А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Пусть А = (ап) — нижняя, А+= (а~)) — верхняя треугольные матрицы, причем ай = а~~ = 0,5аи. Обе эти матрицы (операторы) положительно определены в смысле скалярного произведения (,) в В, так как А (А+)» и (Ах, х)-(А+х, х)+((А+)»х, х)— — 2(А+х, х) 2(А-х, х). Рассмотрим схему +А ут»+г+А уи» = 0 т Ут»+г Уи»вЂ” (4) Уэ»+э Уэ»+г +А ут»+г+А уа»+»=0, я=0,$, ... (5) + Для определения у,„+, и у,„+, надо обратить треугольные матрицы (К+ тА-) и (8+тА+). Нетрудно показать, что написанная схема абсолютно' (при любых т~О) устойчива. Исключим из (4) и (5) у,„+,.
Вычитая (5) из (4), найдем гр,„„= р,„+ р,„„+,А+(у,„„— д,„). Для решения этой системы 1/й" уравнений, например, методом исключения Гаусса требуется затратить 0(1/й'" ') действий (если учесть при этом специальный вид матрицы Ь' — тЛ). Итак, явная схема требует небольшого числа действий, но ее устойчивость имеет место при достаточно малом т; неявная схема безусловно устойчива, но она требует большою числа арифметических действий. Возникает вопрос: можно ли построить схему, сочетающую лучшие качества явной и неявной схем, т. е. $) безусловно устойчивую (как неявная схема); 2) требующую для перехода со слоя на слой затраты (как и для явной схемы) числа арифметических действий (), пропорционального числу узлов сетки ам так что Ч = 0((/Л»).
Тогда на увел сетки приходится число действий, не зависящее от количества узлов. Такие схемы принято называть энономичнььии. Приведем один пример для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, .показывающий, что существует неявная схема, требующая меньшего числа действий (более экояомичная), чем явная схема. П р и м е р, Рассмотрим систему дифференциальных уравнений э ь меам пввнмт<нмтзх напэав>танин 445 После подстановки этого выражения в (5), получим схему В»"+» ~ +Ау»„— О, А = А +А+, (6) зт оператор которой В (Е+ тА НЕ+ тА+) есть произведение двух сопряженных друг другу «треугольных» операторов (В— факторизованный оператор), так как А+ = (А )». Очевидно, что  — самосопряя<енный оператор.
Остается про- верить выполнение достаточного условия устойчивости:  — 0,5(2тА) Е+ тА + т'А А+ — тА '. Е, так как А-А+ > 0 ((А-А+х, х) = ))А+х1» > 0). Схема (6) абсолют- но устойчива. Она имеет, очевидно, второй порядок точности. Пусть Х+ — треугольные матрицы, отличающиеся от А» толь- ко тем, что элементы на главной диагоналя заменены нулями. Будем запоминать при решении уравнения (4) вектор Я у,„'+„ а при решении уравнения (5) — вектор Х+у» +ь Тогда для схе- мы (4), (5) число действий, затраченное при переходе от слоя т<» к слою т»»+,, равно <>< 2т»+12т, в то время как для явной схемы оно равно 9~ 4в»'+ 4т, т. е.
9, ( 9< при л» > 4. 2. Схема переменных направлений (продольно-поперечяая схема). рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности = »<и + > (л~ т), л аи <»»», < еи (О, <»], и ]г = р (л, <), в (х, О) = и (х), (7) Ли=Ли=(Ь»+Ь»)и, Ь и= — ", сс=1,2. д«»э Область С,» = Д» (О < х, «, <х 1, 2) — прямоугольник со. сторонами 1, и ]„à — граница»'<-<»<+Г. В»<< построим равномерную по х, сетку с>» с шагами Ь, =1</У„Й» ° )»]]«'». Пусть (» — граница сеточной области ю», содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его вершин, е>» = с>»+ т». Оператор Ь» заменим разностным оператором Л: А,у=у- < А.=Л,+Л».
Напомним, что в случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к ревностной краевой задаче вида А,уьч — С<у<.+В,у,+, -Е< 1=1 ... У вЂ” 1 ° ' ' '«(6) у< )»<, у«р», А<>0, В<>0, С<>А<+В„ которая решается стандартным методом прогонки с здтратой 448 гл. <х. экономичные схемы для мнОГОИИРных ЭАДАч Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах х =х, сетки э<» и для всех е < )О.
Первая схема неявна по направлению х, и явна по х„вторая схема явна по х, и неявна по х,. .К уравнениям (9), (10) надо добацить начальные условия у(х, 0) =и,(х), х<в э<и (11) и разностные краевые условия, например, в виде у"+' = р"+' при << = 0 и << - <<ь у +<' )< при < =0 и < =<т<, (12) (18) где г т р = —,(р»+ + р.) — — л,(р»+ — р.). (14) Смысл краевого условия (12) ясен, а условие (13), определяющее граничное значение у, будет пояснено ниже. Таким об- числа 0(1Л) =0(<т') действий, пропорционального числу У уз,лов сетки <э,=(х<» (Ь, 0~<(Ф).
