А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Полагая затем 6=0, найдем с,=)1+2)1, так как Р Р ~ =-Р ~~)$1'+()1+Р) ~ И" ( а,н 1 ~н2~ ь2-н'нн[2 Ит.н 2 Ф1= Р Р = Рд~д~!наа) + ()н+ Р) ~~~~ ~~а~~~йа) ~ = ()н+ 2Р) ~д~~~ (нн»( ° а 1 н=1 а 1 476 гл. >х. экономичнык схкмы для многомю*ных задач Таким образом, с, = )>, с1-1+2)1. В качестве регуляркаатора В а выберем тот же, оператор, что и ранее: В = ~ Ва, В у = а-1 = — оу»ааа Исходная схема у;, + т'Ву;, = Лу + >р устойчива, если с (>+з) о»» ', е»» сопз$ О. а=1 Й (Е+ ™а) У>1»» ЛУ+ >р прн хе= о)л )сне)»1 а 1 У=)1 при хенУл, гене)л, у (х, 0) = н,(х), у> (х, О) = пз(х) при х ~ о>л, где и»(х) = н»+0,51Ки,+1(х, 0)).
Можно показать, что эта схема абсолютно устойчива и имеет второй порядок аппроксимации, $=0(т»+)ЬР) и и 0(тл). Отсюда следует ее сходииость со скоростью 0(1'+ (Ч'). Отыскание вектор-функции у'+' сводится к последовательному от а к а+ 1 решению методом прогонки трехточечных уравнений вида (Е+ т*В )ъ г для каждой из компонент вектора чг.
Воспользуемся, например, следующим алгоритмом: э (Е + ™1) мп) = Р~ г = П (Е + т Ва) у> + т (Лу + 1р)э а 1 (Е+ т Ва) та<а> = )а<а-1>1 11= 2 ° ° °,Р У>+ = у>+ т)з<г), Для вектор-функций тт>»„а $, 2, ..., р — 1, ставятся при х» — О, ), следующие краевые условия: )тп) =(Е+ тзВ1)... (Е+ тзВэ) )л„х> = 0,31, ( ) = П (Е + т'Вв) )л» С=а+1 ха =0,)а. Так как операторы Р, = Е+ т*В, имеют диагональную матрицу коэффициентов с диагональными клетками, то компоненты вектора тт)»„а = $, 2, ..., р, определяются независимо. т Заменяя Е+ т'В= Е+11~ В факторизованным оператором »=1 Р = П (Е + т'Ва), получим экономичную факторнзованную схему .
э 3. ИетОД суммАРнОЙ АппроксимАции 477 $3. Метод суммарной аппроксимации 1. Постановка задачи. Рассмотренная в $1 продольно-поперечная схема (метод переменных направлений) ке допускает непосредственного обобщения на случай трех и большего числа измерений и для параболических уравнений общего вида. Что касается экономичных факториэованных схем из $2, то они применимы в предположении, что область 6 изменения аргумента х (х„х„...
..., хр) есть параллелепипед. Необходимо указать общий метод получения экономичных схем, пригодных для уравнений с переменными и даже раэрывными коэффициентами, для кваэилинейных нестационарных уравнений в случае прои»вольной области любого числа измерений, Таким методом является метод суммарной аппроксимации, которому и посвящен данный параграф. Основное наложение ыы проведем для уравнения теплопроводности: —" = Ли+((х, с), х= (х„х, ...,хр)э=6, 1)0 д ди а=с в проиэвольной р-мерной области 6 с границей Г, если заданы и1г=)с(х, Г), 1>0, и(х, О) п,(х), хыб.
(2) Кваэилинейное уравнение теплопроводности соответствует случаю )с,=)с (х, й и) и с с(х, г, и). Конечно, термин »прои»вольная область» нельэя понимать буквально. Граница Г области должна быть, достаточно гладкой, чтобы обеспечить существование гладкого решения и = и(х, 1) исходной эадачи (1) — (2). При оценке погрешности аппроксимации и точности раэностных схем мы всегда предполагаем, что решение исходной задачи для дифференциального уравнения существует и имеет нужные по ходу изложения производные.
