А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 85
Текст из файла (страница 85)
, $5. Аддитивные схемы для, систем уравнений. Рассмотрим задачу (50) $2 для системы уравнений параболического типа. Прежде чем переходить к написанию аддитнвной схемы для решения задачи (50) $2, представим оператор Б в виде суммы двух треугольных операторов, Ь Ь-+ Ь+. Для этого првдетавимматрицыЙ ввиде суммы Ь„в=Й<„„+ + + Йв„» где Йва = ф ), Йаа = ~ив ) — треугольные матрицы с элементами Й =0 при т)з, Щ~=Й+~ =0,5Й"„, 5ЕО Гл.
1х. экОЕОмичные схемы для мнОГОмерных эАНАч Матрицы й<„, и й,+,в сопряжены друг другу, так как. Й „, = Ьа . Отсюда следует, что 5аа = ~аа + ~ва, ~аа = двв (йаа дх !' + Т д (Т дв Введем операторы а-1 а 5аи=йвви+ Х Ьааи= Х Ьвди, Баси=Баси пРи ))(а, д=1 6-1 Р ~аи = Ьааи+ с'„'( Ьааи = Х сваи, гади = гади при ~)а а=в+1 а а и представим Ь в виде Р Р + г г 5 и = Х чаи, А+и'= ~ Ьви. (88) а 1 а=1 Решение системы уравнений (50) т 2 или Р 2д~~т д) (Лап+ ган) — (Еа + Еа)~= О, в,1'Р (84) Р где 3 (Ев + Ев) = Е, сведем к последовательному решению сн- а 1 стемы 2р уравнений 1 дт д( = г'а т + Еа е ))+(а-1)((1Р) ~ ~т ~~ т)+а((1Р) э 2р д( (85) ( дт + + 5- д =~ат+Ев, И+1-а((1Р)<т~т)Е+1-( -и((1РМ р дг а=1,2, ..., р.
Аппроксимируем'Хв операторами Лв вида Т а Р Л;, = Х Л.а, Л' = Х Лв, 9-в а-а Ласи = Офйваи ) + (йааива)- 1' Очевидно, что Лв аппроксимирует Ьа со вторым порядком, КоТ эффициенты Йвд будем брать в один и тот же для всех а и () момент г ты~у, или в какой-либо другой момент Еа(в(гь 1)+,). в з. метод срммарноп ьппрокеизиции 511 Напишем теперь аддитивную схему т)+а!(рр) тз+( — )лаю г(,+а~(р > в= т'+ '""' — т"("' ')"'"' ~ + ~+с,((рр> (. +1)+«,)(рр> ~ы Лаву + (ра . ю - а 1, 2, ..., р, где а, 2р+ 1 — а, ()~ = 2р+ 1 — () и а( меняется от р+ 1 до 2р, при етом а меняетея от р до 1.
При х еи уьв задаютея обычные краевые условия: у'+")(ю) = )ь)+~~(~Р) при хану>"„а = 1, 2, ...,р, )+ат)(рр) у+а)((рр> а ( ) у =)а ' при хеиул, а,=р+1, °,2р. Начальное условие удовлетворяется точно: у(х,0) = и (х). (88) )+а/(рр) Э+а)((рр) Для определения У =У(а> и У =У(а) получаем си- етемй уравнений (Е тЛаа) у(а) = Ра1 (Е тЛаа) у(а)) = Ра)) а-1 Ра = т Х Айву(в) + тра + У(а-()е а ( Ра) а* ч Й Лару(е() + тра + У(а)-)).
а-а+1 Таккак Ф~~ — диагональная матрица рХр с клетками, яв- ляющимися нижними треугольными матрицами, то ив системы уравнений (Š— тЛаа) у(а> = Ра последовательно от а к р+1 методом прогонки находятся ком- поненты у(а>,а=1,2, ...,л,вектора уоо Двигаяеь от а к а+1 и от а к в+ 1, мы при помощи формул прогонки для трехточеч- ного уравнения последовательно определим векторы у( „а 1, 2, ..., р. Аналогично при переходе от а+1 к а и от а+1 к г из системы (Š— тЛ+)у( )=Р+ определяютея векторы у„+ц, ..., У(„р Последний вектор у(рр) и есть решение у'+' у(„) на слое г = Ф)+о Так как система дифференциальных уравнений (85) аппрок- симирувт уравнение (50) т 2 в суммарном смысле, а каждое иа 512 гл.
