А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Доста.точность. Пусть выполнено условие И4). Из энергетического тождества для задачи Иа) (ц = 0) 2т(( — 0,5тА)ун у,)+(Ау, у) = (Ау, у) следует неравенство (Ау, у) ((Ау, у) или(у )~г<~ у)», откуда получаем ~(у~+и(~л ~ Пуь~)л ~~ ° ° ° ~~ ((уь1» Необходимость. Предположим, что схема Иа) устойчива и выполнено неравенство И5).
Докажем, что отсюда следует операторное неравенство И4), т. е. (Во, о) >0,5т(АО, о) для любого огвН. И7) Будем исходить иэ тождества И6) на первом слое (и 0): 2т(( — 0,5тА)у (0), ув(0))+(Ау, ую) (Ауе уь). В силу И5) это тождество может быть выполнено только при 2т(( — 0,5тА)уг(0), у~(0)) (Аун у,) — (Ау„у,) >О, 334 ' гч. ть твогия устойчивости Раен Замечание 2.
«Естественность» услов нить на простейшем примере. рассмотрим ра где а, Ь вЂ” Положительные числа, соответствующую дифференциальному уравнению Ь вЂ” + аи = О, 1) О, и (0) = иа. Из разностного уравнения находим та'1 та у.+ =(1 — —,>у., !у.+г!<!1 — —,~ !у !. Требовапие устойчивости (у.„! ( (у,(, очевидно, будет выполнено, если (1 — та/Ь! < 1 или — 1<1— — та/Ь( 1, т. е. при Ь ~ 0,5та.
Аналогия с операторным неравенством В > 0,5тА очевидна. Пример. Пронллюстрируем эффективность условия устойчивости (14) на примере схемы с весами у, +А(ау+ (1 — а)у) =' О. Запишем ее в каноническом виде (см. т 1) (Е+атА)у,+Ау=О, В=Е+атА. (18) Если А =Аз) 0 и не зависит от С, а а ) — 1/(т!)А)!), то схема с весами принадлежит исходному семейству (см. п. 2). Необхо- ' димое и достаточное условие устойчивости (.14) имеет впд В.— 0,5тА =Е+ (а — 0,5)тА ~ О. Учитывая, что А ( !!А1Е и,Е ~ А/!)А!), получаем  — 0,5тА ~ (1/)!А!)+ (а — 0,5)т)А.
Отсюда видно, что условие (14) эквивалентно неравенству 1 а~~аз |де ао =. .2 т(А!!' Это условие необходимо н достаточно для устойчивости схемы с весами. В случае модельной схемы теплопроводности у~ = Л г(ау + (1- а) у), Лу = у-, 0 < х.= й < 1, ййг = 1, у (О, г„) = О, у (1, т ) = О, у (х, 0) = и (х), х = й ен [О, 1], соответствующей первой 'краевой задаче для уравнения тепло- Я 3. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОИНЫХ СХВМ | проводности 335 дл да дс дхс' 0 (1, 1)0, и(О,с) = и(1,с) = Ос с ЗвО, и(х, 0) = ие(х), мы получаем (см, $1) А = — Л, Лу = Лу I при уыПА=НА, 1 ьз о =-— Ф 2 зла' 4т сов— 2 йАй = — соз — (-4, 4 ель 4 2т(ВУ„У) + 2т(АУ, у) О.
Учитывая формулы У вЂ” у(У+У)+ Уо У вЂ” (У +У) — -уус И9) и пользуясь леммой 1,найдем 2т(Вус~ у) (В(у — «) у+у)+ ~(Вус, ус) = %у йв — йуйв+ т'йусйв 2т(АУ У) =Х (А(У +У тус)~у +У+тус) = 2 йу+УЬА 2 йусйл После подстановки этих выражений в И9) получим йу В+ чз(йусйсвс — 0,5тйусйл) + 0,бтра у + уйсл = йуййс (20) ь' Условие о)~ам ос =->од было получено в гл.
