А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Теорема 9. Пусть выполнены. условия (85) — (87). Тогда схема (84) устойчива по начальным данны.м и по правой части, а для решения задачи (84) имеет место априорная оценка чуя ы 1лу )»» (в,у ~' ()у(0)~ <„./.)у(0)~,.).2 ~~~,, ). (99~ г з Следствие. Пусть Ю=Е+тзП)Е, Ю ~(Е. Тогда ~~р, 1 з» »1 фД и для (84б) верна оценка г 1+в %Р (уз+~)зр„) <» Мз У вЂ”, г~1 т 5 М ° 1 Более тонкие оценки, аналогичяые оценкам для уравнения колебаний струны (гл. 1т), можно получить для более узкого класса схем Рун+Ау= ~у, 0<1 пт(то, у(0) у„у~(0) =уе.
(101) Предположим, что А н )7 — постоянные операторы, (102) А и П вЂ” самосопряженные положительные операторы. Тогда при условии (87) для (101) верна оценка (99) с М,= 1. Полагая х = 1У'у, С =- П ьА)) "*, преобразуем (101) к виду х-, + Сх = ~р, .т(О) = х, х~ (0) = хз. Применяя к (103) оператор С ', получим схему С 'хи+ х = С ~~р, х(0) =- хз, х~(0) = хз. (104) Сравнивая ее со схемой (84), устанавливаем соответствие С ' П, Е-А, С '~р-~р. Условие (87) принимает вид 1 С 1~ +',зЕ или Е~ ~т тзС з $3.
клАссы уагоичнвых твехслоиных схем 876 Воспользуемся теперь оценкой (99). Так как С вЂ” постоянный ' оператор, то /пт(= 1: и и, цс~/ — (и(У)п(.ц*(О)ц -,.У2 Пс 'уЬ). ((05) ° 1 Учитывая, что х Р'у, (р=Р ьф, ~ х((0) ~'„1 = (С 'х; (0), х( (0)) = (Р ЛА 'Р ~'Р пу((0), Р бу( (0)) = 1Ру, (О) 1'„„ $С 'Щ= (С '(р, ф)=(Р~*А 'Р ~Р "(р,Р ~'ф)=(А 1ф,ф)=5<ф' 1 запишем (105) в исходных переменных: Пу, Ц '( П' —,(Пу(0)П (-ЦИу,(0)П,-П-Л Пу,(„-,).
((06) ° Г 1+е 1/ У=.1 Тем самым доказана Теорема 10. Если выполнены условия (87) и (102),.то для схемы (101) имеет место априорная оцеу(на (106).. В частности, для схемьь'(101) с Р = Е и у, = у, = 0 имеем п с Х '~фУ))А (Ср. с оценками гл. У, т 6, п. 2.) рассмотрим в качестве примера схему с весами . уй + А (ау + (1 — 2а) у + ау) = ф, А* = А ) 6Е, 6 > О. Подставляя сюда ау + (1 — 2а) у + ау =- у + атту„-„получим (Е (- атзА) у;, + Ау =- (р, (107) т.
е. Р=Е+от'А. Условие устойчивости Р) ~ тзА пли Е> 4 1+с Р-((1+с)/4 — а)т'А выполнено прн а% — — —, Для яв- 4 ти ц(А) ной схемы (а = 0) отсюда следует т( 2 )/(1 + е) 1 А 1 Явная схема (у)ц = у„-„) для уравнения колебаний струны, согласно этому условию, устойчива при т/й ~ 1/1(1+ е) (ср. гл. У, $6). 10.
О регуляриэации разностных схем. Теорию устойчивости разпостных схем, изложенную в этой главе, можно использовать для ())ормулировки общего принципа (принципа регуляризации) 374 ГЛ. У1. ТЯОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ получения схем заданного качества, т. е. устойчивых, обладающих аппроксимацией и удовлетворяющих дополнительному требованию экономичности (минимума аряфметических действий, достаточных для. решения на ЭВМ получающихся разностных уравнений).