Все экономичные методы имеют одну общую алгоритмическую идею: процесс отыскания приближенного решения многомерной эадачи раэбивается на несколько этапов, на каждом иэ которых решается простая эадача. Так, например, для уравнений второго порядка параболического или гиперболического типа такой простой, «первичной», алгебраической задачей является трехточечная разностная эадача (разностное уравнение второго порядка), которая решается методом прогонки. Эта трехточечная раэностиая эадача, как правило, может быть трактована как разностная аппроксимация одномерного (по х ) дифференциального уравнения. Таким обраэом, экономичный алгоритм решения сложных задач есть цепочка простых алгоритмов. Отсюда становятся понятными применяемые различными авторами термины для эко- 47я Гл.
1х. экОнОмичные схемы цля мнОГОмеРных зАдАч номичных методов решения многомерных задач — метод переменных направлений (на каждом этапе решается одномерная задача по фиксированному направлению х„), метод дробных шагов (любой сложный вычислительный процесс ведется поэтапно с использованием промежуточных (дробных) значений), метод расщепления (сведение более сложной к более простым задачам, «расщепление» сложной задачи на простые) и др. Все эти термины, отражая одну из сторон экономичных методов, имеют право на существование.
Однако мы в основу классификации разностных методов положим здесь не способ получения, не способ решения разностных уравнений, а понятие самой разностной схемы. 2. Суммарная аппроксимация. Фундаментальным свойством разностной схемы является свойство аппроксимации на решении исходного дифференциального уравнения. Отказ от классического понятия аппроксимации и замена его болев слабым условием'суммарной аппроксимации существенно расширяет класс решаемых задач и приводит к аддитиеным схемам. Эти новые схемы (общее определение которых будет дано в и.
10) имеют две основные черты: 1) переход со слоя у на слой ) + 1 осуществляется при помощи последовательности обычных (двухслойных, трехслойных и т. д.) схем; 2) погрешность аппроксимации аддитивной схемы определяется как сумма невязок для всех промежуточных схем (еддитиеная схема обладает суммарной аппроксимацией). При этом каждая из промежуточных схем цепочки может не аппроксимировать исходную задачу, аппроксимация достигается за счет суммирования всЕх нввязок. Мы уже встречались в гл.
П с необходимостью расширения понятия аппроксимации — раэностная схема не имеет на сетке в»1 локальной аппроксимации (в норме С) требуемого порядка, однако имеет такой порядок аппроксимации в негативной норме, т. е. в некотором суммарном смысле. Аналогично может оказаться, что схема на сетке о», по аргументу е не имеет локальной аппроксимации и аппроксимация достигается при суммировании невязки по нескольким временнйм слоям. Проиллюстрируем понятие суммарной аппроксимации на простых примерах. Пример 1. Пусть дана задача Коши — +аи= О, ()О, и(0) = и,. Рассмотрим раэностную схему 1+1/» 1' «1+1 «»1»1/» " + а»у = О» '" У + а„у1«1н = О» (3) т 1 = О, 1, 2,...„у» = и„а1+ а, = е. $3. ИВЮО)а суммАРнои АйшРоксимАции 479 Она представляет собой цепочку из двух явных схем.
Вычислим невязки 2))! и ф, для каждого иа уравнений. Полагая у' = 21+ и', у)+"* г'+'" — й й = 0,5(и'+ и'+'), получим ~+1/2 2 2 З 2 — 2 2+1 2+1/2 — '+, = — 2). — ',* -)- ~""н- — Ф, 2+1!2 «2+1 — «2 «2+1 — иу и)+ «1+1 где 2Р1 = 2 + а,и', 2))2 =. + а; — —. Подставим 2т 21 сюда и'+' = и'+си + 0,5тй2+'~2+ тЧ86'2 ну+ 0(т') и' и+"' — 05тй'+ум+ ту/86'+)и+0(т'), и'+"' и(0 + 0,5т), й аил'ау, й' = Уи!2122; тогда ) ~+1)2 4 2()1 = ( 2 и + аги) — — а,ти + 0 (тг), 2Р2 = (- и+ аги) + 0 (т'). Отсюда видно, что Лр! =.0(1), фу =0(1), )ру+Ф2=0(т), т.