Ч методом 4т разделения переменных. Предположим теперь, что А > 0 не является самосопряженным. Тогда схема И8) не принадлежит исходному семейству. Однако ее можно заменить эквивалентной схемой из исходного семейства. Так как А > О, то существует обратный оператор А ' > О. Применяя А ' к уравнению И8), получим Яус+ Ху О, где 8 А '+ отЕ, Х Е. Оператор Х В=Хе>0 и не зависит от с, В>0 при о>0. Условие устойчивости И4) в Нт = Н имеет вид Я вЂ” 0,5тХ=- =А '+(о — 0,5) тЕ>0 и будет выполнено при о>0,5.
Условие о > 0,5 достаточно для выполнения оценки 1У„1 (!! У,1 при о > 0,5, А т" А*, А > О. 5. Устойщвость по начальным данным в Н„. Напишем второе энергетическое тождество для схемы Иа), предполагая, что и  — самосопряженный оператор, В Ве > О. Умножим скалярно Иа) на 2ту: 336 гл. Иь тногия устОйчиВОсти Раен зстных вм Теорема 2.
Нусть в схеме (1) онвраторы А и В нв зависят от 8, А» = А ) О, В* = В ) О. Тогда условфе (14) достаточно для устойчивости схемы (1) но начальным дан ым в Но с М, = 1. В самом деле, пусть В > 0,5ТА. Тогда [ус[в — Оэ5т[у~ Д = (( — 0,5ТА)~ь ус) ) 0 и (20) дает Ну[[в ( ПуП„т, е. Пу(()П, ( Пу(0)П,, Замечание. Если А и  — перестановочные операторы, то условие (14) необходимо и достаточно для устойчивости схемы (1а) в Но. [)Уо[[о ~~ Ьо[[о, где Р = Р* ~ 0 — любой оператор, перестаповочный с А н В, например, .Р=Е, Р А' или Р=В' при В=В*, так что Пу„!!- ( [[уо1), ПАу»П (ПАуг[!,!!Ву !! < [)Вуо[! и т.
д. 6, Оценки нормы оператора перехода. Для исследования устойчивости может быть применен метод, основанный на оценке нормы оператора перехода со слоя ка слой. Этот метод по существу тоже является энергетическим. Разностную схему (1а) запишем в виде у=Яд, Я=Е-ТВ 'А, (21) где Я вЂ” оператор перехода. Пусть Р =Р» ) 0 — произвольный постоянный оператор, заданный в Н. Тогда имеет место очевидное неравенство )[у[[о = [Ну[[о ~ [[Я))о[[у~[о, (22) где [Я[5 определяется как наименьшая постоянная М в нера- венстве (РЯу, Яу) ( М(Ру, у).
Из (22) видно, что схема (21) устойчива в Но, т. е. [[у ![ ~ [[у,[[о, если норма оператора перехода не превосходит единицы: [[Я[[о~1. Это условие эквивалентно требованию неотрицательно- сти функционала (М = 1): 1о (Ру, у) — (РЯу, Яу) ~0. Рассмотрим случай Р = А и покажем, что [[Я[[ < 1 прп В~0,5тА. Подставляя в функционал У., выражение для Я, по- лучаем ,Пл[у) =(Ау. у) (АЯу Яу) = = (Ау, у) — (А(Š— ТВ 'А)у, (Š— ТВ 'А)у)— = 2Т(Ау, В 'Ау) — т*(АВ 'Ау, В 'Ау), или, после замены х = В 'Ау или у А 'Вх, Хл [у[ = Хл [х) = 2т ~(Вх, х) — — (Ах, х)]. (23) сы истоичивых двтхслонных схим 337 условия [Я(!а~~1 п ВЪ вЂ” А эквивалентны, Отсюда ви т.
