А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Предполагается, что задача (1) — (3) иыеег единственное решение, обладающее нужными по ходу изложения производными. 2. Однородные разностные схемы с весами. От разностной. схемы для нестационарного процесса естественно требовать, чтобы она была пригодна и для расчета стационарного процесса, ди т.
е. при — „, ывО мы должны получать схему для уравнения Ли+1=О, принадлежащую семейству однородных консервативных схем из гл. 111. Однородную консервативную разностную схему для уравнения теплопроводностп можно получить прн помощи интегро- $ С. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 379 интерполяционпого метода. Для упрощения изложения предположим, что коэффициент теплопроводностн й = й(х) не зависит от 1. Случай й = й(х, 1) рассмотрим отдельно в и. 8; переход к нему принципиальных трудностей не вызывает.
Построим в П, сетку. Пусть: олл = (х, = сй, 1 = О, 1, ..., № Ь = 1/Ьс) — равномерная сетка с шагом Ь на отрезке О < х < 1; ел, (1<=)т, 1=0, 1, .:., №, — сетка с шагом т па отрезке О < 1 < Т; олл< = сел Х со< ((х,< лл!)< х' ш сел <л! <н 0<<) т Тс)<)л) — сетка в Ал,; Елл< сел Х Со< = ((Хь л!), Х< =сй, 0 <1< № Рассмотрим уравнение 1! = ут, О < у - №).
—, = 1, + Их, с), 1, = — ~й( ) — ) ди д ! д«) и нанншем для него уравнение баланса в прямоугольнике х<-'/ < х ( х<+оь 8! < 1 ( 1<+< «<+0,6 с;+, [и(х, Ф)~.1) — и(х, 1!))<(х= ~ (и<(х;+с„)) — и<(хс с*, т))<11+ *С-О,6 <! <<+1 «л+0,6 ди + '~ <М ~ У(х, т)4х, и<(х, !) =йд . (5) -Оо Аппрокснмируем входящйе в уравнение баланса интегралы и производные: «Н.о,о 5 и(х, 1) <)х ° Ьи(хь )), и<с с, а<и-,, «<-0,6 9+1 ( л) лл 1 <+1 ) (1 ) < с. С! 1 «<+0,6 с)с ~ 1 (х, 1) <лл Ьт<р;', С! «<-6,6 где — — анан аппроксимации, о — числовой параметр, а, выралсается через значения й(х) при х«, х<х< (см. гл.
П1, $2) с помощью введенных в гл. 111 шаблонных функционалов 560 Гл. Т»1. ОДНОРОД1п>»е схемы для нестзционлРннх РРавнении А(а(д)), -((з(0, так что а(х,) ໠— — А[>»(х,+з)»)), или — = А ~ г 1 а» (з (а»+ аь) ' Здесь А[а(з)) — линейный неубывающий функционал, удовлетво- ряющий условиям А(1) 1, А(з) — 0,5. Отсюда следует, что оператор Ли = (аи-)„аппроксимирует д l дат Ь и = — »(>»» — )» со вторым порядком: да ( да ) Ли — »'и 0(Ь*), если й(х)»е С'", При этОм 0 ( с> ~» а(х) ~ с». После подстановки полученных выражений в (5) и замены и на у получаем разностную схему для сеточной функции у(х>, »»): з»+» з» вЂ” ' = Л (ау»»+1+ (1 — а) у») +»р»», (6) З = (, г, ...„ Лà — (, ) ) О, где Лу = (ауу),. Для вычисления >р» и а» можно использовать простейшие фор- мулы .а»=)»»,б, а»= 0,5(й»,+ й»)>»р» =1~»+ н >р»= 0 5(>»+!» ').
Присоединяя к уравнению (6) дополнительные условии У» = иа (х»), уа = рт (»»)> у»~» = »»з (»»)> получаем следующую разно- стеую краевую задачу: у Л(ау+И вЂ” а)у)'+»р, х»ве»», 1 )т>0, у(х, 0) и,(х), х»н «»», у(О, г) = »»»(г), УИ, 8) )»»(3), зю о»„(7) Лу = (ау-,),, 0(д»(а(с„ где, как обычно, обозначено >+1 у = у»= у(х г») у = у> = у(х 1»+») Приведем эту схему к счетному виду, т. е. к виду, удобному для вычислений. Для явной схемы, т. е. при а О, сразу полу- чаем формулу у»» + у» + ч ( Л у»» + р» ) '('»+'»+»))» з У» + з (а У» 1 + а»+»У»»+») + ч>р по которой находится решение на новом слое. 3».
