А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(39) Суммируя по г т, 2т, ..., пт, получаем (так как !!У(т)!! 0) с с е Я г ~у (р) ~с + ~ У (с + т) $г ( — )' т $ су (г') (г, (40) с' г с' з а классы тстоичнвьгх ттихслонньгх схим 351 Далее, обозначив ш =у„ — у„ „ получим шт~1 =2туо — шп ш,=О, 1,а откуда следует неравенство »ш„+1»(2т~у»+»ш„», и' =1 2,... и. Суммируя его по и' от 1 до и, получаем в » шв+1»(2 Д т»у, !!1 или 1 »у(С +т) — у(С)»(2 ~ т$у. (С')$, »у(С+т) — у(С)»1(4С Х т»у1Я»~. Воспользуемся очевидным тождеством Иу(С+ т)+у(С)Р+ !!у(С+т) — у(С)11 2(1у(С)Р+!!у(С+ т)!Р).
(45) Из неравенств (43), (44) и тождества (45) следует (42). Подставляя в (41) оценку (42), получаем (38). Теорема 5. Если выполнены условия А=Ав>О, В Ве> >О, В =В*> О, операторы А и  — постоянные и В >-4-Ае то 1 для схемы (1) верна оценка !!У+ $ (»У !! + ~ т»цА» А 1 Самосопряженность оператора В используется при оценке входящего в тождество (31) члена 2 (1р,у )(2Ф.1 И!!в-1( ~у.~ев+ — '» р»в 1. (4» Полагая с =2 н'подставляя эту оценку в Ц1), получим неравенство »1'+1»'(»У.!!'+ г»'Р !!в-1. (48) откуда и следует искомая оценка. Заметим, что оператор В может зависеть от С1 В = В(С). В этом случае надо писать» 1РА»ве где ВА ' = В ' (СА).
5. Схемы с переменными операторами. Если А и В зависят от С, то вводится дополнительное требование липшиц-непрерывности А и В по С1 !((А(С)-А(С вЂ” т))х, х)! А= те,(А(С вЂ” т)х, х), (49) 362 , гл; тт. твоиия истоичивости ревностных схим нри всех хсвЫ и Ф 2т, ..., (Ис — т)т,'где с, сове(>0 не зависит от' сс и т, и аналогичное условие для Я. В этом случае составная норма 5Г(1+ т)(! !!У(1+ т)1,о зависит от 1: (58) 1+а арий с — А, где е совет) О ие аавиовт от а и т, так вак с ) (Хи-, и-) прв В~ А.
ет 1+е 4 ( с' сс $'Г (1 + т) ф> = — (А (1) (у (1 + т) + у(Ю)), у (1+ т) + у (1)) + + тт ИЛ (1) — — А (1)) у, (1), у, (1)), (50) 3 У (1) ф,> = — (А (1 — т) (у (С) -)- у (1 — т)), у (1) -(- у (1 — т)) + + тт ((Л (Ф вЂ” т) — -~- А (1 — т)) у; (1), у. (1)). (54) Преобрааучм вырикевве, отовщее л каадратвыл скобкак в правой ча отв тождества (18).
Замечая, что (А (И + И). И+ И) = (А (И + И!. И + И) + т Я (И + И). И + И). ИВ 4 '1)»с'"1) ((» 4 А) Ир»ю)+т((В 4 4)с»с Ис)' А = А (с — т), А- = (А — А)lт, и жедв обоакачеввл У=У«+т)+1У(С+т)!!тя, »=У(С)+1У(С)1т, „, (52! верителем тощдеоаво (18) в следующем виде: йт(В»с »с )+У = У+йт(т, И,! +ту, с с) с) 4 (А-,(»+И! »+И)+т ((В- 4 А)-И- И;). (54! Еелв  — А(4 и А удовлетаорлвт условюо (49), то с. ! и ! ~ + (Х (и.+ и), и + и! + Л ((» — 1 Х) ир и-) = и ва тождества (53) прк В > А/4 следует веравевотао йт (ВИ,, И, ) + у ~ (1 + тсс) Х+ 2т (т,» (55! с с) с) и общем случае, ковда услоавв (49) удовзеюварвст каждый ва опера- торов В(с) в А(с) в отдельвоотт~ змеем са ! )< 4 ( (»+ И),И+ И)+ с са((»»с Ис)+ 4 (ХИ-а»-)1<са11+ —,)У (56) П 3.
