А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Замечание. В конце и. И бмл указав обычный прием оценив погрмпиости «а = Г» — и» аидятиэиой схемм. Укажем крутой способ оцавии а». Пусть о — решалие «яоиаяьво-адвоиервой» задачи (53) — (54) вяи (55) — (57). Иа иарааеистаа треугольника !!»»1 (!ул — я»1 < 1у» — ол!! + + 1»л — и»1 видно, что оценку погрев«кости»л можно свосп«к оцеииа близости га и и», ил и ал. При оцояио 1ил и»!! потребуется информация о гладкости я, при оценке Ь» — о»1-о глапяости и. Такой авособ иссяем». аавия аддитваиой схемы, оч«авдво, более сяожов, чем тот, кои»рмй вояольауегся эдось, поскольку требуется дояояивтольяоа изучение ааойсаа рошавия о состаавой задачи Коши (53) — (54) ияи (55) — (57).
13. Методы переменных направлений как адднтиввые схемы. Рассмотрим метод переменных направлений (продольно-поперечную схему) из 3 1 = 0,5 (Л,у~+ 5 + Л»у~) + 0,5«р~, 1 ры»+~я (60) = 0,5 (Л,у»+ и + Л,уйы) + 0,5~р). Нетрудно заметить, что эта система уравнений эквивалентна ЛОС следующего вида: )+Ча к) »+Чз )+|~а г —" 0 5Л У) + 0 5,Р» г — г 0 5Л»У)~'~* и ' — и ' О 5Л у)+и, и — и ' О 5Л«у)+а+ 0 Ьр» Введенные здесь промежуточные значения у'+и', у'+ак легко исключаются.
Непосредственная проверка поаволяет убедиться в том, что схема (61) обладает суммарной аппроксимацией »р, +»р»+»р, + «р« = 0(т»+ ! й Р). $ г. метОд суммАРнОЙ фппгоксимации 505 Рассмотрим в качестве второго примера схему переменных направлений, часто называемую схемой Дугааеа — Рэкфорда (Л у=у„-„..): = Л,у~+ ь+Л,у~, " " = Л,(у~+' — у~). (62) Вычисляя невязки (и и,', и = иы+') И+И и — а ' т и — и ~р, = Л1 — + Л,и — — фг = Лг (и — и) —— 2 2т 2т видим, что ф, = О()), ф, = 0(1), а $ = ф + ф' О(! Ьр+ т), т.
е. схема (62) обладает суммарной аппроксимацией 0(т+ (Ь1г). Если исключить промежуточное значение у'+»*, то мы получим факторизованную схему, содержащую у' и у'+' и аппроксимирующую уравнение теплопроводности с 0(т+!ЬР) в обычном смысле, однако факторизованиая схема устойчива лишь при условии перестановочности Л, и Лм а для аддитивной схемы такого ограничения нет. , $4. ЛОС для многомерного гиперболичеейого уравнения второго порядка. Метод суммарной аппроксимации позволяет получить абсолютно устойчивые сходящиеся локально-одномерные схемы для уравнений гиперболического 'типа.
Рассмотрйм уравнение Р— з-= ~ г и+~(х,г), Таи=э— (Ьа(х,г)~— ), (63) Ьа(Х~ г) ~)С1) 0~ С1 = Сонат~ где х (х„..., хэ) — точка р-мерного пространства с координатами х„..., хэ. Пусть Π— проиаволъная р-мерная область с границей Г, 6=0+Г, (~, = б Х (О < г < Т), О, = О Х (О < У < Т). Требуется найти непрерывное в цилиндре (>т решеняе уравнения (63), удовлетворяющее 'краевому условию и и(х, й) при хшГ, 0<г<Т, (64) и начальным условиям и(х,О) = иэ(х), — "' = и (х) при хан 0.