Обратимся к нашей двумерной задаче в прямоугольнике. Сетку е«можно представить как совокупность узлов, расположенных на строках <, О, 1, ..., № или как совокупность узлов, расположенных на столбцах <, =О, 1, ..., №. Всего имеется <<'<+ 1 столбцов н №+1 строк.
Число узлов в каждой строке равно <<'<+1, а в каждом столбце имеется №+ 1 узлов. Если иа каждой строке (или столбце) решать задачу вида (8) методом прогонки при фиксированном << (или <,), то для отыскания решения на всех строках (или столбцах), т. е. во всех узлах сетки, понадобится число О(№№) арифметических действий, пропорциопальпое числу узлов двумерной сетки. Основная идея большинства экономичных методов и состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач вида (8) вдоль строк и вдоль столбцов. Весьма четко эту алгоритмическую идею выражает неявная схема переменных направлений (продольно-поперечная схема).
Эту схему часто называют схемой Писмена — Рену)орда (по имени авторов, впервые предложивших ее). Наряду с основными значениями искомой сеточной функции у(х, <), т. е. с у=у" и у = у"+', вводится промежуточное значение у = у" +", которое можно формально рассматривать как значение у .при г =т„+ь = -<„+т/2. Переход от слоя и к слою и+1 совершается в два этапа с шагами О,бт: »+ч„» --йу»<-,, ( Лу» ( <р» (9) »-<-<»+ч, — Л,У» '- + Л,У» < + <Р" (10) 0,5т 1 ь мктод пи вмвнных напглвлкнии 447 разом, разностная краевая задача (9) — И4), соответствующая задаче (7), поставлена.
Остановимся на методе решения атой задачи. Перепишем (9) и ИО) в виде 2— г — У-Л,У=У, У= — У+Л,у+ Р, 2 2- — У вЂ” Л,У=у, Г= — У+Л,у+ Р.' (15) Условимся о следующих обозначениях: х2 = (1252 '2"2). 2г = у1212 У = У1222. при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то мы его не пишем. Тогда И5) можно записать в виде (8), т. е. 1- /1 11- 1 — зудит 2 — 2 ~ — 2+ ., ) У1а+ 2 ~И~+2 —— — Рй, 2 1,=1,2,...,Фг — 1, у=р при 1,=0,Ж2, 1 /1 11- 1 — у~ 2 — 2~ — + — ) у~ + — у12+, — — — Р12, Ь2 ~ 22 т ) аз 2 3 2 12=1,2,...,Фз — 1, у = р при 12=0,Х2.
Пусть задано у у". Тогда вычисляем Р, затем методом про- гонки вдоль строк (2 1, 2, ..., № — 1 решаем задачу И6) и определим у во всех. узлах сетки вм после чего вычисляем г" и решаем задачу И7) вдоль столбцов 1, =1, 2, ..., № — 1, опре- деляя у =у"+'. При переходе от слоя я+1 к слою и+2 кро- цедура счета повторяется, т. е.
происходит все время чередова- ниц направлений. Так как прогонка (см. гл. 1, т 2) требует на один узел числа действий, не зависящего от шага сетки, то описанный алгоритм будет экономичным, если мы докажем абсолютную устойчивость схемы (9) — И4). Перейдем к изучению устойчивости и сходимости этой схемы. 3. Устончивость. Для исследования устойчивости схемы (9)— И4) проведем исключение промежуточного аначения у. Вычитая из (9) уравнение ИО), находим 2У = у+ у — 0,5тЛа(у — у), х ж вл.
И8) Подставим И8) в (9): (16) (17) — "" — — Л,(У вЂ” У) = — Л,(у+ У) — — Л,Л.(у — У)+Л,у+ Р (19) Учитывая, что у=у+ туо преобразуем И9) к каноническому гл. тх. экономичныв схвмы для многомигных задач виду (К вЂ” 0,5тЛа НŠ— 0,5тЛ.) у, Лу + ~р. (20) Из предыдущих рассуждений ясно, что формула (18) должна выполняться и при х, = О, х, 1, (иначе значение (Л,у)ад не определено при а, = 1 и а, = )У, — 1). Так как у = р, у )а при х, = О, х, = 1„ то из (18) следует 1 у = — (р+ р) — — Лар1 = р при ха — О, ха = (и что.совпадает с краевым условием (13), (14). Тем самым доказано, что решение задачи (9) — (14) удовлетворяет уравнению (20) при дополнительных условиях у!та=)а у!та= )а у(х О)=иа(х) (21) С другой стороны, решение ззл, чя (20), (21) является также решением задачи (9) — (14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
