А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Рассмотрим аддитивную схему общего вида в гильбертовом пространстве И1. 1)+а/р,)+(а-1)/р В +,~ Аавг'+З'Р = 1р(1, в= а=1,2,...,р, У=О,(,...,з»=0. Е 3. МЕТОД СУММЛРНОИ АППРОКСИМЛЦНИ то для решения вадачи (45) справедлива априорная оценка 499 На доказательстве этой теоремы мы останавливаться ие будем. Оно приведено в книге А. А. С а м а р с к и й. Введение в теорию разностных схем. — Мл Наука, $97$. ОтсюДа виДно, что из сУммаРной аппРоксимаЦии в Нв — 1следует сходимость в НР, т. е.
иэ условнй ! Р Х $а1 = 1 т11в-1 Р О~ ~фа11в-1 = 0($), ч-1" 01 ) й(-~.Од (48) а-1 1В-1 следует, что 3Н вЂ” О для всех 7 $, 2, ... Отметим, что оценка (47) получена при весьма сл"Яых ограничениях: оператор В положительно определен и самосопряжен, матрица-оператор ч( — -(А 1) неотрицательна. Если схема (45) рассматривается в банаховом пространстве НЛ, то применяется другой метод построе'ния априорных оценок. Пусть схема (45) устойчива, так что ~гЯМ(М шах ~ч.', ~1р ~(1н (49) ваь<эа 1 где 1!1,11 и в !!<ц — некоторые нормы на Н,. Предположим, что ф, можно представить в виде суммы о а 1Ра = фа + 1Р„, таК Чта ~ фа = О. (50) а 1 Положим г'+ " 1)'+ "+ Р'+ ", где т)м"Р определяется иэ условий в~+а/Р ч~+(а-1)/Р В =ф, сс= 4121...1р1 1)в=О.
, Отсюда следует а Вт(1+ ь = Вт)~+ ч „'~~~'Я, Вт)в+' = В1)~ = ... = Вт)' = О (Ьа1 т. е; т)' О, Ы Р1 для всех у=1,2, ..., а а Р т)~+а4Р Ч ~~'.~ ~В-~1фа Ч 3 В-~фВа а 1 2 р $ а 1 а=а+1 Для Ф+ 'Р, очевидно, получим уравнение (45) с правой частью Р Р а 4>а=1'а +т Х 4аа Х- В 94' Е-1 а'-В+1 500 Гл. Пх. экономичные схемы для многомегных з»дАч и начальным условием ип =О. Из (49) следует Р -1 фг)Д111 = аппп)(111((М'шах Д Цп(п,', ф<пь еепг <и' а=п Условие суммарной аппроксимации означает, что 1) пР можно представить в виде (50), 2) Я~~~1»1-эО при т- О, ))и) - О.
Втоее и О) е рое требование будет выполнено, если 1$е1<»1 -» 0 и ПАеаН пР»1= 0(1) при т- О,!й) - О. Второй метод исследования сходимости аддитивной схемы был применен в и. 8 при исследовании сходимости в С локально-одномерной схемы для уравнения теплопроводности. Подчеркнем, что при изучении сходимости аддитивных схем мы предполагаем (как н всюду в теории разностных схем) единственность, существование и достаточную гладкость решения исходной многомерной задачи. Пусть, например, и — решение задачи (5), у=у» — решение адаптивной схемы, у» а Н», где Н, — пространство сеточных функций.
Следуя $1 гл. Ч1, мы должны оценить разность гь = рл — п»п где и, Ж,и, тп» вЂ” линейный оператор из Н, в Н» (ппи Н„и» пя Н»), точнее, величину епу»л — ие»»1(п»), где $ф»)— некоторая норма на Н». Эта оценка производится непосредственно: пишется задача для г», вычисляются погрешности аппрокси» е надин Пуа= ПЬ+П(»ен ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ОДИН ИЗ УКаааННЫХ В ЭТОМ пункте методов оценки г». 12. Аппроксимация «многомерной» абстрактной задачи Кошя цепочкой «одномерных» задач Коши. Остановимся еще раз на вопросе о сведении многомерной задачи к цепочке одномерных задач. Обратимся к задаче (5). Пусть на Г заданы однородные граничные усвоена.
Будем рассматривать функцию и(х, Г) как функцию л в качестве элемента некоторого линейного нормированного пространства Н.. Тогда Ь будет линейным оператором в этом пространстве, а и = ЕО) — абстрактной функцией 1 со значениями в Н, (п(п) ы Н, для всех га (О, гп)).
