А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Это условие означает, что -1 < 1 — тА, < 1, илн 0 < Л1 ~ ~2/т, й = 1, 2,..., Х (30) Покажем эквивалентность неравенств И4) и (30). Рассмотрим выражение л л Ву — 0,5тАу = ~1~ сА())(В$» — 0,5тАКА) ~х~~ с1(~) (1 — 0 5тЛ1) Взьь 1=1 1=1 и вычислим функционал (Ву, у) — 0,5т (Ау, у) = ~~~~~ СА (1) (1 — 0,5тЛ1). еэт где р = е, сэ — постоянная, не зависящая от 11, т и от выбора у,. Если схема Иа) р-устойчива в Ню то она устойчива в Н„: ))у.1а<М,!!уА, т„=пт<4 сзуз с постоянной М, = е при с, ) 0 и М, = 1 при с, < О. Двухслойную схему Иа) с постоянными операторами А и В можно свести к явной схеме "+Сх„= 0 или х„+1 =(Š— тС)х„, (32) если провести замену: 1) х„В'эу„при В =Не) 0 и обозначить С*=С, =В-эАВ-'А; 2) х„=Аэу„при А Ае>0 и обозначить С С, АэВ 'А'".
ЯЯФ Отсюда и следует эквивалентность И4) и (30). Таким образом, мы показали, что при условиях (26) неравенство И4) достаточно для устойчивости схемы Иа) в пространстве Н , т. е. справедливо (29). Следует подчеркнуть, что требование самосопряженности оператора В является здесь обязательным, в то время как для применения энергетического метода достаточно лишь положительности оператора В. Аналогично доказывается устойчивость схемы Иа) в Н„если выполнено условие (30). 8. Условие р-устойчивости. Введем более общее определение устойчивости по начальным данным.
Пусть Р = Рэ ) 0 — постоянный оператор. Будем говорить, что схема И) р-устойчива по начальным данным, если для решеиия задачи Иа) при любых у,1вН выполнено неравенство Ьа1э < ~р ))уа))э, (31) ! 340 тл. чь теОРия Устойчивости Рлзностньтх ~Кем Из определений 1) п 2) следует, что 11х„11 = 11у„11э прн С Сн х„= В"у„, 1!х„!! = 11у„1!л при С =Сь, х. =А'У' Условие р-устойчивости неявной схемы (1а) в Нь при В =В и Р =А эквивалентно условию р-устойчивости явной схемы (32) в Н: 11х„11 < р"!1х,11, и = 1, 2, ... Лемма 2. Пусть дана схема (32) с постоянным оператором С. Условие р-устойчивости этой схвмы эквивалентно условию оэраниченности нормы оператора перехода 1!В!! = !!Š—,С!! р.
В самом деле, прн и = 1 имеем х, =Як, и 1х,11 < 1!Я!3!х,11. Сравнивая это неравенство с (31) при и =1, убеждаемся в справедливости леммы 2. Лемма 3. Если А А*)0, В=В*)0, то неравенства "(,В~(А(~ (ьВ и Т,Е<С<(ьЕ (33) эквивалентны при С В 'АВ '" и С = А "В 'А"'. Доказательство. Пусть С=В "АВ '* и ( — любое число. Рассмотрим разность (Сх, х) — ((х, х) =(В 'АВ 'х, х) — ((х, х) (Ау, у) — ((Ву, у) при у=В "х.
Отсюда видно, что анаки операторов С вЂ” "(Е н А — уВ совпадают. Отметим, что при этом не требуется поло>кнтельности оператора А. Пусть теперь С=А'ьВ 'А". Докажем, сначала, что неравенства С >~Е (С~ "(Е) и Е>'(С ' (Е < '(С ') эквивалентны. Вводя замену у = Сьх, получаем (Сх, х) — т(х, х) = (Сьх, Сьх) — ((х, х) (у, у) — ((С 'у, у), откуда и следует, что операторы С вЂ "(Е и Š— (С ' имеют одинаковые знаки: Подставим теперь С = А ьВА '" и обозначим Р=А "у: (Сх, х) — у(х, х) = (у, у) — у(А ьВА 'ьу, у) = (Ао, о) — ((Во, о), т. е.
операторы С вЂ” (Е и А — уВ имеют одинаковые знаки. По- латая ( '(, и ( ='(н убеждаемся в эквивалентности неравенств (33). Лемма 4. Если оператор С=С*)0, т)0, то условия !!Е!1 = 1Š— ТС11 < р, (34) — РЕ~С( — РЕ (35) эквивалентны. $ Х НЛАССЫ УСТОИЧИВЫХ ДВУХСЛОЯНЫХ СХЕМ 341 В самом деле, так как оператор Я = Š— тС Я» самосопря- жен, то 113!! =' Епр !(Ях, х)! Епр )НЕ- тС)х, х)1, ьзь=! ве ! так что — В!Е < Ю < 1!В!1Е пли -рЕ < Я < рЕ и — рЕ < Š— тС < рЕ, откуда и следует Таким образом, из условия (34) следует (35).
Обратный ход рассуждений очевиден. Теорема 3. Пусть А и'  — постоянные операторы и А = А», В В» ~ О. Тогда условия (36) Ььеобходимы и достаточны для р-устойчивости в Н, схел!ы Иа) 1у„11» < р" 11у,11, А — положительный оператор, то и для а если, кроме того, р-устойчивости в Н» 11у 1!л~р !!уь!!л. Для доказательства теоремы сводим неявную схему Иа) к явной схеме (32) с оператором С В "АВ "' (или-С = =АьВ 'А" прп А )0) и затем пользуемся леммами 3, 2 п 4. Замечани'е. Доказательство теоремы 3 не удается получить на основе энергетического тождества (20).
