А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 82
Текст из файла (страница 82)
В этих узлах, в силу однородного краевого условия ю ° О, имеем 1 г. мктод стммавнон ьппвоксимации 493 виде (28) о/+а/р 1+а/Р > 1 >+а/Р > р/+а/Р ь' а "' +' + а' ь 'а ' + а+, а а- а о>ьа/>' 0 при хее 1л, а, о(х, 0) О, где > + а/ г ~ + < а ~ > /г ра =,' +а В этом случае ИР) = Ут и теорема 3 иэ $2 гл. 1Ч дает 1 р/+а/г 1 Р>+.~ 1с(~ — "0 ~,=т1Р." Ч~с(1 "<а-'>/ 1с+тМ" 1с. (36) Суммируем (36) сначала по а 1, 2,..., р: У ~о/+')с<Мс+т Х К'"'г)с а 1 а эатемпо) 0,1,2,...,)> — 1: 'е 1 3сЧс( Х т Х Ь'а ~~1с (37) В силу проиэвольности ), иэ (34), (35) и (37) следует оценка (30) для решения эадачи (21) †(23). 8. Равномериаи саодимоеть ЛОС. Дока>кем следуюшую теорему.
Теорема 2. Пусть еадача (15) имеет единственное непрерывное в Ч решение и и(х, х) и существуют непрерывные в 9 проивводные е а дга вга ег/ в> вгаег$Э д< егг ' вег ' Тогда схема (21)-(23) равномерно сходится со скоростью 0(У+ + т) (имеет первый порядок точности по т и второй порядок'точности по Ы, так что 1у> — ийс~М()>'+ т), ) =1,2;г.., где )> = шах )>а, М = сопеС) 0 не гависит от т и, Ь . 1аааг Доказательство. Введем сначала обоэначение х< > ° х'+юг и представим решение х<,> — — у„> — и>< /г эадачи (25) в виде суммы х„, оно+>)<а>, где >)<а> определяется условиями ч<,> — ч< н = >уа при х <ах <еь+ уь,а, <г = 1, 2, ...> р> >)(х,О) =О.. (38) 494 ГЛ. »Х.
ЭКОНОМИЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ Отсюда находим Ч'+' = т)оч Ч'+ т(»р, +»р, +... +»р,) Ч' 0 для 1 О, 1, ..., )„так как Чо О. Для Ч«о имеем Ч< > о о о о о т(»э, +»)ч+...+ еь) = -т(»э +, +...+ Ф,). Функция о<„оп- ределяется условиями "(а] "(и-и = Лао«о+»ра, хя»гл, а = 1» 2,...,.р, О»«О = Ч(а) ПРИ Х~УАЛО О(Х»0) = Ог (39) где»)а = фа+ ЛОЧ«> ° Воспольэуемся теперь теоремой 1 из п.
7 для оценки реше- ния задачи (39). Так как и = 0 при г = О, то ~ оз)а( шах (йг~ 9г +а~э~ -(- ~Чр+а!Р ~. ) + г<р+аФ<з р +,Х т ~ $»р~ ~~Р $3 ° (40) р г а Если существуют непрерывные в замкнутой области Д, прог э о о иэводные д»иlдх„дхе, а Ф (), то ЛаЧю»= — ХЛа(»га+г+ ° ° + 'Ь) = = 0(т) во всех Узлах хы в», так как Чсе опРеделЯетсЯ из чьуав- нения (38) всюду в ю»+7», . С другой стороны, имеем $а =0(й„+т) в регулярных узлах сетки юл, »)а= 0(1) в нерегу- лярных узлах. Поэтому йети»у)го»=0(йг+т), Я)го =0(йг+ т) и оценка (40) дает 1г 1о 1о~эе ~ »»г (й + т), так как Ч'=0 для всех 1 О, 1,..., 1».
Отметим, что из устойчивости по краевым условиям и по ° ог правой части следует, что га и»„можно выбирать произвольно на интервале (гь гм,) (см. п. 5), не нарушая при этом порядка точности. 9. ЛОС для уравнений с переменными коэффициентами. Ука- жем, как применяется локально-одномерная схема для уравне- ний с переменными коэффициентами. При этом достаточно ука- зать лишь изменения в формулах для операторов Ьо и Л , считая, что рассматривается задача (15). Локально-одномерная схема всегда записывается в виде (21) †(23).
