А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 68
Текст из файла (страница 68)
(15) Для этого возьмем уравнение (1) в момент Ф»» н проинтегри- руем его по х в пределах от х, ь до х»+ь» ( эи 1 ди1 аи/, +к, » аи/ и»+1/а и»».1/ /(х,»»)»»х — )», / бх=О. (16) и» 1/~ Разделим это тождеотво ла й» и вычтем его нз правой части — погрешности аппроксимации (на решении задачи (1) — (3)) уравнения (1) и второго начального условия (2) соответственно.
Если й(х, ») н /(х, ») имеют конечное число неподвнжных разрывов, то сетку ю» е»И) выбираем так, чтобы линии разрыва проеоднлн через узлы этой сетки (ср. $ 4 гл. П1 н п. 5 $ 1 настоящей главы). По аналогни с $ 1 преобразуем выражение для »р к виду »)» = Ч" +»р' (13) 4 10 гл. Рп. ОднОРОдные схемы для несть»шонгвных Рглвненей формулы И2) для»рс: »р» =(ау~- »+ от'а»и;;„,— (й — "), ) х»+~/а — и;, »+ ю» — — ~ ((1(х, с/) —, /»»х. (17) х» 1/ Коэффициенты ас и»рс определяются при фиксированном 1=1» по формулам $4 гл.
111. Пусть х, — точка разрыва й и 1. Возьмем простейшие формулы для ас и»ра Ь»!» + Ь»+1!»+ Ф» = гь (18) где !Э= )(х»~0).. Учитывая, что дси/д»с непрерывна на ливии х $ разрыва функций Й(х, 1) и 1(х, 1), по аналогии с $4 гл. П1 получаем х»+ а/ х» 1/ Подставляя это выражение в формулу И7), найдем ИЗ) — И5). Из И4) видно, что »)» = 0(й~»+тс), »)с» = 0()»~»+тс).
(19) 4. Устойчивость и сходимость. Чтобы не эавышать требований гладкости коэффициентов и решения при оценке порядка точности схемы (7) — (9), используем раэличные априорные оценки для операторно-раэностной трехслойной схемы Рг- + Аг = »р (»), ! = /т с О, сс (20) г(0) = О, гс(0) = »с.
Здесь Р, А — линейные операторы, заданные на гильбертовом пространстве Н (см. гл. Ч1), гИ) и»)(1) — абстрактные функции $ш ю, со эначениями в Н, Р— элемент Н. В нашем случае Н о 1» — множество сеточных функций, эаданных на е»1 и обращающихся в нуль на границе, при х-0 и х= 1. Скалярные произведения имеют внд С»-1 и-1 /» (г, Р)х = ~ г»»с»й», (г, »с) = ~ г»с/»/»„(г, »с) = ~ч~', г»о»й». З х схимы для уРАВнений пшвРволнчиского типА 411 Будем вспользовать следующие нормы: Игбс — — шах$х(л)~, ЦхИ=)~(з з)е ИхНА =ЛАг,х).
СИЕА В нашем случае операторы А и Р, как показывает сравнение (7) и (20), равны А = — Л, Р = Š— отсЛ = Е + от'А. Оператор А — самосопряженный и положительно определенный А ) 8с,Е, для его нормы верна оценка (см. гл. Ц, $4) ~А~<(4сз/Ьшю Ьвю= шшйо тс|сл Схема (20) устойчива при условии (см. гл. Ч1, $3) 4' 'А л (РЬ )) 4 т'(4У ) где е)0 — произвольное число, не зависящее от й. Это условие или Р— — чгА = Е + (о — — ) т'А ) ( д „+ (а — — )тг) А ) 0 г+6 аш!и будет выполнено при СЪас = — — — з —.
4 4тс В гл. Ч1, $3 были получены следующие оценки для задачи (20): .! 1*'"ьр,<м~ — '",'(Иц(0)ц„„-$-2 ~ф'ь-1,)), (2$) ь-1 '1 г~+' ~А(0) < <м У' — ($г~(0)(рай,>+ шах (11Р" ~А-,0 )+11гс)А-,(, ))) (22) Эти оценки имеют место для схемы с весами (20), если о > о, и !а,! ( с,а.
