А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Подставим эту оценку в (13) и используем условие (44) 1У Ьг(~~ у~~а~+ ° ~ф) или 1У~+11А ~(~ур)а + ~„1фзр ° Суммируя затем по 7=0, 1, ..., п, получаем (45). Теорема 7 доказана. Замечание 1. Теорема 7 сохраняет силу и в случае переменного оператора В = В(г), а теорема 2 справедлива для переменного оператора А = А(г). Это видно из доказательств указанных теорем. Замечание 2. Коли А=А*, В=Во.)0 и выполнены условия (36), то схема (1) р-устойчива по начальным данным в Л,, т. е.
решение задачи (1а) удовлетворяет неравенству (~у»()о ( Р ((уо~)о. Отсюда, в силу теоремы 3 из $1, следует оценка для решения задачи (1) о 5уо+1Ь~~Р" 5уоЬ+ 2э ~тр" бфэ$в — г. о=о При этом не требуется положительности оператора А. Пусть, например, А Ъ вЂ” соЕ, со) О. Тогда условие А) — РВ, или А+ Р: В)0, может быть выполнено только при р= аоот > 1, т. е.
при с,>0. Предположим, что В > ЕЕ; с ) О, тогда А+р В)А+СВ ь( — со+се)Е ( — р оо и, следовательно, А~) — В, еслк взять со о †. В качестве В можно, например, выбрать оператор В =Е+тВ, В '0,5А', А' А+с Е>0. Тогда с=1, с,=со, р=е'о'. 16. Устойчивость схемы с весами. Покажем, как надо пользоваться доказанными выше теоремами на примере схемы с весами: (46) у,+А(ау+(1 — а)у) ф, у(0)=у,. е 3.
классы устОйчиВых дВухслонных схем 345 В $1, п. 3 схема (46) была приведена к каноническому виду (Е+атА)у, +Ау = ~р, у(0) =у,. (47) Сравнивая (46) с (1), видим, что В Е +.отА. Пусть существует оператор А '. Действуя А ' на (47), получим вторую каноническую форму для схемы с весамп: Яу,+Ху=ор, у(0) у,, Я=А '+атЕ, Х='Е, ф А '<р, (48) Записью в виде (47) будем польаоваться в случае самосопряженного оператора А, (48) — в случае несамосопряженного положительно определенного оператора А -А(т). Рассмотриьг сначала случай, когда А — постоянный, самосопряженный положительный оператор А = А*) О. В и. 4 было показано, что в этом случае необходимое и достаточное условие устойчивости по начальным данным схемы с весами (47) имеет вид 1 а)а, п =- — —.
о о — 2 . (Лр При этом условии для задачи (47) верна оценка (15). В частности, для явной схемы (при а 0) из условия а ) а, следует т(2/(!АР, т. е. явная схема устойчива в Н» при т< 2/Ы(. Схема с а) 0,5 безусловно (т. е. при любых т) устойчива. В п. 4 был рассмотрен модельный пример с Ау = — Лу = — у- при о уоя(оо Н. В этом случае рАр(4/Ь*, и явная схема устойчива при т < 0,5/о*. Для уравнения теплопроводносуи с переменным коэффициентом к(х) имеем Ьи = — (/г (х) — ), 0 < й ( с„Лу = (а (х) у„-)„, 0 < а ( с„ и о,(0,5 — )о'/(4сот), а явная схема устойчива при т< 0,5/оо/с,.
Теорема 8. Пусть А — самосопряженный положительный оператор, не зависит от о=кт; А =А*)0. Тосда для схемы с весами (47) имеют место оценка (37) при а ) а,, оценка (43) (+е при о) — — (л,е ) 0 и оценка (45) при а) о„о, 0,5— — (1 — 'е)/(трА1), 0 ( е < 1, где е — постоянная, не вависяи(ая от й, т. Для доказательства достаточно проверить выполнение условий теорем 5, 6, 7, пользуясь неравенством  — 0,5тА =Е+ (а — 0,5)тА ) (ЫА(1+ (а — 0,5)т)А. Предположим теперь, что А =А(Г) )0 п Ао ФА, т. е. А А(1) — положптельиый переменный несамосопряженный оператор.
Теорема 9. Пусть А А(Г))0 — положительный несамосопряженный оператор. Если выполнено условие а) 0,5, то для 346 гл. Т1. теОРия устойчивости Рлзностных схем схемы (46) верна оценка )9»+1~(~!!у4+~(А '~Р)о!!+~(А '<~)»1+~~,"„т~(А 'Ч>);ь!! (49) Ь 1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим схему (48) с правой частью у А '1Р. Для нее при о~0,5 выполнены условия теоремы 5 и можно воспользоваться неравенством (37), учитывая, что Ыл =~У~,Ц„12 1= Ц-ь~= !)(А ~р)Ц.
В результате получим (49). Э а м е ч а н и е. Если Ао(г) А(г) ) 0 — самосопряженный оператор, то оценка (49) справедлива прн о ~ о,. Теорема $0. Пусть А(г) Ао(г))0 и о>о,. Тогда имеет место оценка (У»+4'(~ Ьо1'+ 2о,~о т Ь4ль-' $ ~ ь=о Доказательство. Энергетическое тождество (13) для (48) принимает внд 2т((А '+ (о — 0,5)тЕ)уо у,) + !!УИ !!у!!'+ 2т(А '~р, у,).