1х. экОнОмичные схемы для многомеРных злдлч уравнений (86) номера а аппроксимирует уравнение (85) того же номера в обычном смысле, то зддитивная схема (86) — (88) аппроксимирует исходную задачу с порядком т+! ЬР: ~ (1ГЯа + 1ГЯа) = О (т + ~ Ь ~ ). Рассмотрим пространство И сеточных вектор-функций, заданных на сетке е11 и равных нулю на границе "(1 сетки. Введем о в () Н скалярное произаедение я (у, ч) = ,'Я (у', Р'), (у*, й) = ~ у'(х) й (х) Ь,Ь,... ЬР.
з 1 яияа Рассмотрим операторы Р Р А = ~~~', А,„А+ = ~ Ая+, а-1 а 1 а Р я А у= — Е Л ВУ1 Аяу= — Х Л+ау. Уен(). а-1 ' в- Покажем, что операторы А и А+ сопряжены: (А"у, ч) = (у, А+ч) для любых у, ч ж Й, если матрица Й=(Йяз) симметрична, т. е. выполнено условие Йя~а = Йм1. В СаМОМ ДЕЛЕ, таК КаК Йая = Йяа1 тО р а (А у,ч) =0,5,'Е .Е [[Йавуб,ч- )+(Й ау а,ч,)1 = Р Р = 0зб Х Х ЦЙаву. ет„о) +(Йаауяа1Ч1я)~ "я = 0,5 Х й [(Йа У-,; )'+ (Йв,, )1 Р Р = 015 2г 2д [(Йяач ~ у ) + (Йяачяа1 уяя)~ яя (уьА ч) ° что и требовалось доказать.
Отсюда следует, что (А у, у) = (А+у, у) = 0,5(АУ, у) > 0,5с,(АУ, у), я где Ау = — $~~ у-, так что р р $ (Ау,у) = ~' ((,уз ~ ~~8 )' 1 1Уи1з $1, мнтод суммАРнои АппроксимАции 513 Таким образом, А и А+ — положительно определенные операр торы: А вбЕ,А")6Е,6=4с, ~ Еи'. а=с Чтобы доказать устойчивость схемы (86) — (88) с однородны- ми граничными условиямп, воспользуемся теоремой 3 из п. 11, согласно которой для задачи и зс = ~ Лида«з>+ скьаа зс .
= с.'с Лйаз(ас) + суйс а З са и«> — О, з(„,) = 0 при х~уь, з(х, 0) = О, *«и> З<и — 1> (ссс) *(и,-1) где к = ' ', а) =-, имеет место априСа '1 к Сас '1 орийя оценка р С "'>им * 2 «Сс )'""'""+«с>о" '" "6"'>~+ Си>'иана 1 Р + йу )с т п>ах ~ Щсу )> +"~«'Р>Е+1(су„)>иьс «1>с«1Р>1) ° рисса> и=1 Отсюда следует, что аддитнвная схема (86) — (88) сходится со скоростью 0(Ут.(-. >Ь)1) в сеточной норме «.1. Перейдем теперь и задаче (61) — (62) 3 2 для системы уравнений гиперболического типа ч + (Е~а + га) н + Еа~ = О,' ~ Еа ии Е (89) Р дс а=1 Решение етой системы сведем к последовательному от и к а+.1 решению '(с шагом т/р) более простых уравнений — — „= с'„и+«.~н+ Е, а =1,2, ...,р.
(90) Р дси Аппроксимируя каждое из зтпх уравнений в обычном смысле, получим аддитивную схему а р "кс чк1 Ус с м~~ Ладу«З>+ ~~~ Ладу«д>+ сра В 1 В а (91) а = 1, 2,..., р, (х, Г) ей «>А >«е>1, с\ у«и> = — )111Х~ си), Ха =- ~~э Еа а = 1в 2ю ' ° ° з Р у(х, 0) =н,(х), Ф где сра = Еа (хд Ги)1 га = Юс.с.«а!р-с,й>1> козффициенты йкр берутся в момент Г„,ур -, определяется одной из формул (67) или (68), ор =0,5 прп р = 2, о 1,5 при р 3. 3 3 А. А. Самарский 514 гл.