В 2 4 гл. 11 для равномерной сетки были получены оценки, которые в случае неравномерной сетки принимают вид ~х~А) ~ с,$х-)) )/с,$ с~с сМА- =11)р1А- < с — 1т))~. у с ~ф,) г<=~цЦ при ф= т)-„. 2 ус Так как Р— самосопряженньгй оператор и Р = Е+ атзА = Е+ (а — о,) тгА+ астзА) ) Е + 0,5тзА — —:-~~ А -с еЕ, то Р '~ —,Е* 1йр-г<~-1М 412 гл. шх одноРОдные схемы для нестлционлоньтх углвнвнин (22') (Š— очзЛ)у- = Лу+ф, (23) где Лу = у 9 — постоянный оператор (регулярнзатор, см.
гл. т'1, а $3). В этом случае А -Л,  — СЛ, Р Е+чай. Достаточное условие устойчивости (21) будет выполнено, если о И+ з)са/4. (27) При оценке погрешности аппроксимации для этой схемы изменится лишь формула (14) для а); вместо от~акр;„' надо написать отти;;, где о есть (27). Представим решение г задачи (11) — (13) в виде г о+ю, где о и иа удовлетворяют условиям о;, = Лоаеа + В-, о(х, 0) = о, (х, 0) = О, ог = о» = О, (24) юи = Лиааю + арг, ю (х, О) = О, юа (х, О) = ч (х), юе = ю» = О. Из (21) — (23) следуют оценки для и н ин )оа+'$с< — шах ($ц"]!+ ~ц" ~~), (21') г (Ге ~ ь-1 где (ч )о = ((Е + отгА) ч, ч), = )ч )г+ отг (а, ч~1. Теорема.
Пусть Ь(х, к) и 7(х, г) имеют разрывы первово рода на конечном числе прямых х $о г = 1, 2, ..., г„ параллельных оси координат Оа, а в областях Л, ж (гьа<х<гьа+д, 0~<г~~(гг), г = О, 1,..., гг, аьв= О, $аг+т=1а ков(дЯициенты Ь(х, а), 1(х, а) и решение и(х, г) являются столь гладкими у)ункциями, что выполнены условия (19) и (15).
Тогда, если выполнено условие (22), то схема (7) — (9) на специальных последовательностях неравномерных сеток аеа(К) равномерно сходится со скоростью 0(тз+Ьа), так что для решения вадачи (11)' имеет место оценка ' 1г'1с=1у — иЪ<М(тг+Ь~е), где Ьг= шах Ьь (25) а<а<» Для доказательства теоремы достаточно воспользоваться априорными оценками (21') и (22') для о и иа и учесть соотноше' ния (15) и (19). Замечание. Теорема сохраняет силу, если вместо (7) взять схему Глава У7П РАЗНОСТНЬ1Е МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Б этой главе рассматриваются раэвоствые схемы двя взаевпвяейвого уразвевпя теплопроаодвоств в дая ураввеввй газовой дввамввв. Большов вввмавве уделяется втарацвоввмм методам решеввя вевввейвых развоствых ураввеввй.
Довазава схсдвмость метода Ньютова для неявных схем гаеодввамвмв. $1. Ревностные методы решения ивазилииейного уравнения теплопроводности 1. Стационарная вадача. Начнем с простейшей задачи, которую можно трактовать как стационарную задачу теплопроводности с нелинейными источниками: и — 1(и), О ( х ( 1, и(0) О, и(1) О. - (1) Введем на отрезке 0<в<1 равномерную сетку вз* (д Й, 1 О, 1, ..., )т', Ь)т' 1) и напишем разностную схему у- = — ~(р), т = й, 1 = 1, 2. ° .
Ж вЂ” 1з рз = уя = 0 (2) Для погрешности х р — и получаем задачу х- +~'(у) з= — ф х= зй, 1(з()У вЂ” 1, з,= зл О, (3) где р= и+8х, 0((6(~1, зг = и- +)(и) — невязка. Очевидно, что схема (2) имеет второй порядок аппроксимации $ = 0(йз). Если )'(у) ~ О, то для решения задачи (3), согласно гл. 1П, 5 6, и. 2, справедлива оценка !!х!!с ( !!зфс, (4) из которой следует, что схема (2) равномерно сходится со скоростью 0(У): !!х!!е "* !!р — и!!с = ОЬ~). Решение задачи (2) органичено, н для него верна оценка (!р)с< ФО)! =ее, 414 если 1'(у) (О.