е. верна те Поскольк А» > О, то существует квадратный корень А" = (Аэ)» > О. Тогда можно преобразовать выражение для У,[у) следующим образом: У»[у! = (А "у, А'у) — (Аиду, Аьуу) = = !!Аэу!Р— )!АвВуР = !)АиуР— !!(Š— тС)А"уР, где С АчВ-'А". Проведя замену и =Аиу, получаем 1, [Л = !)иР— )!(Š— тС)иР, отсюда следует„что условие !!Š— тС!! < 1 (24) эквивалентно В> 0,5тА. Здесь не предполагалось, что  — самосопряженный оператор. Рассмотрим случай, когда В = В* > О, А = А» > О. Тогда можно показать, что условия Хв[у) > 0 и В > 0,5тА (25) эквивалентны. Так как В = В»>0, то существует Вь = (Ви)»> > О. Этим же свойством обладает оператор С ВвА-'Вс С вЂ” С» > 0 Последовательно проводя замены В вАу = х, С"х = и, С В"А 'В", В-"и = и, получаем Ха[у) = 2т(Ау,у) — т'(Ау, В 'Ау) = = 2т(Вм'х, А 'В'~'х) — ' т' (х, х) = 2т (Сх, х) — тз (х, х) = = 2т (и, и) — тз (С 1и, и) = 2т (и, и) '- тз (В ~ »АВ ~ зи, и) = = 2т [(Во, о) — 2 (Ао, и)].
Таким образом, Х,[у) преобразован к тому же виду (23), что и У»[у): Хв [у) = 2т~ (Ви, и) — ~ (Ао, и)], где и = В-вСьВ ьАу у А-'ВьС-ьВво Из этой формулы следует эквивалентность условий (25), т. е. справедливость теоремы 2. Метод оценки нормы оператора перехода тем самым позволяет доказать, что условие (14) необходимо и достаточно для устой- 22 л, л, сам»ее»из 888 1'л. у1.
'гвоРия устойчивости Р»зностных ем чивости схемы (1) ло начальным данным в Н~ (при ВФВ*) и Н, (при В Ве>0) с постоянной М,-1. 7. Метод разделения переменных. Если оба оператора А и В являются самосопряженными, А =А» >О, В=В*>0, (26) то устойчивость схемы (1а) в Н„ и Н, при В~~уА (14) можно доказать с помощью «меуода разделения переменных» по аналогии о гл.
У. Пусть Н вЂ” размерность конечномерного пространства Н, Л,— собственные значения и $4 — ортонормированные собственные функции следующей задачи (см. гл. 1, $2 и Дополнение, $1): А$»=Л„Щ», й= 1, 2, ..., Н, (27) причем (Вта, $„) -б»„(б»4=1, б, =0 при ЙФ и»). Все собственные значения Ла задачи (27) положительны, так как А >О. Решение задачи (1а) будем искать в виде у(й) =,ч~', с»(()йа. (28) »-1 Учитывая, что Ау= 3 с»А$» = 3 Лас»ВЗ», после 'подстановки »=1 »=1 выражения (28) в (1а), получим а()+ Л»с»(т)~ щ» = О. Отсюда в.силу ортогональности (З») следует са (С+т) — «а (1) + Л»с»(1) = О, с»(Ф+ т) = (1 — тЛ»)с»Я, у(т+ т) = ~ с»($ + т)»ьа = ~с',у (1 — тЛ») са(Й) $».
»=1 4=1 Оценим норму )у(»+т))~л = (Ау(1+ т), у(1+ т)). Замечая, что 3 у(С))~а = 3 са (1) Л»В»ьь ~л~~ ~са (З) ьа» = ~ Л»с»Я, 4» 1 а=1 / а 1 находим я Ф 1у(1+тф= Х Лас»(1+т) < шах (1 — тЛ»)' 3 Л»с»(1), а 1 1«а<» а 1 ()у(1+ т))) ( шах !1 — тЛ»! 1у(т)1( . 1«ася ф ". КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ Отсюда видно, что 1у(1+ )1„< Пу(1)1 1у(0)1„, 339 (29) если )1 — тЛ,( < 1 прп всех й = 1, 2, ..., Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