(65) Как обычно, предполагается, что зта задача имеет единственное решение и=и(х, г), обладающее всеми требуемыми по ходу изложения проиавсдными. Относительно 0 остаются в силе те же конструктивные предположения, что и в случае параболиче- 506 Гл, >х. экОнОмичные схемы для многомерных злдач ского уравнения (ем. и.
5). На отрезке О < С< Т построим равномерную сетку в>, = (Сс )т, ) О, 1, ...) с шагом т. В <с выбирается такая же сетка ем что и в и. 5. Бели 6 — р-мерный параллелепипед, то для' численного решения задачи (63) — (85) можно построить экономичную факторизованную схему, имеющую точность 0(т'+ !/>Р). 'Хакан схема была исследована в $ 2.
При построении локально-одномерной схемы поступаем.по аналогии е и. 5: аппрокеимирувм е шагом с/р последовательно операторы Усаи иа — у (чаи+ Я, а = 1, 2,..., р, (66) 1 да р гдв /и удовлетворяют условию ~~'.~ /а = /. а 1 Для аппроксимации производной д*и/ду е шагом т/р пополь- зуются выражения ы<а) — 2ы<а Н + ы<а> 1 д и 11+<а-1)/С "<а си тс 4 дс' ' (67) а=1,2 при р= 2, где ис+«сс и и>-1+и!С и .
и — и)-1 и — и) <и! ° Са! ъ <й ° <1! ы<а> ы<а-1) ы<а-1) + ы<а) 2 д ы <а<а тс 9 дс ' (68) а=1,2,3 при р=3, где и< н иоз и" "+"*, и< м и<н и' *". Для аппроксимацни Ь,й+/ на пространственной сетке в>у воспользуемся однородным разностным оператором второго по- рядка аппроксимации Л,у+ ср,. Козффнциент оператора Л и пра- вая часть <г берутся в момент У са = О!5 (сс+аср+ сс-с+аср) = сс+аср-.п,ь = с)+ (а/р — 015)ть так что Ли = Ла (Са), <Ра = <Ра (л! Са) Напишем теперь локально-одномерные схемы для гиперболи- ческих уравнений: ус - = орЛа (у<а> + у<а>)+ усср<да! <с = 11 ...1 р! р ='2! 31 (69) где ~ 1/, при р = 2, о = ( 1/з при р = 3, а у;; дается формулой (67) при р 2 и формулой (88) при р 3. При р=2 получаем трехслойную аддитивную схему, при 3 о.
мвтод суммАРнОЙ АппРОксимАции 507 р=З вЂ” четырехслойную схему. В этом отличие от параболических уравнений, для которых вид локально-одномеркых схем не зависит от числа измерений р. Уравнение (69) можно записать в виде ( 2у<а-ц + 2оот~(ра при р=2, (70) Первое из начальных условий и(х, О) и,(х) аппроксимируется точно: у(х, О) =и.(х).
(72) Для вычисления промежуточных значений учо'=у(х, т/2) при р ° 2 и ун у(х, т/3), ун =у(х, 2т/3) при р=З применим следующие уравнения: (Š— — ', Л,) у*'* =Р„ (73) Р, = ио+ — ио+ — Л,ио+ то(1о — — (Ли+ 1)1 )о-е' если р= 2; (Š— Ло)У ~ =Ро (Š— 4 Ло) (УЧ +ио) = 2У ~ +Ро ио+ 3 ио+ т Лоно+ т (3 1' с (Ли+1)), Ро=т'(3 12 — е (ли+1)),, 2 4 (74) если р=З Остановимся для случая двух более подробно на локально-одномерной схеме измерении (р = 2): ио(х),(Е 4 Ло)у '=Ро при С=0,5т, (75) о у(х,0) = Р' '' — 2У'+У '' 4 Л ( о+ )-У.)+ ~ ) т +Р =.
