аа-а а и нормой 1у!! — У(у, у). Будем обозначать А — Л = -(Л, + Л,). Оператор А'самосопряжен и положителен в Н. Норма в энергетическом пространстве Н имеет внд л, л;а м,-а ла 1у~л = Х Х (у (аА (аЬа)) ЬаЬа+ Х Х (у ((аЬпаайа))%Ьаа 811аа ',-1 аа=1 я с.
метод пеРеменных нлпРлвлении 449 ИЛИ 1уЬ = ~у„,~~, +~уз ~~, (23) Рассматривая у = у(с) как абстрактную функцию с ю со, со значениями в Н, запишем схему (22) в виде Вус + Ау ф(с), '0 ~ с = нт ( ц„у(0) = и„ где В (Е+0,5тА,)(Е+ 0,5гА,), А,= — Л, А =А, +А,. Операторы А, и А, — самосопряжеиные, положительные и перестановочные (в силу того, что исходная область — прямоугольник). В том, что А,А, = А,А„илиЛ,Лзу=Л,Л,у=у- — во всех , хсхсхэхз внутренних узлах сетки, можно убедиться непосредственно. Поэтому и А,А, > О. Из (24) видно, что В >К+0,5тА, (25) (24) т.
е. схема (24) устойчива в Нл. Действительно,  — 0,5тА=(Е+ 2 А+ 4 АсАх) 2 А=Е+ 4 АсА,>Е. Из условия (25) следует, что для схемы (24) верна теорема 7 иэ гл. У1, 2 2 при е = 1, в силу которой решение задачи (22) удов- летворяет неравенству с '~ Ча ~у(Г+т)~л~(~у(0)~л+ ~я~~~ т~ф(У)1 м ~„ Нетрудно получить йприориую оценку / с '1 ~се $у(Г+т)! 1~(1у(0)1+= )'„т~ф(2)1л-с '$/2 ( (26) (27) В самом деле, применим к обеим частям уравнения (24) опера- тор 4-с >0: Вус+Ау=ф, А = Е, ср=А ~ф, В = А '+ — Е+ 4 А 'АсАз. (28) Так как А„Ас, А '> 0 — перестановочные и самосопряженные операторы, то А 'А,А, > 0 и Я>А '+ 0,5тЕ. Поэтому, в силу теоремы 10 из гл. У1, 3 2, верна оценка (27).
Таким образом, справедлива Теорема 1. Схема (22) устойчиеа по начальным данным и но правой части. Для решения задачи'(22) верны анриорные оценки (26), (27). 4. Сходимость и точность. Изучение сходимости и точности схемы (9) — (14), в силу ее эквивалентности схеме (20), (21), будем проводить для задачи (20), (21). Пусть и=и(х, г) — ре- 29 л. л. свмаэсххэ 450 гл. гх.
Зкоиомичнык схимы для многомвгных ЗАДАЧ шение задачи (7), у=у(х«, 1„) — решение задачи (9) — (14) и (20), (21). Подставляя у = г+ и в (20), получим для погрешности схемы (20), (21) задачу Вг,=Лг+«Р, хан«оь, О~1=их<ге, г ~та — — О, г (х,'0) = О, где В= (Š— 0,5тЛ,)(Š— 0,5тЛ,) и «р — погрешность аппроксимации на решении, равная «р = «р+'Ли — Ви, = 0,5Л(и + и) — и — т'Л,Л,и«+ «р. (30) Отсюда видно, что «Р=О(~ЬР+тг), ~Ь)в=Ь~~+Ьгг, если и =и(х, Г) имеет огРаннчвнные в Чт = 0«Х Щ Ф«) пРоизвоД- ные (31 В самом деле, 0,5(и+и)=й+0(т*), где и=и(х, г„+0,5т), Л,Л,и, ограничено, и, = й+ 0(т*), «р= Еи- й+)+ 0(т'+!ЙР) = 0(т*+ 1ЬР).
Так как для задачи (29) справедлива оценка (26) прн г(0) = = г, = О, то имеет место Т е о р в м а 2. Если выполнены условия (31), то схема (20), (21) сходится в сеточной норме (23) со скоростью 0(т'+!ЬР). 5. Схема для уравнения с переменными коэффициентами. На- пишем схему переменных направлений для уравнений теплопро- водности с переменными коэффициентами — = Ви+ ««, (х, г) в:- 0т, и ~ г = р (х, «), и.(х, О) = и (х) (32) Еи = Ь«««+ Еги, Еии = — (Й~ (х, г) — ), Й„(х, г) ) О.
