А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 77
Текст из файла (страница 77)
с» ( аа (х, о) ( с», а = 1, 2, второго порядка аппроксимации и положим А- — (Л,+Л,),В = — Ос»Л„а=1, 2, где Л у = у-а При изучении устойчивости схемы предполагаем, что краевые о услввия однородные и Н»»» — пространство сеточных функций, заданных на в» и равных нулю на границе т». Скалярное произведение в пространстве Н определяется так же, как для задачи (22) в $1. Тогда А и В как операторьг, заданные в Н, обладают такими свойствами: о о о А =' Ао> О, А„(с»Аа» А„У = — Л.У длЯ любого У си ЬС»» (25) В» = Ос»Аа» Ва = Ва) О, »» = 1» 2; »» = »». Условие устойчивости В (Е + тВ,ПЕ+ тВ,) > 0,5тА будет выполнено, если о > 0,5 (или даже О > 0,5 — 1/(т!)А)))).
Очевидно, что В, Е+тВ,— трехточечные разностные операторы с посто- янными коэффициентами. Они являются экономичными, так как уравнения В,»с = <Е+ тВ,)»с = Р„а = 1, 2, могут быть решены методом прогонки (вдоль строк при»ь 1 и вдоль столбцов при»ь 2). Факториэованная схема имеет, по крайней мере,' первый по- рядок точности по т. Аналогично строится экономичная фактори- эованная схема для р-мерного случая, когда (23') а 1 9 2: зкономичныв Флктогнзовлннык схвмы .
463 а Ь определяется согласно (23). В этом случае Р В = П(Е+тл ). Операторы В выбираются так же, как н при р = 2. П р и м е р 2. Пусть требуется решить первую краевую задачу для параболического уравнения со смешанными производными в параллелепипеде б,=(0(х ~)„а 1, 2, ..., р): — =Ли+7'(х, 1), и~г = Р(х, 1), и(х, 0) = и (х), (27) где л~+ л,", Л Лз+ Лз+ з 2 Л1Лз Лау=у, па=0,5 — йз/12, а=1,2, *а"а ' а л,' л', 1 "+'и <р у+ Г2Л11+ 12 Лзу) имеет точность 0(т*+! й!'). Она эквивалентна схеме переменных направлений (46), (47) из 3 1.
Напишем две другие схемы переменных направлений, эк- вивалентные (27) 1) (Е+ о,тЛ,)у = ИŠ— о,тЛЭ(Š— о,тЛз) + тЛ')у + ир, (Š— о,тЛ,)у - у. Х и = ~'„— (исаа (х, 1) — "), (26) аэ г ~а е г Р 0(сг~'$а(~ ~ йас(х, 1)$а5З ~~сз) 5а аг аэ а 1 В качестве В снова выбираем операторы (25). Эти операторы в 12~ являются самосопряженными, положительными (при о ~ 0) и попарно перестановочными (так как область 0е — параллелепи- пед). Полученная схема устойчива при условии о > 0,5. Так как В,=Е+тВ„и 1, 2, ..., р,— трехточечные разностные опера- торы с постоянными коэффициентами, то алгоритм определения у'+' при заданном у' тот же, что и в предыдущем примере.
Приме р 3. Схема повышенного порядка точности для урав- нения теплопроводности (12). В $1, п. 6 было показано, что факторизованная схема (Š— огтЛ,) (Š— озтЛ,) ус = Л'у + <р, хан ел, 0(1= пт, у~та = р (1)„г = лт, у (х, 0) = и, (х), х ~ ~о„, 464 гл. Зх. Экономичные схемы для многомеэных 3АдАч Каждое из уравнений есть двухслойная схема. Запишем зтп схемы в каноническом виде '(Š— о,тЛ,)" Т = Л,у+ (1 — о )Л,у+ (х, + к, + того,) Л,Л,у+ ф, (29) (Š— О,ХЛЗ) — "" =О,Л,У, х =Ь'„/12, а=1,2. Краевые условия для этих схем: у =р при 1, О, )Ум у =(Š— О,ХЛ1)р"+' при 1,=0, )УО (30) 2) (Š— О,ЧЛг) Р " = Л'у+ ф, (Š— О,ХЛ ) — "" = О,Л (у — у) (31) с краевыми условиями для у: а+1 л у = р" +"%(Š— тО,Л,)" " при г, =О,Ф,. (32) Каждая из полученных трех задач (46), (47) из $1, (29), (30) и (31), (32) решается поочередным применением метода прогонки вдоль строк и столбцов сетки еь, (т.
е. Методом переменных направлений). Подводя итоги, следует отметить, что факторизованные схемы применимы лишь для областей специального типа, точнее, для прямоугольников и для параллелепипедов. Исключение представляет лишь случай В = В,В„ В, = Е + тН„, где Н, и Н, — треугольные операторы. Однако при этом понижается порядок аппроксимации (которая имеет место лишь при условии т 0(й')). 4. Трехслойиые факторизованные схемы. Рассмотрим экономичные трехслойные схемы. Пусть дана схема ВУо + т НУ;, + АУ = ф, 0 ( Г = )т ( 1э У (0) = Уо. У (т) = Уг.
