А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 59
Текст из файла (страница 59)
клАссы устоичнвых тгехслоиных схем 355 имеет координаты У!1+, — — — (у„о, + у„) и Уг,'„, = у„о,— у„. го) Нетрудно видеть, что функционал (4) удовлетворяет всем акспомам нормы, а именно: !!ау +,!1 =»а111У„+,11, 11У.~~11 >О для любых у юН, у +,жН и 1!У„+,11=0 только прн у„у„+, О; 1!У„+, + У„, 11 ( !!У„+,11 + 1!У„,11. ' Определим теперь понятие устойчивости для (1».
Трехслойная схема (1) называется устойчивой, если существует норма (4), и прн всех достаточно малых т(т, н 1Й! (»», можно указать такие положительные постоянные М, и М„не зависящие от т, Ь и выбора у„у„ф(Г», что при любых у„у„ф(Г) и всех о т, 2т, ..., (и,— 1)т для решения задачи (1) справедлива оценка ЦУ«+ т)Ии»< М1ЦУ(т)Ц( о»+ Мо шах Цф(У)Цсо» (5) о<уог или оценка ЦУ(1+т)И!м<~МоИУ(т)И(,о» + Ма шах ~И!ф(У)Ь>+Цф(«')исо!)' (8) где 11оз — некоторая норма в пространстве Н, ИУ(о+т)И!» и ИУ(т) И(,о» определяются по формуле вида (4), так что ИУ «+ т) Цго» = — Цу(1+т)+ у«)И(о,,) + Иу(г+ т) — у(г) Ио(, )„(7) ИУ(т) ~~о» = 4 ИУ1+ УоЦ(,о) + Иуг уоИ(,о)о (8) Ц ' Иг оь Ц 'Иг о1 — некоторые нормы на Н.
Если А и  — постоянные операторы, то ЦУИ!и и ИУИ(оо» обычно совпадают. В общем случае ИУДА+ т)11,о и 11ф(т»11<о1 зависят от о =ит, так что надо писать 1У(о+ т)!!и,,> вместо 11Ю+ т»!1,о и 11ф«)'1гх е вместо !!ф(Г»!!сом Как будет показано ниже, нормыИ ° И«д» и И ° Ц(о )являются энергетическими нормами„построенными на операторах А и В. Поэтому будем предполагать, что операторы А н В являются (если Н вЂ” гильбертово пространство) самосопряженными: А А*, В = В*, (9» положительными: А > О, В > О. ИО» 2. Основное энергетическое тождество. Перейдем к выводу энергетического тождества для трехслойной схемы (1), справедливого для переменных операторов А =А(т», В=В«), В В(г) и используемого прн получении априорных оценок, выражающих устойчивость схемы по начальным данным п по правой части. оЗ» 356 Гл.
Тс. теОРия устоичивости Рлзпостиьсх схем Учитывая, что 1 1 1 - с У = — 2 (У+ у) — —,(У вЂ” 2У+ У) = 2 (у+ У) — — 2у(сс перепишем И) в виде Ву +т (В 2 А) у(с+ 2 А(у+ у) = ср у(0) = у»~ у(т) усе (11) где А =А(1„)=А„, В=В(г„) =В„, В=В(1„) В„. Умножнм И1) скалярно на 2ту» = т(ус+ус) у — ус 2Т(ВУ» Уо)+т ИВ 2 А)(ус Ус)е Ус+Ус)+ + — (А(у+у), у — у) = 2т(ср, у ). (12) Пусть А и  — самосопряженные операторы.
Тогда  — 0,5А ( — 0,5А)*. В силу леммы 1 из 4 2 имеем И 1 )( ) + ) = (( — 2 А)уо ус) ((В 2 А) ус ус), (13) (А (у+ у), у — у) = (Ау, у) — (Ау, у) (14) Прибавим и вычтем (Ау, у) справа в И4): (А(у+у), у — у)*=НАУ, у)+(Ау, УН вЂ” НАУ, у)+(Ау, УН. И5) Л е м ма 1.
