А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Требуя, дтобы 6,Е=О при любых р и и, находим о, о„оа 0,5 и, следовате>дьно, а, 0,5. Таким образом, мы получили однопараметрическое семейство .полностью консервативных схем Рс Р Чс=оа ес= Р Ра ($0 (О.Б> (Од) (О,Б> (36) а $2. консеРВАтивные схемы ГАЭОВОЙ динАмики 436 Третье уравнение. очевидно, можно заменить одним из уран- НЕКИЙ : — — Р Чс (01) (37) (е+ 0,5го)с . — (Р< 1,)< ы'~~),. (38) Отметим, что вместо последнего уравнения можно написать одно из уравнений (е+ 0,5г(0,))с —. — < у и " ~), ,1 < (01) (0,6)) (е+ ((со+ Р~<(1))/4)с = — — (р( 1)Р(0'6)) (39) (40) Чтобы получить (39), надо в предыдущих рассуждениях уравнение (32) ваять в (1+ 1)-м узле: -С В 1 (О,В) (0<, С 0 1,<0,6) (01) О,о(6<+1)с = — »<+1 р,,' пли 0,5(Р<еп)с — -- — р<.~1)ро (4)) Из (38) и (39) непосредственно следует (40).
Из сравнения (40) к (27) видно, что найденное нами семейство полностью консервативных схем содержится в семействе (25) †(27) консервативных схем с четырьмя параметрами, построенном при помощи ИИМ. Очевидно, что схема (36) при любом о, имеет аппроксимацик) 0(т+)6*), а при о, 0,5 — аппроксимацию 0(т*+)61), т. е. только одна схема (36) имеет второй порядок аппроксимации по т: с)с Р- Ос=но ес= Р Ро (0,6) (0,6) (0,6) (0,6) (42) Учет псевдовязкости не представляет труда: достаточно всюду з (36) заменить давление р выражением я = р+ ек Рс = — я ', Чс = р,'~, ес = — я 1 ро~', я = р + 0). (43) В случае идеального газа и линейной вязкости будем иметь РЧ=(У вЂ” 1)е, 0)= — — и,.
(44) Отсюда находятся оо и и<о . Остальные величины Ч, е, р оп'+1 С(-1. ределяются только во внутренних полуцвлых точках зт» гп„... З» 'В 280 К этим уравнениям надо присоединить краевые условия при 1'= 0 и 1=<)с. Если, например, задано давление ро и рвал, то уравнение движения для р', надо писать и при $0, 1 )0': 01+1 — 001 ~. р С вЂ” Р )(01) и» вЂ” 0» ~ р» — р» Ч (01) )+1 с 1 0,5Ь ' 1 0,55 455 . . д и Примером неконсврвативной схемы может служить схема «кресте, весьма распространенная в свое время.
Она пишется на «шахматной» сетке. Величины е, р, «) относятся к нецелым узлам («<+„, 1/+ А), а и и х — к целым узлам (ге $,). Схема «крест» имеет вид '+1 «/+Р/» +'/Р +Р/э Э-Р/Р .я+1 .а+1 4 ОР« в«+Р/,' 4- /, 'Ч(+Р/,' — ч«+Р/,' О«+1 — О« ,>+я — Р ч ' = — Р 4 )+ЧР Р Р+Р/Р Если воспользоваться обозначениями р«+Р/,* = р« = р, г)1+Р/*, = = «)1 = «) и т. д., то можно записать зги уравнения короче: -1+1 и« = — рр го = и„з« = — р и,.
(45) Величины на новом слое здесь находятся по явным формулам. Умножая и, = — р; на и"" и повторяя проведенные выше рас- суждения, получаем (в+ 0,5и«)1= (р( ми(«,ю) ЬЕ где ЬЕ= тр«и«кы+ 0,5три«1+0,5т«р«и«1, т. е. схема (45) нвконсер- вативна. 5. Решение разностиых уравнений методом Ньютона. Цля определения значений и'+', у'"', «)««1 на новом слов мы полу- чаем при о, т«0 систему нелинейных уравнений. Для их реше- ния воспользуемся методом Ньютона.