Разрешая ее относительно у'+', находим (В+ 2тН)у'+' — 2т(2Н вЂ” А)у'+ ( — 2ХН)у' '+2пр'. Отсюда видно, что для экономичности трехслойной схемы надо, чтобы оператор В+ 2тН на верхнем слое был факторизован. Рассмотрим в качестве исходной схемы схему с весами: у. + А (о у + (1 — О, — Оэ) у + О,у) = ф, у (0) = уе, у (т) = ум (33) Запншем ее в каноническом виде (см.
гл. т'1, $3) (Е+т(о,— 'О,)А)у~ +0,5(О,+о;)тзАУ;, +Ау = ф (34) З 3. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВЗННЫЕ СХЕМЫ 46й и найдем оператор,В+ 2тВ Е+ 2а,тА. Пусть А = А, + А,. Заменим В+ 2тВ факторизованным оператором В + 2тВ = (Е + 2а1тА,)(Е + 2а1тАз) = Е + 2а,тА + 4ат~тзА,А,, Поскольку имеется одно условие для двух операторов В и Я, то можно построить ряд факторизованных схем.
Перепишем (34) в виде (В + 2тВ) у~ + ( — 2тВ) у; + 2Ау = 2ф. Заменим В+2тВ факторизованным оператором В+2тЯ и приведем полученную схему к каноническому виду, учитывая прц этом, что у~ =у. +0,5туй, у;= у. — О,бтусс В результате получим (Е+т(а — а,)А+ 2а,'т'А,А,)у +те( ' з А+а',тА,А,)у;,+ + Ау = ф у(0)=уз у(т) = ум (35), так что В = В + 2а~|тзА,Аз, В = В + азтА1Аз (ср. с (34)). Для определения у'+' при заданных у' и у' ' можно восполь-. зоваться следующим алгоритмом: В р) ра (2, В В) 1 2Ау)+2 ) В,в<ю = и<н, у +' = у'+ тв<„в )~-1 В, = Е + 2а,тА„Вз = Е + 2а1тА,.
Вопрос о краевых условиях для юа, решаетея так же, как и а случае двухслойной факторизованной схемы. Для исследования устойчивости факториаованной схемы (35) надо воспользоваться общими теоремами из гл. Ч1, т 3. Достаточ. ными условиями устойчивости являются условия а,>а„а,+а,>0,5, Л =А'>О, А,А,=А,А,. Если а,>а„а,+о;>0,5, А,„= А„> О, то исходная схема устойчива, так как В >Е, 4В>А. В силу перестановочности А, и А„А,А,>0, т. е. В>В, В>В. Отсюда и из устойчивости исходной схемы следует устойчивость факторизованной схемы (35).
Мы рассмотрели частный случай, когда В ОА, а=0,5(а,+ + а,). Укажем общий метод построения трехслойных экономичных факторизованных схем, основанный на принципе регуллризации разностных схем (см. гл. Ч1, т 3, п. 10). Рассмотрим некоторую 3 О Л З. Свваэсзна 466 ГЛ. )Х. ЭКОНОМНЧНЫВ СХВМЫ ДЛЯ МНОГОМКРНЫХ ЗАДАЧ исходную разностную схему у +.™УП+Ау = <р, 0(г = ут(гр, у(0) = и, у(т)= ир (36) (значение у(т) = й, при г = т выбирается так, чтобы обеспечить второй по т порядок аппроксимации). Оператор В выбирается так, чтобы схема (36) была устоячивой.
Запишем исходную схему в виде (Е + 2тВ) у, = — Р, Р = (2т — Е) у; — 2АУ+ 2<р. (37) Пусть В есть сумма экономичных операторов, В = В, + В, +... 'р ... + Вр. Заменим в (37) Е+ 2тВ = Е+ 2т 2~ В„факторизои=1 ванным оператором 'Е + 2 гВ = Д (Е + 2тВ ) = Е + 2тВ + 4т'0р, В = В + 2т0р, а — г где 9~ В,В, при р 2, 0 В,В,+В,В,+В,В,+2тВ,В,В,при р = 3 и т. д., и вместо (37) рассмотрим факторизованную схему В,...В„у, = — Р, В, =Е+2тВ,. (38).
Приведем (38) к каноническому виду Ву~ + тРВУ;, + Ау = ~р, (39) где В = Е + 2т'()„В = В + т()р.. Пусть 9,(и) — погрешность аппроксимации (в классе решений и = и(х, г) непрерывной задачи) для исходной схемы (36), 9,(и) —. для факторизованной схемы (39). Нетрудно заметить, что Ф!(и) Ми) + ФР, ФР 2т'Дрие Если ~Драйте> = 0(1), где ~ ~рю — некоторая сеточная норма (фигурирующая в теоремах об устойчивости), то рре ~зр>=0(тз) я при переходе от исходной схемы к экономичной факторизованной схеме (38) погрешность аппроксимации меняется на величину 0(т*). Таким образом, указанный процесс позволяет получать экономичные факторизованяые схемы с сохранением второго порядка точности по т (за счет, вообще говоря, некоторого повышения требования гладкости решения и).