е. ни одна из промежуточных схем не обладает аппроксимацией, а вх совокупность имеет суммарную аппроксимацию 0(т). П р и м е р 2. Рассмотрим уравнение теплопроводности — — 0(х(1, и(О, 1) = и,(1), и(1, 1) = иг(1). ОбоаначимЕи д'иlдх'. Введем сетку е)л (х! ° (Ь,1 О, 1,... ..., У, ЬЛ) =1) и оператор Ли = и 1и.Будем пользоваться на нечетных .слоях явной схемой, а на четных слоях — неявной схемой: „23+1,2! М+2 Р2З+1 =2)! — )Лу«, 2 Лу' ', ! 0.),2,..., (4) где с > 0 — произвольный параметр.
Вычислим невязки «6+1 „22 игу+2 — игу+1 — 2)! — )ЛР, 2,-" — 2 Л ' т т Подставив сюда и«)+' = и "+' + тй "+' + 0,5 ту и"+' + 0(т'), им иу)+! — тй"+'+ 0 5т'й"+'+ 0(т') Ли = Еи+ 0(Ь'), Еи = й, 480 Гл. 1х. экОнОмичные схемы для многомегных задач получаем ~(1% = % +% Ф~ = $з + 1>з 'Фа = О (та+ й~), и = 1, 2, ф, =((2а — 1) и+ (1,5 — 2и) ти)~'+', ~~а — — ( — (2о — 1) и+ (0,5 — 2о) ти) "+'. Отсюда видно, что ф 0(1), ф, = 0(1) при о чь 0,5, однако ф = ф+ $, 0((Π— 0,5)т+ й*+ т') при любом а. Нетрудно ааметить, что можно исключить у"+', сложив урав- нения (4).
Тогда мы получим схему с весами с шагом 2т: = Л (ау"+'+ (1 — а) у~'), 1 =- О. 1,... зт Для удобства записи лучше ввести промежуточное значение у' 1+113 и уменьшить шаг т вдвое: Переход от слоя у к слою 1+ 1 происходит в два этапа: сначала по явной, а затем по неявной схеме. Конечно, приведенный пример не очень интересен сам по себе, так как здесь исключение промежуточного значения у легко достигается и приводит к хорошо известной схеме с весами, которая аппроксимирует дифференциальное уравнение в обычном смысле.
Он носит лишь иллюстративный характер. В общем случае, исключение промежуточных значений и сведение к схеме, содержащей значения у лишь на целых шагах, не всегда возможно и нецелесообразно при теоретических исследованиях. 3. Сведение многомерной задачи к цепочке одномерных задач. Пусть дано многомерное уравнение Ьи+ 1(х 1) 0(йс (с и(х О) = ис(т) х = (х1 хз .. хр) (5) где Ь вЂ” линейный дифференциальный оператор, действующий на и(х, 8) как функцию х, х=(х„х„..., х„) — точка р-мерной области 6 с границей Г, на которой заданы некоторые граничные условия. Для построения экономичных методов основную роль играет возможность представления оператора Ь в виде суммы операторов более простой структуры: Так, например, если Ьи = Ьи, Г„и = д'иlдх', то 5, есть оператор второй производной по аргументу х (одномерный оператор).
з з. мвтод сгммавнои аппвоканмации г81 Поставим задаче (5) в соответствие цепочку зодномерныхэ уравнений (первую цепочку). Уравнение (5) или Уи = — — Ьи — ~ (х, д) = 0 ди перепишем в виде Р Х-- $ ди Уаи = О, Уаи = д '(«аи — «а« р д< <« где )' (х, г), а=.1, 2, ..., р,— произвольные функции (обладающие той же гладкостью, что и )<х, $)), удовлетворяющие условию нормировки А +6+"-+Ь-1 На отрезке 0<1(г«введем равномерную сетку с>, (<> ут, ) =О, 1, ..., )«) с шагом т. Каждый интервал разобьем на р.частей, введя точки г>+~„Ф>+ <зт/р, а 1, 2, ..., р — 1, и обозначая Ь,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