СХЕМЫ ДЛЯ УРа»ВНКНИЯ тВПЛОПРОВОДНОСти 381 В случае неявной схемы при очь 0 для определения у = у»+' получаем уравнение отЛу — у = -Р, Г у+ т(1 — о)Лу+ т»р. Запишем это уравнение в развернутом виде: Абу» а — С»У»+А»+»У»+а = — Рь» = 1, 2,..., )»»' — 1, (8) А» = ота»,0»а, С» = А»+ А»+, + 1, »Р» = (1 — т (1 — »») (а»+ а»+а)1У»+ —,(1 — о) (а;У»»+ Л ) Ла + а»+,у»+,) + тр». При» 0 и» = Ж для у, имеем краевые условия . Ра = Ра(»»аа)а Уа» = РаУна) ° Полученная краевая задача для разностного уравнения второго порядка (7) может быть решена методом прогонки. Условия устойчивости прогонки А»чьО, (С»! >»А,(+!А»+а! выполнены при о)0.
Для вычисления правой части Р» = гЧ» уравнения (8)' можно пользоваться рекуррентной формулой Г, у, Р, +т»Р,. а»; » — с Прп зтом объем вычислений уменьшается. Приведем две часто встречающиеся неявные схемы: а) симметричная схема (о=0,5) уа 0,5Л(у+ у) +»р; б) схема с опережением, пли чисто неявная схема (С=1) р,=лр+ р.
З..Устойчивость и сходимость. Для изучения устойчивости схемы с весами (7) воспользуемся общей теорией устойчивости двухслойных схем. Рассмотрим схему с однородными краевыми условиямк у, = Л(ау+ (1 — о)у) +»р, х ш е»а, 3 >.О, у(х, 0) их(х), (9) у=О при х=О, х 1. о Введем, как обычно, пространство сеточных функций 1», заданных на сетке»оа и равных нулю на границе при х О, х= 1.
382 гл. чп. ОднОРОдные схемы дни нестАционАРных РРАВнвнии В пространстве Н = 11 со скалярным произведением Ю-1 (У, ) = Х У1Р16 1=1 и нормой 1у~ = у (у, у) определим линейный оператор 4у = — Лу = — (ау-,) при у еи Н. Тогда вместо (9) можно написать у,+А(ау+И вЂ” О)у)=~У, с=ух>0, у(0) и,. ИО) Оператор А, как было покааано в $4 гл. П, является самосопряженным и положительно определенным: Ае=А>0, 6Е~А ~ДЕ, 6>0, ' где 6 = шш Ль(А), Л =1А~= шах ЛА(А), Л„(А) — й-е 1ЕМЛ-1 1Е1СЛ-1 собственное значение оператора.
Иэ формулы Грина (Ау, у) = — ((ау;)а, у) = (а, (у;)е~ следует, что о о с,А <А <с,А, о где Ау = — у- при у елН, если учесть, что (Ау, у) — ((у.), Ц. О Наименьшее и наибольшее собственные аначения оператора А павестны о 4 аа о 4 / 6 '= — еш — Ь = -т соз— ь' л' к Е' о о а для 6 и Ь имеем оценки 6>с16, Ь(с,Л. В силу теоремы 1 из $2 гл. т1 схема ИО) устойчива в Н„ по начальным данным !!у'!!*( !!У11.„' если <р' О, 1 а~не Ое = ! 3 та' Если же 1 1 — Е О~)оо, О,= ~ — —, 0<е(1, то, согласно теореме 8 5 2 гл. (Г1, для решения задачи ИО) вер- на оценка / Л Ч» Ь)" Ь~ЬЪ+ — ' — ~.')'", т1ЧУР) (И) — ) $».