В самом деле, 1(у) 1(0)+(1(у) — 1(0)) =1(0)+ + 1'(у) у, где у = Оу, 0 < 0 < $, так чтб У- +1 (у)у= — 1(0), у,=у =О. Отсюда в силу (4) следует (5). Для решения нелинейного разностного уравнения (2) приме.ним метод Ньютона й+1 й й+1 й й у- +1'Ы( у — у) = — 1(у)* й+1 где я — номер итерацни, й = О, 4, 2, ... Для определения у имеем трехточечное линейное разностное уравнение й+1, й й+1 й й й й+1 й+1 . у„-+1'Ь) у = — (1(у) — 1'Ыу), у, = у = О, (6) которое решается мотодом прогонки; прогонка устойчива при 1 (у) ~0. Оценим скорость сходимости итераций. Введем погрешность й+1 й+1 У вЂ” У~ 'Учитывая затем разложение й й й й 1(у) = 1(у) + 1'(у) (у — у) + 0,51'(у) (у — у)', й А яде у =у ( 6(у у), 0<6((, сРеднее значение, найдем У'(г) г" = — — 2 — оз.
Таким образом, требуется оценить решение задачи й+1 й й+1 й А+1 А+1 и- + 1' (у) и = 0,5Р'(у) ий, ий = ол = О. (0), Если 1(у) — вогнутая функция, т. е. 1" (у) >,О, то, в силу а1ринцииа максимума„ й+1 й+1 й+1 и=у — у(0, у ~у, й й где у — точное решение задачи (2). Подставляя у = у + ий *+1 й+1 й+1 У = У + и в уравнение (6), получаем для и задачу й+1 й й+1 й й+1 й+1 Р- +1'(у) и = — Р, и =он =0 (7) й й й й (8) Р-1Ы вЂ” 1Ы+ Ь вЂ” у) 1'Ы. з ь квазилинввнов вгавнвнии типлопговадности 415 т. е.
итерации приближаются к точному решению задачи (2) снизу. Для решения задачи (9) верна оценка а+а 1 а а 1Ф -6Ю(У)Ной (10) а+а А ~~~й~оВ если!Ч" (р)1о = 16с. В самом деле, в силу принципа максимума (ср. гл. 1У, $2) задача (9) при ~'(р) < 0 имеет мажоранту У ( ) = К '(1 — л) Г( ) 1с < 4 К~ 1 а где К = — (~'(у))с(о)с, так что а.оа а а 3о5с~(5р~с(фУ" (у) 1сФс~й~(Исус.
а+а а о,а.оа Замечая, что 19 и 1с Я ди ~$ (»... () ди 1с~, получаем а+~ 4 о,а+а ) "1с ~~ — $ дс )с т. е. итерации сходятся по квадратичному закову, если началь- о ное приближение у выбрано так, что о- о По)с<1. т е 91у — у)с<1. Если )'(у) ) — со с,)0, то вместо (10) можно получить другую оценку в сеточной норме 1.;. "+' 11" (з) 1с еа $ К< г(4+,,; 1оР= 4+'.,М' (И) где б = -4 з(во —, С, = 0,5) У'(у) )с. 4 .ока Ъ Возможны и друтие итерационные методы решения задачи (2). Рассмотрим, например, метод а+а а А у- = Оу- — (1 — 0)~(у), где параметр 0 выбирается по формуле 0 = а+ Р Х = 2 — „с = шах) ~'(УМ.
Ю 416 гл тш мктоды гаишник нюпшвнных гг'винник где тепловой поток и= ю(х, ~, и,~-) ю = — й (х, г, и) д-, ди — нелинейная функция температуры и и производной. Если теп- ловой поток линейно зависит от производной ди/дх и выполнен закон Фурье то мы получаем квазилинейное уравнение теплопроводности с (х, г, и) лг = д- (й (х, г, и) ~-) + ~ (х, г, и) „ с (*, г, и) ) О, й (х, г, и) ) О. (13) В этом случае теплоемкость с, коаффициент теплопроводности й и правая часть ~ (плотность тепловых источников) зависят от температуры и(х, Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
