А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 76
Текст из файла (страница 76)
е. отбросить в выражении для р второе слагаемое 0(т'). Мы не имеем возможности останавливаться на доказательстве этого утверждения. Здесь фактически. устанавливается устойчивостьсхемы по граничным условиям. Схема (33) с краевым условием (45) может быть использована и для ступенчатых областей 0 (со сторонами, параллельными осям координат). В случае проиавольной области удается доказать, что схема (33), (45) имеет точность О(!ЙР+ т*/Й).
Схема Писмена — Рэкфорда (9), (10) не может быть формально обобщена на трехмерный случай, так как при этом получается неустойчивая схема. 6. Схема повышенного порядка точности. Пля задачи (7) можно написать схему переменных направлений повышенного порядка л ь мвтод пвгвмвнных нлпглвлвния точности. Покажем, что таким свойством обладает схема = а,Л,у"+ Л + (1 — а,) Л,у" + о,~р", хенвл, я=0,1,2,..., у(х,О) = и,(х), х~юл, у"+ =р"+ прк 1 =0,1 =Я, (47) и+ '/ у '=р при1,=0,1,=лги где р = а,р"+' + (1 — а,))л" — тЛ,(о,алр"+' — (1 — а,)(1 — а,))л"), лл а ( а.=-- — ',,р =~~+ 'Л,~+ 'Л,д 2 12т' '1 12 Для того чтобы убедиться в устойчивости схемы и в ее аппроксимации 0(~ЬР+ т*), сведем уравнения (46) к факторизоваинои схеме по аналогии с твм, как зто делалось ранее в п.
8. Для исключения у"+ол перепишем разностные уравнения (46) в виде В,у +1~~ = Сау + о,яр, С,у +ил= Виу +~ — (1 — о,)т<р 1 (481 где В =Е-о тЛ, С„=Е+ (1 — о,)гЛ, и=1, 2. Умножая первое из уравнений (48) на (1 — а,), второе — иао„ складывая их и учитывая, что (1 — о,)В, + о,С, Е, находимпремежуточное значение у"+св = о,В,у"+'+ (1 — о,)С,у". (4й) Подставим зто выражение для у"+ьо в первое уравнение системы (48) о,В,В,у"+' = (С, — (1 — о,)В,С,)у" + алр". Отсюда, после очевидных преобразований, следует В,В з " =(Л,+Л,+(1 — а,— о,)тЛ,Л)у" +~р". (50) л',+л', Так как (1 — о,— о,) т= ' 2, то можно переписать схему в следующем виде: „в+л „л ВлВл" " — — Л'у" +<р", хапал, (51) у(х,О) = ил(х) при хыюл, у"= р" при хенулл (523 лл+ лл Л'у=(Л,+Л,)у+ ' 2 ' Л,Л,у.
Нетрудно убедиться в где гл, пс экономичнык схвмы для многомвгных задач том, что и 1 и ср = Л'й+ ср" — В,В, " = 0(т'+ !й!'), (53) т. е. схема (51), (52) имеет аппроксимацию 0(т'+ !й!'). При этом надо учесть, что Лй+ р"= с'и+ —,12 Ьси+ — с'си+ Ьсй и) ~ + ср" + 0()й)с) = (ьс, . ь', )ди ь, 'ь,' ~ 12 ' 12 1/ дс . 12 1 12 ' с-с„ + р" +0()й! ) '(так как всоси= — Ьссси+Š—" — са~, а = 1, 2), и+1 и вв 1 $ с г = ~-2('+')"с+ 12'~+ 1г Лсис)!= +О("+(й!')= с=с п ( ди т д и т ди Ьс ди "с ди )! с с с о=( — + — —, — 5 + Ь, + — 5,— )! + С,дС 2 дсс 2 дС 12 сдс 12 сдС)у си + 0 (тз + ! й )с) Для изучения устойчивости схемы рассмотрим однородные краевые условия и введем то же пространство сеточных функцвй о о И Ис и те же операторыАау = — у- при уесйс, что и в п. 3.
