А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 80
Текст из файла (страница 80)
— полуинтервал Ф>+„ц<„< Ф ~ Ги,~. Будем последовательно (начиная с а, = 1, 2, ...) решать уравнения У р<«ц О, хы< «г<аЬ «с<=1 2, ..., р, (6) полагая при этом о<фх«0) = и«(х)«У<а>(х««>~.<«;>><а) = Р<«-ц(х«$><.<«-ц>р) ° (7) а 1,2,...,р (для простоты будем считать, что на Г задано однородное краевое условие первого рода).
Решением этой задачи назовем значения о(х, Г>) <><з>(х, д>), У О, 1, 2, "., 1«. Каждое из ура~некий У~о<«> «** О или — — = Ь„р««>+ ~„< <з =. 1, 2, ..., р, 4 д<><а> (6) « заменим разностной схемой (аппроксимируя ди/дг и Г соответствующими разн<ютными выражениями на сетке вь с шагами йо Ьи...,)>): (8) П,у<«ц О, ж 1,2,...,р В простейшем случае зто двухслойная схема, связывающая значения уоц у'+ >«и у<, ц у'+" "". Например, это может быть схема с весами: р~~ ~~ — з~~~~ ~~~~ ) ( >+а<р+ (1 ) >+<а-ы/р) + >+а>р где а — произвольный параметр, а Л - 5 . 31 А л. сааазскзз 482 гл.
х1. экономичные схемы для многомерных ЗАдАч (И) при дополнительных условиях сопряжения Р11(х, 11) о„н(х, 11+1), а 2, 3, ..., р, о<1>(х й)'= о(х й) у — 1 2 ... о<11(х 0) и1(х), (12) Решением этой задачи является функция о(х, 1) Р1Р1(х, 1). В отличие от (6) — (7) здесь каждое из уравнений номера с» решается ва всем интервале т, <1( 11+1. Для некоторых частных случаев решения задач (6)-(7) и (И) — (12) совпадают (например, если Д и 0 и 1; не зависят от 1). Обе цепочки (6) †(7) и (И) †(12) обладают свойством суммарной аппроксимации' на решении и и(х, 1) задачи (5). Проверим это для задачи (6) †(7). Рассмотрим повязку 1р =У а(х, 1) СХЕМа (8) аППрОКСИМИруЕт уранйЕНИЕ У,Р1а1 0 В ОбЫЧНОМ смысле, так что Ч' П и'+"' — (У и)'+"' (9) стремится к нулю (в некоторой норме) при т- 0 и й -О. Система разностных уравнений (8) является аддитивной схемой.
В самом деле, пустыу ° Пвп'+ "— повязки для одной схемы (8) номера а. Представляя 1р в виде суммы, 1р, = (У и)'+ "+ Ч' ИО) и учитывая, что (Уаи)'+ " *(У,п)1+"1+ 0(т), получим фа = Фв + чае фа = (Уан) + а ~1уа~-~0 при т — О, (Ъ| - О, П.1 — некоторая норма в пространстве сеточных функций, задакных на е1. Отсюда видно, что Р ! р „'3 1ра= О, ~1Р~ = ~ч~', 1за -+ 0 пРи Ч-РО, )й)-ч-01 а 1 а 1 т. е. схема (8) обладает суммарной аииуонскмацивй, вслм каждая нв схем (8) номера'а аииронсимнрует в обычном смысле соответствующее уравнение (6).
Вопрос о близости решения разностной задачи сводится фактически к вопросу о близости решения исходной задачи (5) и решения цепочки задач (6) — (7), так как 1у — н' ~ (~ у~ — Р~РД+ ~ о~~р>,— й ~. Наряду с (6) — (7) можно рассматривать также цепочку уравнений (вторую цепочку) да<а> в1 = ~ ао1а) + 1а~ х е= 61 11 < Ф ~ ('1+1' В 3. МНГОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 483 для уравнения (6) номера и. Так как т' и=(9'„и)'»и»+0(т), то о» о < +1<1 Фа = »гьа+ <г»1 где <ра = (Ьнаи) ' 1 <га = 0(т), и, следовательно, о р Р ~ ~ъ„— О, $ = ~ <ра — ~ ора = 0(т), т. е. система (6) — (7) аппраксимирует уравнение (5) в суммар- ном смысле.
Таким образом, суммарная аппроксимация аддитивной схемы -(8) достигается за счет того, что цепочка дифференциальных урав- нений (6) — (7) аппраксимирует' уравнения (5) в суммарном смысле, а каждая ив схем (8) номера <х аппроксимнрует соот- ветствующее уравнение (6) в обычном смысле. Отметим, что суммарная аппроксимация для (6) и (11) гаран- тируется выполнением двух условий: 1) оператор Ь есть сумма Ь 51+51+...+5;, 2) правая часть | есть сумма <=~~+А*+ +Ь. Эти условия можно ослабить, положив Ьи — ~ 7„и = 0(т), ~ — ~.", ~» —— 0(т).
» 1 а=1 Если 5 содерян<т производные лишь по переменному х„то такой оператор Ь, называют одномерным, уравнения де,о„= 0 — одномерными уравнениями, а соответствующую адднтнвную схему (8) — локально-одномерной схемой (ЛОС). В п. 5 мы рассмотрим локально-одномерную схему для уравнения теплопроводности. 4. Примеры сведения многомерной задачи н цепочке одномерных.
Имеется класс задач, для которых решение задачи (6) или (11) совпадает на сетке в, с точным решением многомерной задачи (5). Пример 1. Рассмотрим задачу Коши — +аи(1) = О, 1~0, и(0) = и», где а) 0 — число. Очевидно, что иП) = и,е Представим а в виде суммы а а,+а, и напишем задачу "'Ъ> — +а,о<,>(т) =О, о<ц(0) = и, 0(т(<», »'»< > — +а»о<МЯ = О, о<ю(0) = о<1)(1~), 0~~<~(1~, . где г» ) 0 — любое число.