В этом случае прн любом г оператор Ь аппроксимируетсяоператор Л~у = Л (г)у = (а (х, г)у„- ), а =1,2, где а, например, определяется по формуле аи = Й„или ав = ( — кг„) ( «а)» = 0,5 (Й + Й„), и = 1, 2, что обеспечивает второй порядок аппроксимации для Л: Л««и — Ь««и = 0 (Йа) 4 1, метод пеРеменных нАпРАВлений 451 Вместо схемы (9), (10) напишем следующую схему: » — Л, ( ) у+ Л, (~„) у + йэ, „»+1 — Л,(2) у+ Лй((„~,)у + р, у(х,0) = ий(х), (33) (34) с краевыми условиями у = и при 1>= 0 и 1>=)>>1, у =>й при 1, = 0 и 1, = >й'» »+1 )» й где )й = — — (Лй)й)1, . Здесь обозначено 2 4 (Л ) (Л (( ) (> )) ~й(~»+1) и(~~+1) ~й(1~) р(1») Это значение )й соответствует выражению Р»+1+ Р» тй У = 2 4 (Лйу)1,» которое получается из (33) после исключения Л,у.
Если в (33) вместо Л>И„) и Л,(2„+,) ваять Лй(г) в один и тот же момент времени й, либо если й и, следовательно, Л не зави- сят от 2, то схема (33), (34) эквивалентна факториаованной схе- ме (20), (21), где Л„у= (а (х)у ) . Схема(20)имеетяареше- кии и(х, 2) аппроксимацию 0(!ЬР+ т'), если кроме условий (31) выполнены очевидные требования гладкости )й (х) по х„х,, От- личие от случая постоянных коэффициентов обнаруживается при изучении устойчивости схемы (20). Операторы А, = — Л, и А,— = — Лй положительные и самосопряженные, по не перестановоч- кые: Л>Лйу = (а, (а,у- )„-„)„, ~ Л>Л,У = (ай (а,у- )„- )„, где аь а (х, 1).
Поэтому положительность Л,Л, ниоткуда не сле- дует. В этом случае удается доказать устойчивость лишь при до- статочно малом т< т,(с,), где с, зависит от максимума проиавод- ных )й, по х„х,. Требование т ( т,(с,) является весьма жестким и связано с методом исследования устойчивости. Ниже будетпо- казано, что схема (33) абсолютно устойчива в другой норме. Напишем сначала уравнение для погрешности. Положим где и" и(х, 8„), и"+' = и(х, 8„,), а й определяется в соответст- вии с (35) по формуле »+ „».>1 й 2 4 (Л~и)>л. (36) 452, гл. х1, экономнчныв схкмы для многомкэных задач При таком выборе й мы получим для у однородные граничные условия. Подставляя в уравнения (33) у"=з" +и", у у+й, у"+'- = з"+' + и"+', получим следую1цую задачу: в — = — Л1(~~+ У) в+ Лз(г~) з + 1г«1 «+1 = Л, (Раь ~,) з + Л, (Г„~1) з"+' + 1у~, з)т„= О, з(х,О) = О, (38) где 1р, и 1р, — погрешности аппроксимации, равные 1р", = Л1 (са+ я) и + Л1(Е ) и" + о" — —, а+1 л ия+ — и Ф =Л (г«+ч,)и+Л (г»+ ) +'+ю" — о, а а в+1 в 1Р+1 — 2и + и" 1рз — 1р1 = Лз(~«+1)и — Л (~в)и — = О.