клАссы устойчивых туехслойных схем 363 Тождество (55) дает (2 + г) аз 2т [Ву,, у, ) + У (г+ ъ) < 1+ а Х(г) + 2т(~р, у,). г а П/ (57) После того, как написано энергетическое неравенство (57),. вывод априорных оцевок проходит так же, как и для постояквых А и и. Так, вапрвмер, при В > О из (57) для задачи (1а) следует оценка ПУ(с+т)П1а)~М,ПУ(т)П,ак если и> 4 А, 1+г где М~ зависит только от е, са и Формулируем основные результаты в виде одной теоремы.
Теорема 6. Пусть А =А(1) А*(1) >О, ПП =Л(1) = Пч(1) > 0 — переменные операторы, липшиц-непрерыеные по 1, и Л(1)) 4 А(1) для всех 0<1= пт <гаа (59) где е = сопз1 > О не зависит от т и й. Тогда для схемы (П) имеют место оценки )У(1+ч)(ло(Мх!~У(т) П1ю+ Ма гоах [(! ар(1))л а<„,+~!ар-,(У))А,О,Д 'а<ила (60) у. +Ау("'") = ар(1), т(~1= пт(г„у(0) = у„у(т) = уд,' (63) тде у( 'а*) = о,у + (П вЂ” и, — от) у + оау; п„н, — вещественные чнсла..от выбора которых зависят устойчивость и точность схемы. В П 1 схема (63) была приведена к каноническому виду (П) и были найдены операторы П= ', 'А.
2 В = Е + т (а, — ОД'А, (64) при В(1) >О, 0<1= пт < 1„ ПУ(1+ т)Пао < МаПУ(т)П,о+М, тоах Ьр(1')П (6П) алела при В(1)>еЕ, где е сопз1>О„М,>0, М,>0 не заеисят от" т, й. Во избежание ненужных повторений доказательство теоремы опускаем. Замечание. Некоторые требоваввя теоремы 6 могут быть ослаблевы.
Напрвмар, условие В> О можно замевить успеваем В > — сатаА, (62) где са = совгт> О ие зависит.от т и а. Если выполнено (62), то оценка (60) имеет место при т<то та=1/(4са). 6. Схема с весами. Весьма часто встречаются на практике схемы с весами гл. тт. 'гкоРня устоичивости Рлзностных схем Пусть существует оператор А '.
Действуя на (1) с олераторами (64) оператором А ',получим Ву +т Лу(е+ Ау = ~р,т((т=пт(те у(0) =уз у(т) =ум (65) где В=А '+(о,— о,)тЕ, Я= ' ' Е, А =Е, ~р=А '~р. Отсюда видно, что 4 и Я вЂ” самосопряженные постоянные операторы. Применим к (65) теорему 1. Справедливы операторные неравенства 4)Е)0 при о,+о,>0,5, (66) Я А-'+ (о,— о,)тЕ) 0 при о,) о, и любом А(П) )О. (67) теорема 7.