Решая зти уравнения, находим о<о(1) — »11 . -»»1 -о»1-»1 <» = и»е, Р<ю(г) = о<п(<»)е = и е . Отсюда видно, что о»(1») и(1»). 31» 434 гл. вх. економичньш схимы для многомвгных задач ро — =(а а+ ав+ аз) и, за и= а а и = 1а 2а За два оо ( ха ( оса а )~ О, и (х, 0) = на (х) Ее решение дается формулой (см. (5) ) и (х, 1) = и (хаа хв, хз, в) = аа ) б (х, хм хв' В * ев, В„О нв („ зв) а)еа а)ьз аайз (14) (13) где б(ха, ха, ха, '$о Ь, за, а) — функция источника, равная б(Ха, Хаа Ха) вваа вава'Вар 1) = ба(Хо ввь а)ба(хаа вьв, аа)ба(ха, вьа, аа), ба(хаа фаа а) = ехр ( (ха ЪвУI4ЮI(2У~ЪВ а = 1а 2 3, Здесь б,(х, $ а $) — функция теплового источника для задачи'Кодвову ши в случае одномерного уравнения теплопроводности —, =, Бои~о>а,й) О, Гаоа (Х, 0) ЗадаНО.' Пример 2.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения пере- носа — оо ( хо ( оо, з ) О,. и (х, 0) = р (х). Решение этой задачи есть бегущая волна и(х, в) * )а(ха — в, х,— з), еечн р(х) — дважды дифференцируемая функция. Так как операторы Ьа и ьа перестановочны, то и(х, де) и,и(х, дв), где о<а>(х, Ув) — решение системы уравнений. — ''+ — '~ =О, 0(Удава осе(,,0) = Р(х)а дв + = Оа 0(з~(1~ о(в)(х) 0) = ааааа(х в~) до< до< > В самом деле, решение первого иа этих уравнений имеет вид' о<о(х, в) )в(ха — 1, х,).' Из второго уравнения находим ОНС(х, С) ~=~ )а(х, — Воа *, — В), т.
е. Ни>(х, вв) = и(ха вв). Пример 3. Рассмотрим задачу Коши для уравнения тепло- в водности э з. мвтод стммдзнои Апш оксимьпии 485 Напишем цепочку одномерных уравнений теплопроводйости: до< до< > до< > д< = ~1"(пч д< = ~в~(ть д< — з"(ю1 0<г(ге, и<ы(х, 0) = и (х), и<ю(х, 0) = и<,>(х, <е), и<ю(х, 0) = и<ю(х, ге). Отсюда находим о и(ы(х. <) = ) 6,(х„ь„<)и<п($„х„х„О)<$„ Ф и<ю(х, г) = ) 6е(х„$, <) и<ю(хм ст,'х, 0)с$, Ф и< > (х, г) = д 6 ( ', $, т) о<ю (х, х, $, 0) с$ .
Подставляя сюда и«<($о хм х„О) = и,("с„х„х,), и<и(хо Ь, х„О) и<с(х„$„х„т~), иа1(х„х„фе О) = о<и(х<, х<, Ь, ге), полУчаем для и<и(х, Р) формулу (14) при Ф Р, т. е. и<,>(х, ге) и(х, те) при любом ге) О. Это свойство следует иэ представления функции 6(х, с, М) 6(х„хм х,; $о 5, Ь, т) в виде проиэведения одномерных функций источника 6,(х, 3, г). Для краевой эадачи в параллелепипеде (0<х <)„а 1, 2, 3), когда помимо (13) авданы однородные краевые условия первого рода и 0 при х, О, <; а=1, 2, 3, укаэанное представление для функции источника сохраняет силу. Поэтому тождество (14) справедливо и в этом случае.
Очевидно, что для всех трех примеров совпадение и<ю(х, Ф) с и(х, Ф) имеет место и во всех уэлах сетки <о,. Примеры 2 и 3 показывают, как можно раэложить процесс, протекающий в пространстве, на последовательность процессов по координатным направлениям (одномерных 'процессов). Так, трехмерная эадача о распространении тепла в пространстве (или в параллелепипеде с нулевой температурой на его поверхности) может быть смоделирована таким обраэом. Пусть при т Ц эадано начальное распределение температуры. Установим при т = $, теплонепроницаемые перегородки по направлениям х„х„т. е. будем пропускать тепло лишь по направлению х,.
В момент г Ц+М поменяем ролями направления х, и х„а в момент $ =<,+2<<<1 будем пропускать тепло лишь по направлению В реэультате получим при Г <, + Зйт то же распределение температуры, что и в случае трехмерной теплопроводности (т. е. одновременно по всем направлениям хо х~ и х,) в момент у= Г, + Ы. Таким обраэом, сведение трехмерного процесса к последователт э з. мвтод стммлгнои ьпш окснмации 487 б) В нерегулярных узлах э — э "« '( (->а) ян ума, а ы — Э )» (+1а) х ен тма, ь 1 э — э (+)а) ьа аа Л у=х-- "а "а (17) ( (.э(+') — р а ~ ° ьа а где Ьа — расстояние от нерегулярного узла х до граничного узла х(+'а) или х( 'а) Можетоквзаться,чтообасоседнихс ханша,а узла х( )а) и х(+>а)являются граничными,х( ~)а=ул,а. в этом слу- чае (18) где Ьа~ — Расстонние менщУ х и х(~~а)(Ь„~~~Ьа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
