А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Аналогичный результат был получен в гл. У для уравнения с постоянным коэффициентом й(х). 4. Уравнение с разрывным коэффициентом теплопроводности. Исследуем сходимость однородной схемы с весами (7) в предположении, что коэффициент й(х) имеет разрыв первого рода на прямой х $ в плоскости (х, г). На линии разрыва выполняются обычные условия сопряжения (температура и(х, г) и тепловой поток ( — йи') непрерывны) (и)=0, [йд")=0 при х=ь, г)~0. (23) Будем предполагать, что й(х), ~(х, Г) и решение и(х, г) вне линии разрыва являются достаточно гладкими. Оценим погрешность аппроксимации (невязку) ф = Л(си+ (1 — о)и) + ~р — и, Ли"'+ ф — и,, иео = си+ (1 — о)и.
Пусть $ х„+ 6Ь, х„= пй, 0 < 6 ~ 1, и > 1. Так как оператор, Л вЂ” трехточечный, то фг=О(й*+т а) для всех з~п, 1+и+1. (24) Поэтому нам остается вычислить ф, при 1. и, 1=п+1. Рассмотрим Ьф, = щи~г — и~„ + Ьр„ — Ьиь„, в; = аийл (25) оя он Так как (аи„-) = (йи'); л+ 0(йг) при й ыС'Чх< о хД, и<и С'Чх< о х~), то и„= (йи')„у, + О (Ьг) = (йи')„— (6 + 0,5) Ь (йи')„+ 0 (Ьг), (26) где о, о($ — О, г). 25 а. л. самарские $ ь схимы для ггавнвния тшьиопговодности 337 Если е -1 а(х)=а(х)=~ ) > ~,) а(*+ее)~ "1 (3» то, по аналогии с гл.
1П, б 3, п. 2, убеждаемся, что Р„= 0(й), Ь|„0(й). Очевидно, что верны и оценки Ь|7„= 0(1), (33) Ь (ф; е + ~Р( „+,) = (а — 0,5) 0 (тй) + 0 (тел+ Ье). (34) Из полученных оценок следует, что ~)~ удобно представить в виде . 1р = Ч + у* Ф = Ф (бье+ бье+1)ф $е =0()ее+т е), йЧ =О при (-ьп, 1~а+1, где бь — символ Кронекера. Вводя сеточную функцию е — 1 о е)»= ~Ьрю т),=О, (=2,3,...,Л', ь=е получаем для ф следующее представление: о ф е). + $е, т.
е. Ф = т)*. (35) (36) 3 е1зе'+'~( ~ т~ф" ~ пРи о)нее а О. р е (39) Оценим т),: ц,=о прн 1 ( и + 1~ т)яе1 ~ Йфю (37) е), й(ф„+ф„+,) при () и+1. Перейдем к оценке порядка точности схемы (7). Погрешность х у — и представим в виде з= о+ хе, где и и гв — решение следующих задач: ее = Л (по+ (1 — а) и) + ер, ве = ил = О, и (х, О) = О, г~ — — Л(озе+(1 — о)зе)+ Ц>е, з'= ел=О„зе(х, О) = О. Для оценки и и зе воспользуемся результатами общей теории устойчивости, а именно, теоремами 9, 11 из т 2 гл.
У1: 1и)+~~(~А 'ере1+1А 'ф~+ ~ т1А 'фр(е ~ при а)аее (38) 388 гл. чп. ОднОРОдные схемы для пест»пион»Рных уРАВнений Так как А-'ф ь — решение уравнения Аь ф г)„то ~ А ~ ф ~ ( (— (1, ] 1) ]] (40) (см. гл. П1, т 3, и. 3). Учитывая эатем (37), находим (1. ]т)И = Х й]ти ] =йг]фь]+к]т/ь+фь+г](1 — хны]. $ а+1 Теперь подставим оценки (30), (31) в неравенство (40) и оценки (ЗЗ), (34) в аналогичное неравенство для ]А 'фф после чего воспольэуемся оценками (35), (38), (39) и неравенством уг1 < «!1з*1+ 1о1.