схемы для уРАВнения тнплопРонодностн 383 Для явной схемы (о = 0) имеем у»»+д = (1 — — (а» + а»+д)~ у'; + -~ (а»у~» д + а»+ду») + т»р»д. (12) 2с Если выполнено условие 1 — —,сд)~0, то коэффициент при у» в И2) неотрицателен и Ь'+'0 (и.+ю' Суммируя по 1= О, 1, 2, ..., получаем неравенство д ~„» Р»1 » уз» (13) выражающее устойчивость схемы ИО) в С при условии т(— (14) Это условие достаточно. Необходимым и достаточным условием устойчивости явной схемы по начальным данным в НА является неравенство т( —, где Л( — дт.
(15) В случае сильно меняющегося коэффициента а(л) оценка »д ~4сддд' может оказаться очень завьппенной. Тогда условие И4) будет слишком жестким. Применим принцип максимума к схеме с весами (9) при любом с. Запишем схему (9) в каноническом виде ( ) от »+д от г д+д '+дд 1+ —,(а»+ а»+д))»у» =-х»а»у» »+ а»+дуд»+д) + д»», а л 1 (16) Н вЂ” о) т » (» — о)тг» Ъ» Р» = ~1 — — (а;+ а»+д))у»+ — (а»у» д )- а»+дуд»+»у+»р»т.
ь / . а Теорема З.из $2 гл. 1Ч для уравнения И6) дает 1у 1е ~1г 1е1 так как граничные условия нулевые: у(0) =уИ) =О, см. (9), Коэффициент при у» неотрицателен, если ь' т( ( ) . (17) В этом случае 1Р»~е ~ Юс+ тП»р4»с и $ у'+»~с~(~у')с+т~»р»$С(~уе~с+ Д т3»р»'~с. (18) д'~ 384 Гл.
уп. ОдноРОдные схемы для нестАционАРных уРАВнений Таким образом, схема с весами (9) устойчива в С при условии И7). Для чисто неявной схемы (с=1) оценка И8) верна при любом т. Чтобы выяснить вопрос о точности схемы, надо оценить погретиность аппроксимации схемы, т. е. невязку ~р=Л(си+ И-о)и)+~р-ио на решении и исходной задачи И) — (3). Подставляя сюда и+и т т и 2 + 2и' + ли+0(т), й+и т — т и = — — — из = и — — и+ 0(тт) 2 2 2 и1 — — и+ 0(тт'А ~+Ч, ' ди где и = и ', и = д, получаем 1г = Л ' — '" + (с — 0,5) тЛи~ + ~р — и1 = = (Ли + 7 — и) + (Ли — Ьи) + (~р — 1) + (с — 0,5) тЛи + 0 (тт). Так как ЕЕ+1 — й 0 и Ли Ли+ 0(й1), <р =~+ 0(т'+ й'), И9) то Ч> (а — 0,5) тьи+ 0(т'+ Ч).
(20) . Отсюда видно, что порядок аппроксимации схемы при данном а совпадает с порядком аппроксимации в случае постоянного ко- эффициента й(х) 1 (см. гл. Ч, 2 1): ф= 0(Ч+ т') при с 0,5, ~р = 0(Ч+ т) при ать 0,5. Для погрешности з'= р' — и', где у' — решение задачи (7), а и = и(х, 1) — решение исходной задачи И) — (3), получаем урав- нение х~ Л(ох+И вЂ” с)з)+Ф, хьюм, С=)т>0, з(х, О) О, з(0, 1) ЕИ, г) = О. В силу (И) имеем / '1 пв Ф+'Ь(= ~ Х тМ'1'~ (21) У 2~ Учитывая затем, что (см. 2 3 гл. 11) $з~с( — (1 (ЕД'1Ч = 2 ~('4з з) з ь схвмы для ггавнвния твппош оводности 565 и используя оценку сд г)г .«.:;щ, приходим к неравенству а ( ~не 1г'+г(с(=~~' т)ф')г) . ' (22) 2 )/2вс Отсюда и из (20) следует равномерная сходимость схемы (7) со скоростью 0(йг+т ~), где 2 при и=0,5, 1 при очь0,5, если выполнены условия, при которых схема имеет порядок аппрокоимацинф = 0(йз+т з) и о~о, при 0(е ~ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