Вместо частной производной в (5) можно писать обыкновенную производную по й В результате мы приходим к абстрактной задаче Коши: е, +Фи = и (1), 0 ~<1~ (Ге, и(0) = ие ан Не,. (51) где э~ — линейный оператор в банаховом пространстве Н,. Область определения м)(Ф) ~ Н, оператора .Пб является всюду плотной в Н, и состоит из функций, удовлетворяющих однородным граничным условиям на Г. Область значений Л(.ПФ) оператора Ф принадлежит Н,.
$ 3. мвтод суммАРнОЙ АппроксимАции Пусть .сб представлен в виде суммы э .)б= Х р. а 1 (52) линейных операторов .сба, пересечение областей определения которых есть. Ж(,Ф). В этом случае решение задачи 11)оши (51) можно свести к последовательному рвшеншо задач Коши того же типа, но с операторами .Ф вместо Ф. Остановимся на двух способах такого сведения.
Пусть на отрезке 0<8<1, введена сетка е, (сг )т, ) ааО 1 )4) С шагом т ПРЕДСтавнм г В ВИДЕ Суммы г аг га а 1 Первый способ (см. и, 3). Рассматривается последовательность зацепленных (ецепочкаэ) уравнений гг))е,а) + Фар<а)=$аэ сс = 1з 2~ ' г Р1 Ь+(а-1))р (Г((гг+а)ръ (53) р аг с начальными условиями ого(0) = и„о<и(сг) = ог,) (гг), )) = 1, 2, (54) ог )(гг+г -ога) ~™г г)(сг+г -г)гт) У О, 1,..., а 2, 3, ..., р.
+Фа(Г) ооа)(Г) = ~а(Г), Г)~се-.г)+1, . (55) ег +АР(г)огэ)(г) = Я Ь<гФ)+11 г)"<Р) с начальными данными о<г)(0) = и„о<г)(гг) оге)(гг), ) = 1, 2, ..., (56) о<а)(гг) о)а г)О!+г), а 2, 3," р ) 0 1 2 "° Решением задачи (55) при г гг+г является, по определению, элемент о(сг+г) = оге)(Г)+г), ! О, 1, 2, . ° При 1= 0 полагаем угг)(0) и(0) и,. Будем называть решением этой задачи при 1 Гг+г ФУНКЦИЮ о(гг+г) =огаг(гг+г). В общем случае 1о(сг) — и(гг)1=0(т) для всех 1, 2, ... Второй способ аппроксимации задачи Коши.
На всем промежутке гг( с < гг+г последовательно решаются р задач Коши гГУ ) ж + рб (г)о)1)(г) =У)(г), его«с)+11 562 гл. >х. экономичные схемы для многомегных злдлч Пусть иавестно иИ>). Из первого уравнения при и(цИ>) =иИ>) определяем ио>И>+,), которое затем используем в качестве начального' значения при 1=1> для вм)И), решаем второе уравнение (при (г 2) и т. д. После решения всех р задач найдем и(мИ>+() = иИ>+,); Это и есть решение системы уравнений (55)— (57) при Х Ф>+1. Если хб не зависят от 1 и у О, то обе задачи (53) †(54) и (55) †(57) эквивалентны.
Покажем, что задача (55) †(56) аппроксимирует аадачу (51) в суммарном смысле. Пусть МИ) — решение аадачи Коши (51), и,«,И), а=1, 2, ..., р; решение вадачи (55) — (56). Рассмотрим их разность г„'>И) о( )И) — иИ>+1) при а= 2, 3, ..., р, хы И>, Ф>+1), х(,)И) и,цИ) — ЕИ) при (ы Иь Ф>+,). Подставляя и(«>И) = хоцИ) + и'+', и'+' = ЕИ>+1), (1 2, ..., р, и и(цИ) х,И)+иИ) в (55), (56), получаем ~1(а) + ЕФа (г) (>(а) (1) = (г«а (Оэ 1> ~ ~~~ 1>+1е 1 ~ (г ~ ~р~ --х(1> ((;) = х( > (х>), у = 1, 2, ..., х1 (О) = О, г(а> ((>) = х(аты (Ь-1) у = О~ 1г..., а 21 3,..., р1 г ((>+1) = х (з) (11 +1) где сала(й)= — дСа(С)и>+1+у«(1), а= 2,3,...,р, Ь(1) = — хб((() и(х) — ~ + у (1), 1 ел(гу 1>+1) ° Отсюда видно, что в ()> = ))>1 (Ю)+...