Запишем сначала урав- нения (43), (44) в виде и+ о«у; = и — (1 — о1)тр-, 1) — 0,5ти. = 1) + 0,5ти„ з + о, и Я вЂ” «)) + (1 — о ) «1) — — е + (1 — о«) йт), я«) — е (у — 1) + т и, = О. Пользуясь методом Ньютона, получим А+1 А+1 А А+1 А+1 А Ь и +о«таей;=/1, Ь«) — 0,5тй и =1«1 (46) А+1 А А+1 /А А А+1 Ь з + р('1) Ь 1) + о1 '(«) — «)) Ь д = /„ (47) А+1 А 1+1 А А+1 А+1 А — Ь е + айЬ «) + а«)Ь я + атЬ и, = /«, (48) й 0,1,2,..., А А где а = 1/(у — 1), Ь1 = Ь = 0 при й ~ О, О О О 11= и — и — (1 — О«)тя1 — ОРтр;, О О О ~« =«) — 1)+0,5«(и,+ и,), $ ь.
консвгвйтивпыи схимы ЛЬВОВОЙ динамики 437 уе — — — Е+ Š— 6(е1) (т) — т)), 6(ет) = а,я+ (1 — а,) Л, Ь Ь Ьй Ь Ь+1 й+1 Ь Ь+1 Ь+1 Ь )ь = е — айт) — очи„ В и = и — и, В т) = т) — т) и т. д. Ь+1 Ь+1 Ь+1 'Исключая отсюда 11 е, Ь т), 11 и, получим для определения а+1 й+1 у = 1В л трехточечное разностное уравнение '(а1(т) — т)) + ат() р — аьтЦВ(е1) + ал) 0,5т+ат] у- = )г ь й й й й1 (здесь г"' выражается через ~1, (т, ~ь и Я, которое решается Ь+1 Ь+1 В+1 й+1 В+1 методом прогонки. Зная 11 л = р, находим В и, Ь ц, В е, Ь+1 й+1 Ь Ь+1 Ь+1 ' Ь аеатем л =Вл +л, и =Во +и ит.д. 6.
Сходнмость итерационного метода. Перейдем к изучению сходимостн описанного выше метода Ньютона. Будем оценивать разности й+1 й+1 й+1 й+1 й+1 й+1 Ь л = я — я, Ь В = т) — т)„Ви = и — и, ,где л, ц, и — точные решения уравнений (43). Напишем уравнение для этих разностей. В силу линейности уравнений (46) сразу получим однородные уравнения й+1 Ь+1 Ь+1 й+1 Ь и = — аьтЬВ;, Ь ц = 0,5тбив й= 0,1,2,... (49) В уравнения (47) и (48) подставим й+1 й+1 й й+1 й+1 В й+1 В+1 й В е = Ь е — Ве, В т) = Ь т) — Вт)„ В г = Ь о — Ьот й+1 В+1 Ь Ьу = В у — 86.
Преобравуем сначала (47)т й+1 й ь+1 ~й т ь+1 в В е +6(<1)Вт) +а,(т) — т))86 = Рь, ь ь ь ь (й т й ;гь = В(е1)Вт)+ бе+а,(т) — т)) Ьл— — ~ЬЗ + (е — е) + ~а18у+ у(е1)) (Ьт) + т) — т))1 = гй т 'В й й В а,' ~т) — т)) Вл — а,(т) — т)) Ьл — [(е — е) + ((~'т)(т) — т))] = а,бт(Вл,, так как е — е+ В(~1) (т) — т)) =0 согласно (43). Таким образом, Ь+1 Ь Ь+1 Ь Ь+1 Ь Ь В е +6(~1)8 В +а1(т) — т))В л =а,бт)ЬР.
(50) 438 гл: тпг мвтоды гвпгвния нвлинвнных тгйвнвннн Уравнение (48) преобразуем к виду Ь+1 Ь Ь+1 Ь й-Ь1 Ь+1 Ь Ь вЂ” 6 е +игб 11 + ицб д -)-агб г, — -ибг)бг. (51) В самом деле, из (48) следует О = — (б е — бс) + ад (6 11 — 61)) + а1) (б г — бя) + Гй+1 йь Гй йй «1 + аг (б г,— бг,) — (бе+ е — ищ — иго,) = «+1 Ь Ь+1 Ь Ь.«1 «+11 =- ( — 6 е + адб г) + ат)6 8 †', игб г,) — Рь, где й А Ь А А й йй й Р =- аубг) + аь)бг + атбг, + с — иг)у — атс,. Подставляя сюда е = ау1) + атг„находим гь = абг)бя.