1 0,5т В формулу для 1р1" подставим выражение (36): а+ в+1, Й 1У1 = Л, (Ев+ Л) ( — —, (Л,и), а) + Л (1«) и" + а и" +1 — и + ~ Р а + ( Л и ) учитывая затем, что в+ в+1 2 1Р+1 ив ди ~ = и(х, 1«+ л)+ 0(тз), = — ~ + 0(т'), т д1 и-1«+ у, Л (Е~+ и) и = Л,(С«)и + 2 (Лзи)1,«+0(тз) Л,и+ Л,и = 1.1и+ Ьзи+0(~й/1), 1р" = ~ (х, й + и) + 0 (т'+ ~ й ~1), получаем «+1 в 1У1 — — (Л,и+ Лти) (1 1« ч —. + ~р +0(тз) = 0(та+! Ь ~~). Тем самым доказано, что схема (33), (34) имеет второй порядок аппроксимации 1р1 = 1уз = 0 (тз + ~ й ~1). Перейдем теперь к выводу априорной оценки для решения задачи.
а а Заметим прежде всего, что 1Р1 = 1ра. В этом можно убедиться, ' если подставить выражение (36) в формулу И ь мктод пвгвмкнных наш лвлкнин Рассмотрим операторно-разностный аналог задачи (37), (38): о — *„* + А, (И„+, ) г+ А, (Г,д г" = И"„' 1 о и + А, (и„+ч,) г + Аг (~ь ы) г"+' = ~рг", и = О, И, 2, ..., г (0) = О, где А~О) и А,(г) — линейные операторы, заданные в гильбертовом пространстве Н, А„А,: Н- Н. Пусть А, и А,— неотрицательные (вообще говоря, иесамосопряженные) операторы: А,>0, А,>0. Вводя безындексные обозначения г=г", г = г"+', А, =А,(И.+,), А, = А,(г„), Я, =А,(И„+и,), запишем схему в виде (Е+ 0,5тА,)К = (Š— 0,5тА,)г + 0,5тф, ПП+ 0,5тА,)г = (Š— 0,5тА~)г + 05тфь Неравенство треугольника дает П(Е+ 0,5тА,)гП < И(Š— 0,5тА,)гП + 0,5тИ~И,И, (40) И(Е+ 0,5тА,)гП ( П(Š— 0,5тХ,)гП + 0,5тПзИ,П.
(44) ЕИам понадобится Лемма И. Если А >0 — линейный оператор е Н, то П(Š— (И вЂ” о)тА)уП < П(Е+отА)уП при о>0,5. (42) В самом деле, И(Е+ отА)у1р — П(Š— (И вЂ” о)тА)уИ' =2т(Ау, у) +2(о — 0,5)тгПАуП'> 0 при о>0,5, А >О, откуда и следует утверждение леммы. Применяя последовательно неравенства (40) и (44) и учитывая оценку (42) при о = 0,5, исключим У: П(Е+ О 5Й,) г~(~(Š— О 5тА )г Й+ — (~Я+~~ПД. Учитывая неравенство (42), получаем П(Е+ 05тАг) г$(!!(Е+ 05тАг) гП+ 2 ($~Ц+$$гЮ или ~(Е+ О 5тАг((ьч.,)) г~+'1(~(Е+ 05тАг(гь)) г~И+ — (~ф+Я1).
454 гл. >х. экономичные схемы для многомегных 3АдАч Суммируя по й= О, 1, 2, ..., и и учитывая, что г'= О, получаем « «гв ы«<1> = «(Е+ 05тА1((„+1)) г"+'«( (05 Д т («<р< «+ «<Р~«), (43) где Ц г >Г1> = Ц(Е + О, 5тА) г Цг = Ц г 3!'+ т(Аг, г) + 4 « Аг « '. (44) Оценка (43) сохраняет силу, если ))г!)„> заменить нормой ))г!) илн Цг«<,> = (Цг«г+ — ЦАгг«г), поскольку Цг«г(ЦЗЦ<1> и ))гЦ<г>(Цг!~,> Тем самым доказана Теорема 3. Схема (33), (34) абсолютно устойчива (при любых )<„йм т) и сходится со скоростью 0()ЬР+ т') в норме (! >>,О, определяемой формулой (44), если выполнены условия, обеспечивающие второй порядок аппроксимации на решении и= и(х, <) задачи (32). Второй порядок точности продольно-поперечной схемы (33), (34) установлен при специальном способе задания краевых условий для промее<уточного значения у = у: " + ><" +1 тг у = >< при 1 = О, Л<1, р =, — — (Лг)<)<м 2' 4 Можно доказать, что схема сохранит точность 0((ЬР+ т'), если положить п ! в+1 у= '< ! при <,=О,Л>п (45) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