*а"а 11 результата получим операторно-разностную схему Ву, + А'у срИ), О <1 пт, у(0) = и„(54) где В= (Е+о тАсНЕ+ о тА,), А'=А, +А,— (х,+хо)А Ас, ха = йа/12, оа = 0,5 — ха(т, сс = 1, 2. Операторы А, и А, — самосопряженные, положительные'и перестановочные: А,' = А, ) О, А,' = А, ) О, А А, = А Ас. Поэтому (А1А,)* = А1А1) 0 Проверим выполнение условия устойчивости В )0,5тЛ' в Нь..
Сначала заметим, что 1А !(4/йа и ха!Аа!(1(3. УчитываЯ г ь метод переменных нАпРАВлениЙ 457 неравенство А, ~ !!А,!!Е, получим  — 0,5гА' = Š— х,А, — х,А + 0,5т (х + х ) А,А, + + (0,5т — х,) (0,5т — х,),4,А, = Š— х,А, — х А + + ~ т + хгхт) А,Аа > Š— х, ~АДŠ— хД Аг ~ Е > — Е, т. е. В) 0,5тА'+Е/3. Тем самым доказана устойчивость схемы в НА . В частности, в силу теоремы 7 из гл.
У1, 9 2 для схемы (54) имеет место априорная оценка $ргьг$А, . ура~~а,-+ 1/ — ~,5' т$юр'~'~ . (55) гР с Для оценки точности схемы (53) рассмотрим погрешность гг м = у"+' — и"+', для нее получаем задачу Вг, + А'г = ф г(0) = О. Теперь можно воспользоваться оценкой (55): При переходе от (55) к (56) мы воспользовались тем, что г' = р' — й = О, и оператор А' удовлетворяет неравенству А~ з А или 1г~,,~ з 2 2 В самом деле, А' = А — (х, + х )АгАт~~А — хг(Аг$Ат — ха$А (А ) — А.
Из (56) следует, что схема (51), (52) и зквивалентная ей схема (46), (47) сходятся в На со скоростьго 0(т*+! ЙР). Замечание. По аналогии с предыдущим пуиктом можае ацаивть погрешаосгь аппроксимации для каждого иа раавостпмх уразвеиий (46) Си" — 'Ви С,и — В,ис ьг если поломать промежуточное (фввтиапое) авачеяие Л, а соетзвтовави с формулой (49), ражпш и = о В и"+г+ (1 — а ) С ии. Подставляя эге алачевие в формулу дая фь находим ф ии+г „и А и В +та о т 460 гл.
>х, экономичныв схемы для многомшных задач »»» = (О < х, < (ц 0 < х, < )») с границей Г: — = (1 ! + Ь,) и + У (х, Г), и>г = р (х, »), и (х, 0) = и» (х), (12) где Ьа>г= д и/уха, сс = 1,2. Пустье>» ((>>)>>, >»)>»)) — прямоугольная сетка в >»» с шагами й, и Ьм Л„у = у- „. Напишем факторизованную схему И): В>В»у> = Лу+ >р, у>!т» = )»'! у' = и,(х), (13) где В - Š— отЛ, Л = Л! + Л», '(» — граница сетки е>». Для решеивя аадачи ИЗ) при переходе со слоя на слой воспользуемся алшрвтмом (6): В,уо! — — Е>, Р = (В,В, + тЛ)у'+т>р>! В,у'+' у>ц И4) е краевыми условиями у>+>)ть = р>+>. Так как оператор В,В, определен на е>» (включая границу х, 0 и х, 1,), то уравнение В*у'+> у>ц должно удовлетворяться не только при 0 < х, < )ц но и на границе при х, = О, 1,. Поскольку у>+Чт» — — )»'+» известно, то отсюда следует, что у>ц — — (Š— отЛ»))»>+' - )»>+' — отЛ»)»>+> при х, О, 1,.