Тем самым докааана сходимость однородной схемы (7) в классе разрывных коэффициентов: Пусть й(х) имеет рагрыв кервого рода при х Е и выло»ноны ус ювия (23), (24), (30), (31). Тогда кри н > о„о Рь 0 схема (7) сходится в сеточной норме Ь, со скоростью 0()г+ч ~)' а наилучшая схема с коэффициентом (32) — со скоростью 0])ге+ ~во~ +ч ]; и,= 2 кри о 0,5, кг,=..1, если очь0,5.
Чтобы получить оценку точности в норме сеточного пространства С (равномерную оценку), следует восполъэоваться априорными оценками (см. теорему 8 иа $2 гл. У1): ]оп~']»~~]фг]»-г+]ф'~»-т+ ~ фр)р ]»-г при о вог, (41) р / г 1/в 1г' 1»~ (— — ~ ~~ т1ч г ~г) при о)«о„(42) р=е где ]г ]» = (Аг, г) = (а, (г-)г1, а также неравенствами (см. гл.
П, $-3) Ь~~ 2 (1' (~*)г]*А, ]з]в» = (а, (х„-)г] «>с,(1, (г„-)г~. Далее, согласно гл. П, $4, имеем /к ~~я Иь- =]ъ] - ~ — ',-]ч]]=дейч]~ Учитывая (37), получаем 1Ч]! = ЬЪ+г + (1 — х +з) т)ь+г =к (ЬФд +(1 — х„+г) (й (фь+Ф+д)~г откуда следует, что 1т)]] = 0(Ук'+ч ') для любой схемы (7), ]т(]]=0(й~' +т ~) для наилучшей схемы с коэффициентом (32).
з ' схимы для тгавниння тш"гоп»звонкости 389 Таким образом, схема (7) равномерно сходится во скоростью 0(.~("Ь ( т ") при тех же условиях (23), (24), (30) и (31): Яс=У вЂ” ~Чс=0(~й+т '). Эта оценка для схемы с опережением (с 1) может быть улучшена, если воспольаоваться принципом максимума. В етом случае используется тот же метод выделения «стационарных» неоднородностей, который применялся в гл. Ч1 при выводе оценки (38). Полагаем рт( ю где и' есть решение уравнения О Аю т» = «)и (43) так что ~й'1с~ —,(1, ~ т)]], ~юД ~ ~— (1, ~«)1Ц (см.
(40)), а Р» определяется условиями э, +Ар ф ф ф» — ю„р(х, О) — й(х, О). (44) Принцип максимума для уравнения (44) дает Р+'1с(РЬ+ Х т(Ь'Ъ+1 Лс). Подставляя сюда оценки для 1юй«Ию,П„6фе1«, получаем 1(Ф1« 0(т+ й) и, следовательно, Ю« = 0(г+ Ы. Для схемы с коэффициентом (32) получим 1з'Ц ° 0(У»»+т), т. е. она сохраняет порядок точности в классе разрывных коэффнциентов по аналогии со стационарным случаем. 5. Однородные схемы на неравномерных сетках. На практике часто применяются неравномерные по х и г сетки. Неравномерность сетки по г для двухслойной схемы не вносит никаких изменений в написанные выше формулы и оценки. Следует лишь иметь в виду, что шаг т т, зависит от у.