Ь+1 Исключим из (50) и (51) б с .' ( ) Ь Ь й Ь+1 ! А А-Ь1 Ь+1 й й ау+ д( 1)) б 11 + ((а + о,) 11 — о11)) 6 у + атб г, = (а + а,) бг)64. (52) й+1 й+1 й+1 й+1 После подстановки с1ода б г,= — пйтбг-., б 11 = 0,5тб о,получаем А ь+1 ь+1 ь (А+ и,) бп б я — айб ям = у«68, дь = (53) (а+ иь) ч — оьч где аь= о т(аг+О 5г (ау+ я(~1))1/((а+ о ) 11 — о11)1) О.
При атом предполагается, что (а+ о,)11 — о,г) ) О, т. е. с, В) +' г) для всех Й=0,1,2,... (54) 1 Если при 1 0 и 1' Х задано давление, то краевые условия А+1 для б я« очевидно, являются однородными Ь+1 й+1 6 д,.= О, бд = О. (55) А+1 Записывая уравнение (53) относительно 6 я (г1) в каноническом виде 1(Р) (Р) = Х Вжеу(Е)+6(Р), оаш'т 3 2.
консвгвативныв схктты гэвовон диньзшки 439 убеждаемся в том, что А(Р))О, В(Р, ()))О, Р(Р)=А(Р) — ~ В(Р, ф 1, емшцг) т. е. условия применимости принципа максимума (см. $2 гл. 1Ч) выполнены и для уравнения (53) с однородными краевыми условиями (55) справедлива оценка 15 д !!с(!дь)!ЬДс. Отсюда видно, что итерации сходятся, если 1Ь! <д< 1 для всех Ь=О, 1, 2, ..., (57) или !т) я! о а+о «д, ь= —. ч — ьч Это эквивалентно неравенствам ч+ ьач .
" ч — зт» (58) которые накладывают ограничения на шаг по времени в зависимости от скорости изменения удельного объема т) (или плоте ности р 1/ц). Полагая й = О и выбирая т) = т), получим — ! т) — т) ! ( д(1 — Ь), или (1 — д(1 — ЬП„« „ (1+ д(1 — ЬПц. (59) Если рассматривается изотермическое течение идеального га- за (17), то схема (43) упрощается (исчезает уравнение энергии, так как Т-сонет); Итерационный процесс строится аналогично адиабатическому случаю, сходимость его доказывается так же.
Для иаотермического случая 7=1, а=, Ь =О, так что вместо (58) будем иметь — (т) (~ — и (д. ч ' ч !ч — ч! 1+э ( †ч Если выполнены условия (57), то ~б д ~с(дь+т1бд~о, л -«О при й-~со, т. е. итерации сходятся со скоростью геометрической прогрессии. Численные расчеты, проведенные для ударной волны при 7 =5/3 (а=1,5), показывают, что итерации по методу Ньютона сходятся даже при настолько крупном шаге т, что эа один шаг т ударная волна проходит два-три интервала сетки вм Такой шаг, конечно, недопустим из-за соображений точности. Таким обра- 440 гл тпп мвтоды гвпшння нвлинвпньтх ггавнннии эом, ограничения на шаг т связаны с требованиями точности, а не сходимости итераций. 7. Уравнения газодинамики с теплопроводиостью.
Рассмотрим теперь задачу о течении газа при наличии теплопроводностн. Система дифференциальных уравнений для идеального газа в переменных Лагранжа (а, а), согласно (1) — (7), имеет внд да д дч да да да дат да да ' да да ' да ~ да да ди рт)=ВТ, с=с,Т, с)=с)(ц,~,) ду и -х(р, Т) — — тепловой поток, у р + ю. Нетрудно написать полностью консервативную схему для этом системы уравнений: от = — у-. ° ца = иа (а) (а,в) <) ав а (а,в) (д) и) = — <(Т-, у = 1) + с), с) < ю (т)е оа, т), р = а<Т/т), е = с,Т, (601 Для каждой из групп в отдельности применяется итерационный метод Ньютона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