— Л (у'+~+у~)+ — 4, 1= 4,2,... (76) Определение усе сводится к решению трехточечного уравнения (Š— сот'Л )у Р вдоль отрезков, параллельных оси Ох„что можно сделать методом прогонки, пользуясь краевым условием у(а) = )О(Хю О)+а/р) Прн ХЕН уо (7$) 508 гл. Зз. Зкономичеые схемы дпя лгногомегньтх злдлч Краевые условия имеют вид уу+ Л = )> (х б+Ч) при х ееулл у~+' = )>(х, 3»+>) при хее уз. Функция у'+и находится из уравнения где Ф( — известная правая часть, и краевыми условиями (77), а у'+' — из уравнения уз+' — + Л,у'+' = Ф>+", 1 *- - .= — Л.
(г<.>+ з<.>) + у. >а>а (,8 — +л,) *"' = у, г(х,О)=0, хане>л, г<а>=г+ =0 >+а/3 при т)т, (78) при з = 0,5т, при хееу~л, а= л,2, где >фа = а Ла(па+па) — и- + Оэ5>уа (78) — погрешность аппроксимации для одного уравнения (66) номера а, $, 2. Погрешность аппроксимации для локально-одномерной схемы (75) — (77) определяется как сумма (80) Покажем, что схема (76) аппроксимирует задачу (63) — (65) в суммарном смысле, >)=0(т+!Ь>*), В самом деле, учитывая, что 0 5Ла (Иа + йа) = (Ьаи)д+Ш ~>ГЛ + О ()4) Прн Х ЕЕ Е>Л,а 0,5Ла(И„+ йа) = (Ьаи) + '> + О ()>а) Прн Х я ЮЛ а, 1 / д й1>+>~ л»л >+(а-л>!г ИФ.-= 4 ~~1 +0(т'), р.=1. — +0("), где Фл~+ л известна, с краевыми условнямн (77), Каждое из уравнений решается методом одномерной прогонки.
Рассмотрим погрешность г, > г>+т" у'+""- и(х, 4>+а>л) схемы (75) — (77), где и — решение задачи (63) — (65), у — решение задачи (75) — (?7). Подставляя у, > г>а>+ и>+"' в уравнение (76), получим з з. мктод стммавнои аппгоксимации 509 о Ф получаем»)»в = »)»в+»га где ф ( азу» 1ь(~~ гут Фа = 0,5 ~Ьаи — Ою5 в + 1а), а = $, 2, ~»„= 0 (Ь,„+ ч~) при х ~ в»ь в, »)»в = 0 (Ьа + т~) при х ви в»а,а Отсюда следует 4~4, +»ф Ь = 0,5 (й,и — 0,5й+ ~т)'+ 0,5 (Ь,и — 0,5и + ~,)»+»' = = 0,5 ((Ьд+ Ьз) и — й+ ~, + ~,) + 0»бт»Рз( ' Первое слагаемое, в силу уравнения (63), равно нулю: (Б»+ Е,)и — й+ ) = О, ) =)»+ ~ь Поэтому 4+Я=о, (81) т. е.
схема (75) — (77) обладает суммарной аппроксимацией. Рассмотрим теперь сумму о о»г )», + 2ф»+»)»з = = 0,5 Р,,и — й+ Уз) *+ (г,и — и+ )в) 3+И'»и — и+А) = = ((Ад+ Ь) и — и+ У»+ Уз)'+ (1Ъ+ ' — 2Фа+ Фа ')=ч'(»Рз%%„ т. е. ~, ( 2~, ( ~, = т* Я,).„= 0(тз). (82) Из априорных оценок, на.выводе которых мы не 'останавливаемся, следует, что ЛОС»(75) — (77) сходится в сеточной норме »т'з со скоростью 0(т+!Ь)»), вели решение и и(х, г) имеет непрерывные в (~г производные по х до четвертого порядка включительно и производныв 64и(д4 удовлетворяют условию Липшица по 1; правая часть ) должна быть дважды дифференцирувмой по г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