Пусть А А» — савсосопрлвеенный оператор. Тогда (Аи, и)+(Аз, г) =-(А(и+ в), и+ в)+ — (А(и — г), и — з) (16) для любых векторов и и з ив Н. Докааательство. Так как А Ас, то (Аи, г) =(и, Аз) = (Аз, и) н (А(и+з), и'+з)+(А(и — з), и — г) =НАР, и)+2(Аи, з) + +(Аг, гН+ПАи, и) — 2(Аи, з)+(Аг, зН 2НАи, и)+(Аз, зН, что и требовалось доказать. Полагая в Иб) и = у, з = у, преобразуем И5): (А(у+у), у — у) =0,5П.4(у+ у), у+у) +(А(у — у), у — УН— — 0,5ПА(у+у), у+у)+(А(у — у), у — уН. И7) 3 3. классы устОйчиВых тгехслоиньтх схем 357 Подставим теперь И7) и ИЗ) в И2) и учтем, что (А (у — у), у — у) = тз (Ауо у~), у; = (у — у) 'т = уь (А(у-у), у-у) =то(Аур уу).
Тогда получим основное энергетическое тождество для трехслойной схемы И): 2т (Ву о, уо ) + ~ — (А (у + у), у + у) + т~ (( — 4 А) УО УТ) ~ = ~ 4 (А (у + у), у+ у) + т~ Я — 4 А) Ут, у-,)] + 2т (ф, у ). (18) При его выводе мы использовали лишь предположение (9) о самосопряженности А и В. 3. Устойчивость по начальным данным. Напомним определение устойчивости по начальным данным и по правой части. Схема И) устойчива по начальным данным, если для задачи Иа) справедлива априорная оценка ) У(Т+ т) $м(~ М,) У(т) ~(тз). (19) Схема И) устойчива по правой части, если для задачи Иб) имеет место оценка !!У!1+ т)!!<о ( М, шах !!ф(Ф')!!Оз (20) о<п<т илп оценка 1У(Т+т))п> М, шах (!!ф(у)$,>+$ф;(у)~м). (21) о<П<Т Пользуясь неравенством треугольника, из И9) и (20) или (21) получаем оценку (5) или (6).
Основное изложение проведем, предполагая, что А и В- постоянные самосопряженные положительные операторы, В— несамосопряженный неотрицательный оператор: А =А*) О, В=Ве)0, В~О. (22) Этп условия определятот исходное семейство схем. Рассмотрим задачу Иа). Для нее тождество И8) примет вид 2т(Вуо ур) + ~~У(Т+ т))' = ~У(Т))', Т = пт~о (23) где ~ У (Т + т) 1' = 4 (А(у(Т+ т)+у(Т)), у(Т+т) +у(Т)) + т~(( — 4 А) Ут Ут)ю (24) )У(1))з = = — 4(А(у(Т) + у(Т вЂ” т)), у(Т) + у(Т- т)) + т'(( — 4) ур. ут). (25) 358 ГЛ.
'Л. ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСтн РпзнтжтВЫХ СХЕМ Мы будем пользоваться также индексными обозначениями, полагая У(1+ т) ° У„+, и 1 1 1 Уп+1Р = ~ (А(уп+~+ уп), уп+г+уп)+т'(( — 4 А) усп, усп) = 1 г и = 4 ~ Уп+1 + Уп Пл + ~ Уп+1 — Уп Пл йл. Из (24) видно, что ПУ(1+ т)1Р ) О при любых у(1) Ф О, у(1+т) чьО, если А и В-А/4 положительны, А) О, В)А/4. Теорема П. Пусть А =Ап >'О, В =Вп) Π— постоянные операторы. Тогда условия В = В и ) О для всех 1 я в„ (26) В)АА (27) достаточны для устойчивости схемы (П) по начальным данным. 'При выполнении условий (26) и (27) для вадачи (Па) имеет место оценка ПУ(1+ т)П < ПУ(т)П, (28) гдв ПУП определяется согласно (24).
Действительно, при В ) О из (23) следует ПУ(1+т)Пг< ПУ(1)П*, ПУ(1+т)П < ПУ(1)П «... ПУ(т)П. Замечание П. '1'еорема П верна, если .выполнены Условия В) — А, А)О. Однако при этом ПУП является полунормой. Замечание 2. Трехслойную схему (Па) можно свести к двухслойной схеме МУ, + ФУ - О,. У, ж Н*, (29) где У У„жН', У, (У„+,— У„)/т, .Ф и М вЂ” операторы, действую)гие в Н'. Для этого достаточно' определить вектор (1 Уп = (ь- (Уп+ Уп-ь)~ Ув — Уп-1~ и операторы оФ и М как операторные матрицы с элементами, являющимися операторами на Н: р В+О,зтА т(Д вЂ” ~ А) 1 —.1 -.