Если А(П) — переменный пололсительный оператор и выполнены условия о, ) о„о, + о, ) 0,5, (68) то схема (63) устойчива, и для нее верна оценка ЦУ(П+т)Ц(ЦУ(т)Ц+ У2(о,+о,) ~~.", тЦ~р(У)Ц, (69) еде Ц У(е+т)Ц = 4 ЦУ(е+т)+ У(е)Ц + З (О,+ Π— З ) Х х Цу(с+т) — у(()Це. (70) Доказательство. 1) Устойчивость по начальныл данным, Так как условия Я) Х/4, Я) О теоремы 1 выполнены, то для решения задачи (65) при ~р = 0 имееьт Пу(П+ т)П = ПуИ')П, Р ( т, и, в частности, ПУ(П+ т)П ( ПУ(т)П, (71) гда ПУ(1+т)П определяется по формуле (70), являющейся частным случаем формулы (24) при А Е, Я=0,5(о,+о,)Е. 2) Устойчивость по правой части, Рассмотрим задачу (63) при у(0) у(т) О.
Будем искать ее решение в виде е уз+1 = Х туз+Се~ уе = О (72) 4~1 где у+с, как функция и при фнкснрованном в= 1, 2, ..., и удовлетворяет уравнению (63) с у=О при и) в+1 и начальным данным у,+, . + 2о,тА у,„, . = 2~у„уь. = О. (73) Подставляя (72) в (63) и учитывая (73), убеждаемся в том, что (72) есть решение задачи (63). Для й., „в силу устойчивости П 3. кллссы устончиВьтх теехслонных схем 365 по начальным данным (71), имеем ПС„+,,П(ПС,+,,П при фиксированном в=1, 2, ..., (74) где ПС +,,П выражается через у„,, и у„+,, по формуле (70).
Из (73) находим у.+,,=2(Е+2а,тА) '1р„и так как Е+ 2о,тА >Е при о, >О, то П(Е+2а,тА) 'Н <1 и Пу,+,,П (2!Ьр,П. По условию уь . = О. Поэтому 4 11 ПС*+., Р= —,1у. 1,*Р+ —,!',а + 1 — —,)!16*+1,*П'= $ = — (от + аз) ~ У,+ел Пз < 2 (а, + аз) П ~Р. ~, 3 т. е ПС„+,,П < ПС,+,,П < 1'2(о, + С,Н! П,П. (75) Подставляя (75) в правую часть неравенства аа ~).-.,~<Х ~С. )..(!, ава получаем для,решения задачи (63) с у(0) = у(т) 0 оценку а цъ'аа н(тат,а.
ах паап са) Отс1ода и нз (71) следует (69). Теорема 8. Если А(т) =А*(О >Π— положительный оператор и выполнены условия (68), то для решения задачи (63) выполняется неравенство Г -П1! Н (+ )П ! ()0+ — ~~Е 1!'р( )! — ° ( 7) н=а где ПУ(т+ т)П дается уаормулой (70). Для доказательства теоремы надо подставить оценки 2т(аР,Уа)= 2т(А 'аР,Уа)(~2т~У.~ (!аР!(, 1(~ (2т~у; ~,, + ~ ~(!рП'„-1, 2т(Ву.,уа) ~)2т(А 'уа,у.) =- 2т~уа ~1 в тождество (18) для схемы (65). Применяя теорему 3 к схеме (65) с постоянным положительным оператором А, нетрудно получить при условиях (68) оценку ПУ(1+т)!!(Пз" (т)П+Мз шах ((!А '(р(З)!)-(-$А 'ф;(у)!!). (78) тпа:ла Отметим еще, что оцзнка (60) имеет место для схемы (63), если А(1) А*(1) ) О, А(П) липшиц-непрерывен по П н п1)~а —— 1 1 ХПАП 366 ' гл.
ть теОРия устойчивости Рлэнсотных схим е — в вида (61) справедлива прп Ое )~ ае — —, г~Аф е а опенка 0(в<1. 7. Примеры. Рассмотрим несколько схем частного вида. 1) Схема (1) с оператором В=хЕ и В=В у, +ктеу;,+Ау= ф (79) устойчива при кЕ ) А/4, т. е. при к> — 1А). (80) Частным случаем схемы (79) является схема Дюфорта и Франкела (схема вромбе) для уравнения теплопроводности . — — О(х~1, г)0, и(х,О)=ив(х)„ дх (е(0, 1) и(1, ь) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