1) Линейное уравнение параболического типа. Пусть в вада- че (15) Ьаи= е (йа(х г) е ), 0(ет~(йа~(ег. В задаче (21) — (23) меняется лишь формула для Л: Лау«Ч = (аа(х» г) у .) ъ 0 (е» (~ аа(~ар г = гйе»у з з, мвтод стим.а нон ьпш оксимации 495 Козффициент а выбирается так; чтобы Л имел второй порядок аппроксимации на регулярном шаблоне, Лаи Ь<»и = 0 (й<»)» например, можно взять аа йа (х( о,оа> Й)ь х(-о,оо> = (х<» ° ° »ха-т»ха — 0»5йа» ха+<» ...»хр).
Теоремы 1 и 2 сохраняют силу. 2) Кеагилинейное уравнение параболического типа. Пусть в задаче (15) да<» й,.и = — ((й„(х, Ф,и) — (» 0(е,(й໠— ":кео>0. Вовможны два способа аппроксимации оператора Ь: а) Л„у<„> = (аа(хЯ 0»5(у(о>+ у(( '"))) у- ), г = /)+»и. Для определения у<ю получается нелинейное уравнение, кото- рое решается тем нли иным итерационным методом; каждая ите- рация находится при помощи прогонки. б), Л у( =( (х,(,0,5(у( +у((2,>)))у-) . Для у<,> получаем линейные уравнения, решаемые методом про- -гонки.
Что касается устойчивости и сходимости, то при дополни- тельных предположениях относительно ограниченности производ- ных дой /дио, д'й /дхади» дгйо/дх<» имеет место равномерная схо- димость со скоростью 0(т+ й»). Локально-одномерные схемы можно применять и в случае третьей краевой задачи. Если, например, область 0 есть прямо- угольник со сторонами 1, и 1, (или ступенчатая область), то 'уравнения (21) пишутся не только во внутренних узлах сетки, но и на соответствующих границах.
Так, например, если на стороне х,=О. прямоугольника (0«х «1, а=1, 2) аадано краевое условие ди/дх, = о<< ~и+ т~< >, то при а 1 уравнение (21) пишется и прн х, О, причем в узле х, 0 полагаем (-> (-> у«>„— с, у«> л,»„,- — -,-, -—, »;= —, 'Полученная локально-одномерная схема сходится равномерно со скоростью 0(т+ )й)»).
10. Адднтивные схемы. Общие формулировки. Перейдем те'- перь к общим формулировкам понятий аддитивной схемы и суммарной аппроксимации. В гл. Ч1 было введено понятие и-слойной разностной схемы как разностного (по переменному 1) 49б Гл. 1х. Зкономичные схемы для мнОГОмеРных ЗАДАЧ уравнения (и — 1)-го порядка е операторными коэффициентами; а-1 Ь СВ (Ч) у (Ч+1 К = у(И) (и 1)т<1) яа1 „ где Св — линейные операторы, заданные на линейном нормированном пространстве Нь Для определения решения надо задать и-1 начальных векторов у(0) =у„-у(т) * у„..., уНн — 2)т) Уа-в. Назовем и-елейной составной схемой с периодом т (порядка т) систему разностных уравнений с операторными коэффициен-' тами 43$ а-1 В Сае (Г1) у (11 + 1ат) = ~А~~~ Рае ($1) у ((1 — 1ат) + ~а (Ф)) ~ (41) 1 Ф в где и 1, 2, ..., т, (и — 1)т<Ц~ГМ с заданными начальными значениями у(йт), й 6, 1, ..., и — 2 (число слоев определяется числом начальных условий), причем 11 принимает значения, равные й (и — 1)т+йтт, й О, 1, 2, ...- Чтобы найти у(11+ тс) ун по известным у1 1, б О, 1, ...
..., и — 2, где 11 (т+ и — 1)т,'надо решить систему уравнений с операторной матрицей С (С 1) размером т Х т. При т — 1 составная схема (41) переходит в написанную выше обычную и-слойную схему. При и = 2 получаем двухслойную составную схему с периодом т: с'.у Сае(11) у(И) + Рат) = Расу (1)) + Уа(~1)1 1 ~а (т, у(0) = ув. З 1 (42) Если для составной схемы (41) погрешность аппроксимации 1У определяетея как сумма погрешностей аппроксимации 1р, отдельных уравнений, 1У = 1У1+... + 1У., то составная схема (41) называетея аддитнвной схемой, Заменяя т на тЛв, перепишем (42) в более удобной для дальнейшего изложения форме: Р СазЯу(г)+ ртlт) = Разу(г))+У (Ф)), а= 1,2, ...,т. (42') 1 Двухслойную аддитизную схему всегда можно записать в сле- дующем каноническом виде: , ю+а/а ' 3+(а-1на з в э х мвтод стммевнои аппэоксимации 497 где В, А 1 — некоторые линейные операторы.