Требование экономичности применительно к 'нестационарным задачам математической физики обычно означает, что число арифметических действий, заърачиваемых для решения разностных уравнений' при переходе со слоя на слой, пропорционально числу узлов сетки ао (подробнее об экономичных схемах см. гл. 1Х). При записи двухслойных н трехслойных схем в канонической форме (Е + ТВ) ус + Ау = ср~ у(0) = уо В = Е + ТВ, (108) Вуо + тоВу;, + Ау = ср. у(0) = уо у(т) = у» (109) было обнаружено, что ответственным за устойчивость является оператор В (регуляризагор). Достаточныв условия устойчивости имеют простой вид: Л)~ ОоА, О, = — — — ДлЯ ДвУхслойных схем 1 1 (110) В> — А или В~ )4 А двя трехслойных схем.
1+о Устойчивость илн неустойчивость схемы (из исходного семейства) зависпт только от выбора оператора В. С точки зрения теории устойчивости произвол в выборе оператора В ограничен лишь двумя требованиями: 1) схема должна принадлежать исходному семейству, т. в.
В=Е+ТЛ)0 для (108), Л Во>0 для (109); 2) должны быть выполнены условия (110). Для получения устойчивой схемы заданного качества необходимо добиться, чтобы она имела аппроксимацию заданного порядка и была экономичной, т. е. для решения уравнений (Е+тЛ)у =Е (для (108)) или (В+2ТЛ)у=у (для (109)) требовалось бы минимальное. в некотором смысле, число действий. Заметим прежде всего, что если схема (108) или (109) с некоторым оператором В устойчива, то и схема с оператором Я~В также устойчива. Обычно прн построении разностпых схем поступают так: пишется сначала схема, обладающая аппроксимацией нужного порядка и экономичная, после чего исследуется ее устойчивость. Основная идея регуляризации разностных схем заключается в следующем: схемы заданного качества надо искать в классе.
$ э. классы устойчивых тгехслоиных схем 375 устойчивых схем, отправляясь от некоторой исходной схемы и заменяя ее, путем изменения оператора В, другой схемой нужного качества, принадлежащей классу устойчивых схем. Многие приемы построения схем частного вида .можно трактовать как простейшие приемы регулярнеации. Запись схем в канонической форме удобна не только для проверки устойчивости, но и для оценки порядка аппроксимации. При В в (108) стоит множитель т, а в (109) — множитель т'.
Поэтому, если прн изменении В в случае двухслойной схемы остается выполненным условие 1Виь1 0(1) (и — решение исходного дифференциального уравнения), то погрешность аппроксимации при изменении В меняется на величину 0(с). В случае трехслойных схем условие ~Ви-„ь~ = 0(1) гарантирует, что при регулярнзации будут иолучаться схемы, погрешность авшроксимацнн которых отличается на величину 0(т').
Поэтому трехслойными схемами удобно поль зоваться для получения устойчивых схем второго порядка аппроксимации по т. Основным является вопрос о выборе регуляризатора В. Так как условия устойчивости имеют вид операторных неравенств, то в качестве В естественно выбирать операторы возможно более простой структуры, энергетически эквивалентные оператору А; Пусть, например, А и А, — энергетически эквивалентные операторы с постояннымн '(, и 7„так что 7ьАь <А < 7ьА„7ь >О, 7ь>0.
(111) Полагая затем В = сА„получим устойчивые схемы: прн с > а,7, (или о ~ 0,57ь) в слУчае (108), пРн с ) 7ь/4 — в слУчае (109). Простейшим видом В является оператор В = сЕ (4, = Е). Условия устойчивости выполнены, если с ~ о,(А ~ь для (108), а) 4 (А( для (109). Пример 1. Рассмотренная в $3, и. 7 явная трехслойная схема Дюфорта и Франкела для уравнения теплопроводностк принадлежит семейству схем у. +от'у)ь+Ау=О, о) 4 (А1, А=А*)0. (И2) 4 сов 4 В самом деле, Ау = — Лу, Лу = у,-, (А)( = —,, соз' — <— ь" 1 ( ь с = —,, т. е. условие о) — '(А(выполнено. Эта схема обладает условной аппроксимацией 0(й') при т = 0(У). Нетрудно написать явную устойчивую схему для уравнения теплопроводности с переменнымн коэффициентами д ( й(х, т) "" 1, 0 < с, < й (л, т) ~~~с~; т) О, 0 < л< 1, дФ дз ~ дс/ (113) и(0, () = и(1, г) = О, и(х, 0) = ие(з).