Однако мол!но использовать метод, изложенный в п. 6. Рассмотрим, например, случай 1) = В. Условия (36) эквивалентны условию 11Е— -'тВ 'А1, < р нли неотрицательности функционала 1»(у! р*(Ву, у) — (В(Š— тВ 'А)у, ( — тВ 'А)у). Предположим теперь, что Н вЂ” конечномерпое пространство и размерности Н. Подставляя у =,3 сььь где $1 — собственный А 1 элемент задачи (27), в выражение для зз(у), получаем и лв(у) = ~есть(р' — (1 — т)11)ь))О прн:Р<Ц< +Р, Ь 1 что эквивалентно (36). 9.
Устойчивость по правой части. В $ 1 была доказана теорема о том, что из устойчивости по начальным данным в норме 11'4!ц следует устойчивость по правой частп, взятой в норме !1ф11!1! 11В-ьф!1!ц. Отсюда следует Теорема 4. Если выполнено условие И4), то схема И) из исходного семейства схем устойчива по правой части и для 342 ГЛ. У1.
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ решения задачи И) справедлива априорная оценка >У»+1>А~~>уо>А+ Х Т>В орь>>А Если, кроме того, оператор В самосопряжен, то и !!У»+1!!В~~!!У»!!В+ Х Т!>ОР»!!В->. 1-о Пока>кем, что, кроме того, имеют место априорные оценки (3), (4), где !ц>!!>1>= !ц>!А-'1 и ((ц>Ь> = >ц>1. т Теорема 5. Если выполнено условие В) — А,то схема И) 2 из исходного семейства устойчива по правой части, и для решения задачи И) верна априорная оценка и 1уи+1~~(~!У»Ь+!!%»!А-1+(%»1А 1+2~ Т~~Р-,~ -1.
(3>) Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим решение задачи И) в виде суммы =о +и> (38) У»»»о где и>„— решение уравнения (»стационарной» задачи) А и>„= ор„„п = 1, 2, ..., и>, = и>,. (39) Тогда, подставив (38) и (39) в уравнение И), получим следующую задачу для о„: ВО, + АО = ор, Оо = уо — и>о, '(40) .где ор = †( — ТА)иц „, ор, = О. Для оценки о воспользуемся теоремой 4: п !! о~+1 !А.(~ ! Ро ~А + Х Т !!В ~>р» ~А.
(41) Оценим слагаемое !!В 'ор»)А=!!А'ИВ '>р»~ в неравенстве (41). Для этого заметим, что и>, = А 'ор) н ~А''В 'ор~ = ~(Š— тС) А '~»Ц, где С=АИВ 'А'". Из условия устойчивости И4) в п. 6 полу- чена оценка (24) !>Š— тС>! ( 1, откуда следует, что )!Ап'В-'Ц ~ ~А-'и-,!! = !! Рр ~„„ где ~ор;!(А-1= ~~(А '>р;, >р;). Следовательно, для решения задачи (40) выполняется оценка и 1о+ !! (6о.!! +Е т!! Рр,,~л-, $ Ф.
Классы устоичнВых дВухслОйных схим 343 откуда, учитывая неравенство 5оо5А ~~)уо)А+ )юеЬ = ануе)А+ 6<Ре)А-1 получаем и )" +1)А~~1уо)А+('Ро)А-1+ Х т~цре~А-1. Наконец, используя неравенство треугольника, из (38) получаем оценку (37). Теорема 5 доказана. Теорема 6. Жгли гыполнены услогия и В)~ — ет.4, В =- Ве, (42) то для схемы И) иг исходноео семейства справедлива априорная оценка 2т(~р, уо)(~2тф 1(удв<2те1Ив+т, ЦВ-1. 1 Подставляя эту оценку в ИЗ), получим 2т (((1 — з,)  — 2 А) уо уе) + (Ау, у) ((Ау у) + о Мв- . Если выполнено условие (42), то можно выбрать е, так, чтобы 1/И вЂ” е,) 1+е, т. е.
е, е/(1+ е). Тогда (1 — е,)  — ~ А = (1 — ее) ( — —, гА) ~~ О, (4уе+и де+1)~~(АУь Уе)+ ~ торф, 4+о е Суммирование по й О, 1, 2, ..., и и дает оценку (43). При каких условиях имеет место устойчивость в норме Ьр11ц = = Ьр)7 Ответ на этот вопрос дает Теорема 7. Пусть выполнено условие В ~ еК+ 0,5тА, (44) где е — любое положительное число и схема И) принадлежит исходному семейству схем. Тогда для задачи И) верна априорная оценка п 1У~+1ел <~ ореол + ~л~~~ т еорее (45) 1уи+1Ь~~)уе)А+ 2 ~л~~ т1Ф~1ве-1 (43) Ь 1 где е > О.— постоянная, не гаеисяьцоя от Ь и т. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Будем исходить нз энергетического тождества ИЗ). Оценим его правую часть 2т(<Р, у,), пользуясь обобщенным неравенством Коши — Буняковского и е-неравенством: 344 гл. Ть теОРия устоичивости Разностных схвм Доказательство. Обратимся к тождеству (13). Неравенство Коши — Буняковского н е-неравеиство дают 2т(ф, у,)(2т~ф~~у~~(2те~у~1'+ — ((ф)~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