Нетрудно убедиться в том, что все экономичные методы, ааписываемые в этом виде, обладают суммарной аппроксимацией Пусть и(1) 1в Н, — абстрактная функция Фш (О, 11) со значениями в некотором нормированном пространстве Н„пе лееиев ш Не — проекция и на Н», л — "л +в!~ . е>+а/е,.>+(а-1>/в "' >Ге (КЬ) = 1Ва — В А,Е АаВКЬ в е — невязка для уравнения (43) номера а, п1+"" ц(1>+та/>и). Рассмотрим сумму ' $ (иь) = ~ >р (ие) Я 1 Аддитнвная схема (42) обладает суммарной аппроксимацией на функции и(1) е1 Н„если шах ~ф(и~))< >-1-0 при 1-1.0, Ь-~О, ЕЕ 1Е>е (ее> Гдэ 1' '111Ь вЂ” НЕКОтОрая НОрМа В Н,.
ПО аваЛОГИИ С $2 будок ' 11Ь> говорить, что аддитивная схема (42) экономична, если матрица- оператор С (С 1) экономична, т. е. для решения системы операторных уравнений (44) с заданным вектором Ф>е требуется минимальное в некотором смысле число действий, например пропорциональное размерности Ж пространства Н1 (числу узлов сетки юе). Если (С 1) С- — нижняя треугольная матрица, а операторы С„обратимы, то решение системы уравнений (42') сводится к последовательному решению. уравненнй С р>+" =Км'+4, и-1 С;.р~+©~- = Х~е.р> — Х Севу>+в~-+ ~а„, сс = 2,3,..., и.
В=1 Такая треугольная аддитивная схема экономична, если экономичны диагональные онераторы С, а=т, 2, ..., и. Все применяемые на практике экономичные схемы для многомерных задач Математической физики являются треугольными (нижними, а иногда и верхними) аддитивными схемами, причем у матрицы (С 1), отличны от нуля, как правило, элементы на одной или двух диагоналях, соседних с главной диагональю. Так, 32 А. А.
Сеэерсква 493 гл 1х экономичныв схкмы для многомкрных злдлч например, схема может иметь вид Саау1» ? + Саа-1у1'~'1» 1км = Р у + ~ с1 = $~ 2,...1ш. В частности, если Р,=О для всех с1 4, 2, ..., п1, то мы йриходви к схеме С у)+а-+С„.,у)+а-1 -=~'„, специальным случаем которой является схема с весами , )+а/т 3+(а-1)/т +Аа(о»У1+ат'"+($ ' о )Ужа-дна) (45) Т е о р е м а 3. Если В В» — полохсительно определенный постоянный оператор и матрица-оператор А ° (А,1) ~0 неотрицотелыиц т. е. длк любых векторов $„$1 ы Н (46) Х (А»вы .$в))0, ' а.?-1 Такие локально-одномерные схемы были уже рассмотрены вы- ше. Для теории основныии являются два вопроса: , И Как оценить.
устойчивость и точность аддитивной схемы? 2) Как построить экономичную аддитивную схему для много- мерного уравнения математической физики?- Ответ на второй вопрос был дан в пп. 3 и 4 для задачи (5), где были указаны эвристические приемы получения адду)тканой схемы. В и. 12 мы снова вернемся к нему. Сейчас же остановим- ся на первом вопросе. Н. Методы оценви сходииости аддвтивной схемы.
Мы ранее неоднократно убеждались в том, что из аппроксимации и устой- чивости разностной схемы следует ее сходимость. Для Эддитнв- вых схем устойчивость по правой части должна быть такой,что- 1 бы из УсловиЯ сУммаРной аппуоксииадии~ ~ 1Р» -1-0 слеДовэло а 1 стремление к нулю решения разностной задачи (с нулевым на- чальвыи условиеи). Такие априорные оценки, ориентированные на использование свойства суммарной аппроксимации, имеют место для аддитивных схем в случае систем параболических и гиперболических уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