376 Гл. Ух 'теОРия устОйчиВОсти Рлэностных схим В атом случае в (И2) надо положить О = с»/й», Ау = — Лу, Лу =а = (ау-)„. Для многомерного уравнения теплопроводности р ди И д ) дит и!г = О, и (х; О) = и«(х), (И4) «« — параллелепипед (0<х <.1, а 1, 2, ..., р), 0<с,<й <с„ следует положить р р '1~Р 1 О с,„, — Ау= — р.(а„у- '1 иа«и» 1 аа/иа а»о где йа — шаг сетки «е» *= (х (х„ ..., х,) юЮ по х,. Пусть А,=А,+А„где А«и А,= А» — сопряженныв или «вреуголвныв» (с треугольной матрицей) операторы, так что (А«у, у) =2(А.,у, у) 2[А»у, у). Полагая В =СА, или В =СА», получим схему И08), устойчивую при о>27«о, (7» — постоянная в неравенстве (И1).
Пример 2. Лсиммегричная схема для уравнения теплопроди д»и водности — = — принадлежит семейству «треугольных» схем. д« див Она имеет вид от у,+ — „у„-,=лу, Лу=у.-.. (115) Здес»Ау= — Лу, Ву= — „у„-, А»=А, 7,=7«=1. Схема (И5) ь устойчива прн о)~1 — и условно аппроксимирует уравнение 2« теплопроводности с 0(й) при т ° 0()»«). Для уравнения (ИЗ) следует положит»у, = см Ау = -(ауй), о ( «'» Ву= — „у; и взять О>С»~1 — —,~. Вслучаезадачн(И4)имеем р ЧР 1 Ву=о, — у- или Ву= Ь *а й,а р уи ! аич а у» = с«, р Л= с» ~ —;. а «Ьа ОЪ с,(1 — —,„), Важно отметить, что при носвроении схемы Дюфорта и Франкела в качестве исходной бралась явная неустойчивая схема уа = Лу« которая имеет аппроксимациюО(т' + )»'), и проводилось 9 3.
классы гстоичивых тввхслоиных схим зп (см. п. 7) преобраэование, которое соответствует введению регу- ляризатора простейшего типа ~В = —,Е, о =-т в (И2)). л' ' ь В дальнейшем, после введения в практику формул прогонки, стали широко рассматривать двухслойные неявные схемы (схемы с весами), для которых В=сА. Очевидно, что эти схемы явля- ются частным случаем схем с В сА,.
Укажем еще один способ выбора В. Пусть Ае — — А1+ Ам А = Аг )О. Выберем В так, чтобы двухслойная схема имела факторизованный оператор В (Е(" стАв)(Е+ стАз) Е+ т(сАо+ о~тА1Аа) так что В = сАю+ о'тА,А,. Так как (А,А~у, у) (А,у, А,у) =1А,уР~О, то эта схема устой- чива, если а> "(Ф~. Схемы с факторизованным оператором В = (Е + аВ;)(Е + вВ ), В = В1, применяются в качестве итерационных схем для решения урав- нений Ау ° <р (см.
гл. Х). Г л а в а У11 ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В атой глазе изучаются одворснвые раеиостиые схемы для ураюыивя теььчонрозсиности и уравнения второго порядка гвперболачесаого типа о переменными коэффициентами: ва неравномерных сетаах, с краевыми услсеиамя третьего рода и др. При изучении устойчивости попользуются результаты общей теории устойчивости, нахоженной в гл.
Ч1, а при построении однородных схем — машды гл. 1П. Основное винмавпе уделается одномерным (т. е. с одной пространственной переменной) еадачаы. з 1. Однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности с переменными козьрьрнциеитамп 1. Исходная задача. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводностн: ищется непрерывное в прямоугольнике Вт = (О < л < 1, 0 < 1 < Т) решение уравнения до — = Ьи+ У(л, 1), Ьи.= д ~)ь(л, Ь) — ), д Ь 'диЬ дЬ вЂ” да (, ° д.!~ удовлетворяющее начальному условию и(х, 0)=и,(х), 0<я<1, .(2) и краевым условиям и(0, 1) = и~(1), и(1, 1) = иаО), 0 ~ <1~~ 7. (3) Козффнцнент ьь(х, О ограничен снизу и сверху: 0<с,< й(х, 1) <сь, (х, 1)ыПг, ' -(4) где с„с, — постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