(54) Из условия о ~ о, следует, что Ъ вЂ” 2 А ) сА-' (52) 2т(А ~Р~ Уо) <2т!!цоо 1Дл 1<2тзооу~~, -1+ — оото г1. (54) Подставляя (54) в (53), будем иметь Ц < !!у!! + — !Рр 1 или !!Уь+1~ ~( Ы + ~Ц <Ро!(ль Суммирование по 1с=О, 1, 2, ... приводит к оценке (50). Л е м и а 5. Пусть А — положительный оператор, для которого выполнено неравенство !!Ах!!1( й(Ах, х), где й = сопзо "О. (55) В самом деле, Š—; А = А-1 + (о — 0,5) тЕ = гА-' + (1 — е) А-' + (о' — 0,5) тЕ) ) еА-1 -!-: Е + (о — 0,5) тЕ =' еА-' + (о — о,) тЕ ~» еА-1 1 при о)о..
При этом мы учли,' что А 1~)-~Е. Подставляя (52) в (51), 'получаем 2те!!Уо)ол-1+)у)о(~)у)о+ 2т(А 1<р, Уо). (53) Обобщенное неравенство Коши — Буняковского и.е-неравенство дают В 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ 347 Тогда А ') — Е и А(ЬЕ. (56) В самом деле, полагая х= А 'у, получим нз (55) неравенство (у, у) < б,(А 'у, у), т.
е. Е ~ /2А-' или А ' ) Е/Л. Пользуясь неравенствами (Ах, х)' ( ПАхРИхР < ЫАх, х)!!х1', находим (Ах, х) а /2!!хР, т. е. А < ЬЕ. Из леммы 5 следует, что В=А '+атЕ) (1/б.+ат)Е, Я вЂ” 0,5тгг ) О при а) о„ где Х Е, а, 0,5 — 1/тб. Л е м м а 6. Пусть А — положительно определенный оператор и выполнено (55). Тогда ~(Е+атА) ~(Š— (1 — а) сА)!!(1 при ОР:а„а = — — —, (57) 1(Е+атА) '~(1 при а)0, (58) !!(Е+атА) '$( — при а)аг= — — — г, 0<в(1. (59) Доказательство.
1) Так как В)05тЛ' при а)о,, то, применяя к схеме (48) теорему 1, получим, что для решепия задачи (48) при любых у ~а В и <р~ 0 справедлива оценка !!у„+,1 ( !!у„!!. (60) Заметим теперь, что схему (47) при д = 0 можно записать в виде у„+, Яу„, Б = (Е+ отА) '(Š— (1- о)тА). Отсюда и из (60) получаем оценку (57). 2) Для оценки 1В-'!!, где В Е + отА, достаточно получить неравенство вида В ) бЕ, б ) О. Тогда б!!хР ( (Вх, х) < !!Вх!!1х!!, !!Вх!! ) б!!х!!, и следовательно, !!В '!! ~1/б.
Если о) О, то В>Е и !!В % ~ 1. Если а>а., то В ) Е + а,тА = Е + 0,5тА — — А. Так как, согласно (56),'А < ЬЕ, то В)Е+0,5тА — (1 — е)Е) зЕ+0,5тА) еЕ, и, следовательно, 1В '!! < 1/в. Отметим, что оценка (58) верна для любого несамосопряженного, оператора А)0. Лемма доказана.
Из (60) и леммы 6 следует Теорема 11. Пусть А А(2) — положительный оператор и выполнено условие (55). Тогда для схемы (46) при а)а, верна 346 Гл. чь теОРия устОйчиВОсти Рлзностных схем анриорная оценка Пу(С+т)!!~($у(0)П+ — )' т'Пф(С')~. (61) Р-О Если одновременно выполнены два условия ( С о)0, о)о, о = — —— о о — о тд то оценка (61) выполняется нри з = 1. Для доказательства запишем схему (46) в виде у„+,— Ву„+ В-'р„, где Е (Е+отА) '(Š— (1 — о)тА), В=Е+отА.
Используя не- равенство треугольника и оценки (57) — (59), получаем Ь+ 1<Ь4+ — И!! откуда и следует (61). 1.1. Априорные оценки в случае переменного оператора А. До сих пор мы предполагали прп изучении устойчивости в Нл, что оператор А постоянный, т. е. ие зависит от С. Если АИ) = А*И) ) 0 зависит от С, то будем требовать, чтобы выполнялось следующее условие лившиц-нвпрврывности АИ) но С: !((А(С) — А(С вЂ” г))х, х)! < тс,(А(С вЂ” т)х, х), (62) для всех хонВ, 0<С< к,т, где с, — положительная постоянная, не зависящая от )о и т.
Исходное семейство схем определим требованиями А(С) АоИ) ) 0 для всех С ок е„ (63) АИ) лнишнц-непрерывен по С, В(С) ) 0 для всех С он оо,. Как п ранее, предполагаем существование оператора В"'И), что означает разрешимость задачи (1) ярн любых входных данных у, и фИ). Это семейство, очевидно, содержит исходное семейство, введенное в п.
2. Исследования, проведенные методом энергетических неравенств, показывают, что условия В(С) > 0,5ТА(С) 'для всех С ов оо„(64) ВИ) >зЕ+ 0,5тА(С) для всех Сш М„О< а <1, (65) оказываются достаточными для устойчивости схемы (1) с перемепнымн операторами АИ), ВИ). При этом сами нормы П Пл, П П,оказываются зависящими от С: ПУП„= ПУП,цо — — У(А(С)У, У)о ПфПл ио У(А-'И)ф, ф). г 2. классы устОЙчиВых дВухслОЙных схнм 349 где Ю'(2+ т) = (А (г) у (г+т)у у (2+т)) = (у (г+т)((луЦгЦ. Кслн выполнено условие (64), то не (66) ирв о = 0 следует Р(г+т)<(1+те ) Ю(г)<уз Ю(т) прн г)т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