+(г«з (С) = У (() « — .Ф1 (() и (() — ~~~~ А'а (1) и>+1 Учитывая, что и'+' = ЕИ) + 0(т) для любого а ° 2, ..., р, гы Иь 1>+1), получаем « «и ))а = Фа+ (г««1 ()>а = 0 (т)1 ()>а = Уа (() Хба(1) и(С) ба,1 где б,, — символ Кронекера. Таким образом, х з з ~л~ ( фа «« ~л~~~( Уа (1) ~л~~~;и(а (1) и (() «( = О а 1 а 1 а 1 и, следовательно, в () = Х (р = 0 (ч), $3, метод суммьгной ьашеоксиммцни 5(я т, е. система дифференциальных уравнений (55) — (58) аппрок- симирует задачу Коши (51) в суммарном смысле с первым по- ядком (при этом требуется существование и ограниченность в некоторой норме) лг (г)УиЯР).
Представляет интерес сравнение решения и(1,) задачи (55)— .(57) с решением п(Г,) исходной задачи. Приведем без доказатель- ства некоторые результаты. а) Пусть ~=0 и все ~ =О. Если постоянные. операторы Ф попарно перестановочны, лб,Фр ФгФ, а, () =1, 2,,, р, то при любых т имеет место равенство иЩ) иИ>) для всех 1 О, 1, ..., уе (58) где и — решение задачи (55) — (57), а и — решение задачи (51).
Если же л1 =,Ф (Ц зависят от г, то (58) имеет место при перестановочности операторов,эб (г') и Фа(1" ), сз чь(), взятых в разные моменты времени, г'чь Г", так что зэк(г')лув(г" ) =~в(Г"),Ф (Ф'), а, () 1, 2, ..., р, для любых (', г" ы (О, г,), В п. 4 были рассмотрены примеры, для которых имеет место равенство (58). Для каждого иа них выполнено условие переста- новочности юФ зФ, = Ф,зу,.
б) Пусть операторы Ф,(г) и Ф~(П не перестановочны. Тогда -справедлива оценка Ь(Г,) — иИ,)1=0(т), ) 1, 2, ..., (59) при дополнительном условии агладкостиэ 1,вФ,.М,и!1 (М, а, () =1, 2, ..., р. Возникает вопрос, нельзя ли повысить точность по т без су- щественногр усложнения составной задачи Коши) Составную за- дачу Коши (55) схематически запишем так: Ж, — ~-Ж,— ~...— ~-Ж. Рассмотрим симметриаованную составную задачу Коши, представляющую собой цепочку 2р задач Коши 0,5Ф,— 0,5.Ф,— ., — 0,5Ф,— 0,5Ф,— 0,5Ф„, ...
— 0,5лбо 'Что соответствует представлению оператора М' в виде суммы ж,, ~ 0,5~Ф„при 1(а(р, Ф= ХФа~ где Фа=! а-г ' ( 0,5.4ж о+1 при р(а(2р. Эта задача имеет второй порядок точности по т: Ь' — к'1 = 0(т') при некотором дополнительном требовании гладкости началь-. ного вектора и, вида 1 Фа.авиа~~(М„и, р = 1„2, ..., р, и условиях гладкости Ф' (г) но Ф.
504 гл. гх. экономичные схемы для многомвгных задач Итак, решение задачи (51) сводится к решению последовательности более простых задач (55) — (57). Для их решения можно использовать как аналитические, так и приближенные методы, в частности, метод конечных разностей. Есин,Ф попарно перестановочвы, то точность приближенного метода решения задачи (51) целиком зависит от того, с какой точностью мы решаем каждую иэ промежуточных задач (55) номера а. Приведенное выше изложение справедливо для случая однородных краевых условий.
Если краевые условия неоднородны, то точность составной задачи Коши (55) †(57) существенно зависит от способа задания краевых условий для и„,. Это же замечание относится и к разностным аналогам задачи (55) — (57). Разностная.аппроксимация каждой из задач (55), например, простейшей двухслойной схепой с весами приводит к аддитивной разностной схеме. Она является экономичной, если экономична каждая из промежуточных схем номера са.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