И5) Если у>ц при х, =О, 1, определяется по этой формуле, то задачи ИЗ) и И4), И5) эквивалентны, в чем легко убедиться исвлючением у>ц из И4). Для второго алгоритма В>ю>ц = Ф', Ф' Лу'+ Ч», В»и>(»> ю>ц! у'+' = у'+ тп>(»>, И6) краевые условия задаются так: ф+1 в>' юп>=(Š— отЛ,) при х, = О,!„ ,>+> )»> и>!»> = при х»=0,1, (т! е. и>>,> = О, и>!»> = 0 на (», если р не зависит от П. Отметим, что при записи схемы И) в матричной (операторной) форме краевые условия можно считать однородными, изменяя соответствую>цим образом правую часть >р в приграничных узлах.
Для факторизованной схемы получим также однородные краевые условия (у>ц» у'=О, в>ц = юм> 0 при хш'(»), однако для сохранения порядка аппроксимации в правую часть факторизованкой схемы в приграничных узлах при >, = 1 и 1! = № — 1 надо внееаа поправки — пот~6> ~Л»р!. 3.
Построение экономичных факторизовавных схем. Пользуясь изложенным в гл. т'1, т 3 методом регуляризации, сформулируем общий метод построения устойчввых экономичных схем. 3 3. ЗКОНОМНЧНЫВ ФЛКТОРИЗОВЛННЫЕ СХЕМЫ 461 Рассмотрим устойчивую исходную схему .„а-~-1 р.в В" "+Ау =р. (18) с оператором (19) В =Е+ тВ. Так как схема устойчива, то В > 0,5тА.
Предположим, что В есть сумма конечного числа экономичных операторов В„, а = 1, 2, ..., р: В=В,+...+В,. (20) Факториэуем оператор В=В+ т(В,+...+Вр), т. е. заменимего факторизованным оператором Я В,...Вр В Е+тВ, (21) и перейдем от исходной схемы (1) к факторизованной схеме В ° ° ° Ву+Ау 9 (22) (при атом может оказаться необходимым для сохранения аппроксимации заменитыр на ср вблизи границы сеточной'области).
Если исходная схема (18) устойчива и „„..., В, являютр сн сомосопряженными (Во = Ве), неотрицательными (В, > О) и попарно перестановочными (В Вр ВрВ, а, р = 1, 2, ..., р) операторами, то Яакториаованнан схема (22) также устойчива. В силу указанных свойств операторов В любое их произведение В Вр, В,ВрВ„Н т. д. является самосопряженным н неотрицательным линейным оператором. Поэтому Я = В,В, Е+ т(Вр+ Вр) + т'В,Вр В+ т'В,В, ) В при р = 2, Я = В Вр... Вр = Е + т(В, + Вр +... + Вр) + т () р = В + т ()р ~ )В, Ф ,„.
(),=д,>0. Таким образом, В> В > 0,5тА, т. е. факторкзоваыная схема (22) устойчива. Операторы В следует выбирать так, чтобы выполнялось и условие аппроксимации. П р им ар 1. Пусть требуется решить первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами —" = Ьчи + йри + У (х, (), х ен б, г > О, и) г = )г (х, Г), ' и (х, О) = и, (х), 6 = (О ( хо ( 1„, а =- 1р 2). 452 Гл. гх, экономичные схемы для многомегных 3АдАч Построим двухслойную факторизованную схему <Е + тВ,)(Е+ тВ,)у, + Ау = »р, х.»и»»», с = пт, и= О, 1, ..., у)тл»»(х О й пт ) 0 у(х, 0) и,(х), х»ив», (24) гдо вл = (х» = (»»ь»» 1»й»), (а = О» 1, . ° ., »<»а» )»а)<»а =(а»»ь 1» 2) сетка в прямоугольнике 6 с границей (. Оператор Ь аппраксимируем разностным оператором Л у = (а (х, »)у- )~ » 0 а..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