);1 -К Если А =Ав, В *В», то оператор .Ф: Н*- Нч является. само- сопряженным, лу =Фп, а оператор М несамосопряжен. В этом э 3. клАссы устОЙчиВых тгехслояных схем 359 (26) (27е) случае »У»зЕ'= (.рРУз У) = (АУП, У ) + (( — 4 А) У, У ). Кроме того, Ф > б, если А > 0 и В > — А. 1 Нетрудно'убедиться в том, что условие устойчивости двухслойной схемы (29) в Нее ЯЪ2лу (30) эквивалентно требованиям В = ВЯ%О для всех гяез„ В) — А..
Прп этом имеет место оценка »У.+ Ь <»У» е. (28) гДе»Уе+,)М вЂ”вЂ” — »У„+ +У„)А+»У„+з — Уе» Условие (26) не только достаточно, но и необходимо для выполнения оценки (28). 4. Устойчивость по правой части. Рассмотрим теперь эадачу (16). Будем предполагать, что выполнены условйя (9), (10) и (27). Так как А и  — постоянные операторы, то тождество (18) для (16) имеет вид 2т(Ву.,уе)+»У(Г+т)»'= »У(Г)»е+ 2т(~р,уе).
(31). При выводе априорных оценок вида (20) или (21) основную роль играет' оценка функционала 2т(~р, уе). Заметим прежде всего, что имеет место очевидное неравенство 2т(~р,у.)(тее»у. »е+ — »<р»е, . (32) е где е, сопэс> 0 не зависит от т и Ь. Теорема 2. Пусть А=А*>0, В=Во>0 — постоянные операторы. Тогда при условиях В>еВ, В>А/4, с=сонет>0, для решения задачи (1) верна априорная оценка г 1 ° 6 » (~+ )М ()»+=~,Е»р(У)»'~ (33) 1/2е Достаточно оценить лишь решение задачи (16), так как теорема 1 прп В>еВ сохраняет силу.
Положим в (32) е,=2е. Тогда иэ (31) следует + )» » ( )» + 2е (34) ил, чь теОРия устОйчиВОсти Разностных схем 360 с с ~', т~у. (У)$с» (— ',,'5', т!!<р(У)$г, с' с в так как 1У(1+ т) !!с > О. Чтобы из (41) получить оценку (38), докажем следующую лемму. Л эмма 2. Если у(0) ='у(т) = О, то с $у(с)$с+$у(г+т)$г(41 ~ т~у. (У)~с.
(42) В самом деле, с ' с у (Ф + т) + у (с) = 2 Х ту. (У), $ у (г + т) + у(с) ~г ( 4г ~ т ~уо Щ. (43) Остается просуммировать это неравенство по переменному 1 т, 2т, ..., пт, учесть при этом, что !!У(т)!! = О, и ватам воспользоваться теоремой 1. Без доказательства приведем следующую теорему. Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда. схема (1) устойчива по правой части и для нее при г) т верна оценка ИУ(с+т)В(ИУ(т)И+ ду, пах (Псу(У)Ил- +!!цФ)!!л-с), (35) ч<с'лс где М, = совес) 0 гависит только от г,. Теорема 4.
Пусть А=А*)0, В=Вг)0 — постоянные неотрицательные операторы, а В = В(с) — переменный несагсосопряженный положительно определенный оператор В) еЕ, ~е совес) О, (36) где е не ваеисит от !си т,и выполнено условие В) — А. (37) Тогда для решения вадачи' (1б) справедлива априорная оценка Г ' 1! !!у (г + т) ~( —, ~ „)'„т) ср (г) (с~ . (38) с'=с Рассмотрим тождество (31). Из (36) и (32) при е,'= е следует че) у~ !!г + $ У(г+ т) )с(')У (г) $г+ — '1ср(г) $с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