Чтобы исследовать устойчивость (36) и (39), нужно рассматрио вать операторы В и А как линейные операторы из Н=йр в Н (это значит, например, для схемы, аппроксимирующей (26), что кРаевые УсловиЯ на 7р одноРодны). Пусть выполнены условия А =' Ар ) О, В„= В,*, ) О, а = 1, 2,..., р. г г. ЭКОНОМИЧНЫВ ФАКТОРНЗОВАННЫЕ СХЕМЫ 467 Тогда исходная схема (36) устойчива при В> 4 А, е>О.
(40) В случае переменного А =Ай) требуется, кроме того, чтобы АИ) был липшиц-непрерывен по 1. Оператор В мы будем выбирать постоянным. Если операторы В попарно перестановочны, то из устойчивости исходной схемы следует устойчивость факторизованной схемы (39), так как <„)р)0, В=Е+2т'Др)Е, В В+ту )В, т. е. Выбор регуляризатора В как для двухслойных, так и длятрехслойных схем проводится по одному и тому же принципу. Важно отметить, что одним и тел< зсе регуляризатором В можно пользоеагьея для различных операторое А. Пример.4. Рассмотрим задачу (23) для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.
Операторы А, В, иВ, определяются так же, как и в примере 1 для двухслойной экономичной схемы (24). Исходной является схема (36) У, + гВУ- + 1 =, В= В,+Ем имеющая второй порядок аппроксимации, <0 =0(т'+ )Ь)г). Она устойчива, если о ~ (1+ еУ4. Факторизованная схема имеет вид (39), где В Е+ 2т*В<В„Я В+ тВ,Вь В силу перестановочности В, и В, факторизованная схема (39) абсолютно устойчива при о ) (1+ е)/4, е ) О. Заметим, что оператор А = А(О липшиц-непрерывен, если )(а,)«(е,о, е, сопзг-.0, <а=1, 2.
Схема (39), очевидно, экономична, так как каждый из операторов В =Е+ 2тВ экономичен. При решении системы разностпых уравнений В<Вту< = — Р', Ва = Е + 2'гВа У (тз = )< можно воспользоваться алгоритмом В,и<<Π— — — Е, х ш юл, ю<о — — В,)А< при х, = О, 1„ Вгн<<м о<«<, х<не<л, <о<<< =9< ПРИ хг О, )<н У' У< + ™<з<. Обращаем внимание на постановку краевых условий для <о<о при прогонке по строкам и для <о<м при прогонке по столбцам. Если )< не зависит от 1, )А )<(хг, то <о<о и и<О, УДовлетвоРЯют оДнородным граничным условиям.
30р 468 ГЛ. 1Х. ЭКОНОМНЧНЫВ СХВМЫ ДЛЯ МНОГОМВРНЫХ ЗАДАЧ Факторизованная схема (39) в этом случае устойчива при условии (40) или о~(1+ з)/4, э~0, и имеет второй порядок точности по всем переменным. Аналогично проводится построение факторизованной схемы для исходной схемы вида р (Е + т В) у11+ Ау = ф~ В = с~~~ Ва| а=1 (41) где  — попарно перестановочные, самЬсопряженные и положительные операторы. Эта схема соответствует уравнению гиперболического типа д'и/дР-Ьи+/. Переход от схемы (4$) к факторизованной схеме можно осуществить несколькими способами, факторизуя оператор при у, у-„или у1.
Мы рассмотрим один из этих способов. Заменяя оператор Е+ т»В факторивованным опе- ратором У Е+ В=И(Е+т'В) Л=В+ 'Р 0 =0 = О, ».=1 получим схему (Е + т'В) у;, + Ау = ф, которая устойчива, если устойчива исходная схема (так как Я = Яа) В), и отличается от исходной схемы по аппроксимации на величину 0(т*). Пример 6. Рассмотрим уравнение гиперболического типа в прямоугольнике С, (О < х <1, а 1, 2), на границе Г которого Пример 5. Рассмотрим задачу (26). Оператор Е в этом случае аппроксимируется разпостным оператором р Лу = 0,5 ~ [[йав(Х, й) у- ) + (Лаз (Х~ Г) У»Э)», ], а, Э=1 а коэффициенты и»1 удовлетворяют условиям У У У с1 2, М( Х йаз(х,1)$»ЗЭ~(с» ~ $' Дла всех х~ б„г) О, а=1 а, Э=1 а=1 где с, > с, > 0 — постоянные. Липшнц-непрерывность оператора о А(1)у -Л(1)у в В йзобеспечнвается требованием ((й 1)11 ~ с», с, — постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