Порядок аппроксимации по времени при этом не меняется, однако выражение 0(т") может означать либо 0(т~ ), либо О(( шах тД ), впрочем, »с)с)» это всегда видно по ходу изложения. Случай, когда сетка неравномерна по х, требует специального исследования, которое проводится по аналогии с $ 4 гл. 111. ' Пусть в, (хо 1 = О, $, ..., )Ч, х, О, х,~ 1) — произвольная сетка на отреаке 0 < х < 1 с шагами й, х< — х~ „ 1 1, д г ди1 2, ..., У. Оператор Ьи= — (й — ) в соответствии с 3 4 гл. П1 390 гл. ч11. ОдноРОдные схемы для нв»стационаеньдх угьвнении аппраксимируем разностным оператором С Га»ьд(Р»ьд — Рд ас(У» — Ус д) 1 у = (ау-) , с Гс~ ьс+д ьс где а, определяется по тем же формулам, что и на равномерной сетке, например, ос=А()с(хс+а)с»)), или — =А~ + „1, (45) а» (а (а»+ оа )1» причем — 1 < а < 0 (см.
и. 2). Для правой части будем использовать простую формулу 9 = Ч' = 1(хь 11+о,о) = 1(х», 1) (46) если )(х, 1) — непрерывная функция х. Если же )(х, 1) может иметь разрывы первого рода в узловых точках, то полагаем Мс о+ "»+д)с+о вь.
Где дсао = д(ха», 1) или *»+ох срс = »рс = „- ) )»„х, 1)сох. (48) "с-о,о Рассмотрим схему с весами У»=Л(ОУ+(1 — о)У)+»Р, хсио»„0(1 УХ< Т, (49) У(х, 0) =У,(х), хси ода, У(0, 1) и»П), У(1, 1) =и»(1), Лу=(а(х)у-)„, 0<с»<а(е. Приведем эту схему к счетному виду. Известно значение у' на слое с=»с, тРебУетсЯ опРеДелить У'+' на новом слое 1 дд+с из условий Асу», — С у, + В у +, — — Вс, д = 1, 2,..., У вЂ” 1, уо = ид(с)+д), ул = ио(сд+д), оасх оас+ т А» = — ', Вс = — ', С» = Ас + В» + 1 с ь ь Эта задача раскается методом прогонки. После того, как указан вычислительный алгоритм, перейдем к оценке точности схемы (49) и покажем, что она сходится равдаа( номерно со скоростью О ()до+ т ) в случае гладких функций сс(х), )(х, 1). З», схемЫ для уРАВнения теплопговодностн 391 Пусть у~» — решение этой задачи, и(х, ») — решение исходной задачи (1) — (3), з» = у» — и» вЂ” погрешность схемы (49). Подставляя в (49) р з+ и, получаем для х задачу г, = Л(оз+(1 — о)в)+»З, в»ее»й, 0<» <Ух< Т, (50) з(х, 0) О, х»и»ом з(0, 1) =з(1, в) =О, 0<»=ух < Т, где фх, ») =Л(оп+(1 — О)и)+»р — и, .
(51) — погрешность аппроксимации задачи (1) — (3) схемой (49). Воскольэуемся уравнением баланса на отрезке х»,, < х ~ х»+»»о где х»-о» =х» 0,5Ь», х»+,л = х»+ 0,5Ь»+».' и»+о,в »ч+о.в 12 Т»(х, »)»Ух= э»(х»+о,»1») — ш(х»-оли»)+ ) У(х„»)»(х (52) и»-в в и»-о,в (здесь»Р(х, ») = У»(х) — "(х, »)), и преобразуем выражение для повязки»у. Для этого разделим обе части тождества (52) на Ь» = 0,5(й, + й»+,) и вычтем его из (51). Тогда получим $=(ай — йа)р +»р„ где 9=о(х»-о,», »), а ж+в,в 1 Р ди )»»= р» У»+-, ),— »(х. »)дх — а».». ж-о,в Воспользуемся разложением вида (см. 3 4 гл. П1) »Р» = У»+ з (Ь»У»-о.в)й,»+ 0(й») и преобразуем ф записав его в виде 99+1» ' (53) Ч1 = а»и-,' — (йй)»»»в+ а (и — У У»-»Ув »ох» ° У+ /в "в У ' р»'»У+»Ув (54) (здесь й'=доклад»дх, У' дУ/дх и т. д.). Тогда »з» = 0($~»+ т').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