(х. экономичные схемы для многомерных 3АдАч Второе начальное условие аппроксимируем, полагая у"" = нз (з) + — ~ нз (я) + з (1ме+ 1(лз 9)), (з = 1,2,...,р — 1. ер Полученная аддитивная схема, очевидно, обладает суммарной аппроксимацией р (р= ~~'„', (р 0(т+) й('), Для определения вектора у'+' у(р> получаем систему уравнения (Ь' — ортзЛ,„,) у(а1 Ра, где г' выражается через векторы у(м, (1(и. Эта система решается последовательно от а к. С('((;1 и от з к а+1 пуи помощи обычных формул прогонки. Меняя ролями Ла и Ла, получим вторую схему а р У( (" = ~ Лаау(Ю+ ~~М~ Лаеу(З) + (ра.
(92) а, (а(а Е а В этом случае счет идет от (з,'+,1 к а и от з к з+ 1. Чередование схем (9И и (92) дает третью схему. Пользуясь энергетическим методом, по аналогии с предыду-. щим пунктом, можно получить априорную оценку для погрешности з р-п, использующую свойство суммарной аппроксимации. Из этой оценки следует сходимость аддитивной схемы. Глава Х МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТО'1НЫХ УРАВНЕНИИ При помощи метода ковечиых раавостей краевые задачи для ураввеиия Пуассопа ои,= -г' п эллиптических ураэиеивй общего вида в гл. 1т былв сводевы к системе ливейвых алгебраических уравнений. Порядок системы раасн числу впутреввпх узлов сетки и возрастает с умевьшеиием шага сепси. В этой главе рассматриваются эковомичвые прлмые и итерациовиые методы решекпя развостпых эллиптических уравиевий.
В 3 т излагаются прямме экономичные методы, пригодные для решения краевых задач для уравнения Пуассона з прямоугольнике. Это — метод дскомпоэицви и метод быстрого вреобрааозаипв Фурье (метод ~разделения перемепиых). В следующих параграфах полагается общая теория итерационеых методов для решеввя операторного уравиеппя первого рода Аи Ь гда А— самосопршкеввый положительиый оператор е коиечвомервом езклпдовом пространстве, и дается ее првмовеипе к эллпптическим сеточным уразвевивы.
Эта теория является частью общей теории устойчивости разпостлмх схем. Новым вопросом, возникающим здесь, является выбор итерацпопвых параметров и оператора В. В $2 указан оптпмалькый вабор чебышеэских параметров, при котором имеет место вычпслптельвая устойчивость двухслойпой итерациопиой схемы. В $3 рассматривается уяяеерсальвый попеременно-троугольиый метод и его модификации для решения эллиптическвх ураввеввй о перемевлымв коэффицпептамв а случае областв произвольной формы. В следующих параграфах изучаются методы перемевпых направлений и вторациолпые методы варшщиоивого типа (метод скорейшего спуска, метод миввмальвых повязок и др.).
й т. Прямые методы т. Прямые и итерационные методы. В результате разностной аппроксимации краевых задач для эллппткческпх уравнений мы получили в гл. 1Ч системы линейных алгебраических уравнений (разиостных пли сеточных уравнений). Матрица А этой системы имеет большой порядок, равный числу )Ч узлов сетки. Например, для сетки с шагом Ь по кап<дому из переменных х„х„ ., пэ (Ь1 = Ьз ... Ьэ = Ь) число узлов )Ч = О ( где р— /11 ~ь !' число измерений. В случае двух и трех пзыеренпй число уравие33е 516 ГЛ. Х.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕН11Н нпй может быть большим, У = 10' — 10' (например, прп Ь 1/100). Кроме того, матрица системы имеет много нулевых элементов, сиеппфпческую (ленточную) структуру п, наконец, является плохо обусловленной матрпцей, т. е. отношение наибольшего собственного значения матрицы к ее наименьшему собственному значению очень велико (- 10' — 10') и является величиной 0(Ь ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
