А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Опег»тогно"Рлзностныв схемы 329 имеют вид линейных операторных неравенств для операторов А и В, заданных на гильбертовом пространстве Н» =Я». 7. Аппроксимация и сходимость. Понятия аппроксимации, сходимости н точности для операторно-разностных схем вводятся по аналогии с соответствующими понятиями для операторных схем А»ул (рл, введенных ранее'в гл. 11, 5 4. При этом возни- кают лишь некоторые редакционные изменения. Так, напри- мер, наряду с нормами 1 1(сл),!! 1(ол) надо ввести и нормы !у»о(! )3(сл,) = шах (ул! ((а )!)(сл), о<с=а о<с„ 1(рл! (Го)!)( л,) = шах 1(рл! (! )1(ол). елс а~о<!а Итак, пусть Яо — некоторое линейное пространство, на котором введены нормыЦ(л) и Н(ол). Полученные нормированные прост- ранства обозначим Я„н Я» соответственно.
Будем предпола(!) (о) 'гать, что ул. (8а) ~ Я'л'), р»о((а) ~ Ял') для всех („= нт, а операторы схемы (4) действуют пз Ял' вЯ»о.' Ал, Вл' Ясл"-~-Ял". Пусть Я(е') и Я(о) — нормированные пространства с нормами 1 !)(! ) и $ !(о ), и(!) — абстрактная функция сш (О, Т) со значе- ниями в Я(,'), )(!) — абстрактная функция г(я (О, Т) со значени- ями в Яе . Введем далее линеиные операто ы Ял, с(=1, 2, (о) (а) проектирующие Я',"' на Я), '. ил = РРи~ Я~", если иен Я,',л), (л = У~~ ~ ен Ял, если с ен Яе . Будем предполагать, что выпол(з) (о) (о) иены условия согласования пори: 1)ш (!(!)лл )Ц)=))((с( )))(а) где (!)( ) ее Яе(, а = 1, 2. 1»)-~е Пусть ул,(гс) — решение задачи (4) и иП) — непрерывная функ- ция 8, так что и(с))с с, =и(Ь) =и'. Рассмотрим погрешность зс„=у)с, — и)с. Будем говорить, что схема (4) сходится на абст- рактной функции и(с) енЯо., если (!) Пш шах 1уь, — ил)1(сл) = О.
)л( ея оочсс)е Схелса (4) сходится со скоростью О()Ь!" + т'), или имеет точ- ность О()Ь!" + т") на функции и(с) ~ Я(е!), если шах 1у~ло — йл 1(сл) ~ ~М(! Ь'! + тл), овуссо вде М =* сове! ) О не зависит от Ь и т. 330 гл. Т1, теОРия устойчивости Рлзностных схем Априорной характеристикой схемы является погрешность аппроксимации.
Погрешностью аппроксимации на функции и(1) для схемы (4) будем называть невязку ил~« — и), фле= Вло + Алти) — Фл« ~ало = «р(г), Ь,т). Схема имеет аппроксимацию на функции и(1), если шах ~ф'~(ол)-л-О при )Ь]-ьО, Т-~О. (31) «<в<)о Схема (4) имеет аппроксимацию 0(1Ы" + т") на функции и(8) ен Я~~о~, если п1ах ~оу'~(«л) (М() Ь) + тл), «<«<1« зде М = сопз« ) О не зависит от Ь и т. Для погрешности з~ = у' — йл получаем задачу о)+1 о« В:.+Аз~=1уэ, ) =0,1,2,..., го Уо иол (32) Если схема (4) устойчива, то для решения задачи (32) справедлива оценка ооз'~(«л) ~МДуо — ил)(1л) + Мо шах ~'ру~(«л). о<у<в Отсюда следует утверждение: Схема (4) сходится на функции и(1), если она устойчива, имеет аппРокс маЦию на и(1) и начальное значение Уо аппРоксимирует элемент и(0): 1У«л« вЂ” ил«1(1л)-~-0 пРи )Ь)-э-О, т-~-О.
Схема (4) имеет точность 0()Ь)" +т') на и(1); если ока Устойчива, имеет аппРоксимаЦию О(!Ы" +т") на и(1) и )У«в — иЦ(,л) = О (! Ь!" + т'). В частности, и(1) может быть решением некоторого дифференциального уравнения. В этом случае говорят, что разностная схема аппраксимирует дифференциальное уравнение, если выполнено (3$), и т. д.
Отметим, что приведенное в гл. П, $ 2 утверждение «если схема устойчива и имеет аппроксимацию, то она сходитсяо следует понимать так: имеется аппроксимация как разностного уравнения, так и начального значения (если положить уо = =,у~~пи(0), то Ьол« вЂ” ил(0$1л)=0). ~, з г. кллссы гстончивых дввхслоиных схим 331 Иб) или оу(С+т)>о>н>~(М»|уо>п>+ Мо шах (П>р(»')Ь>+~~р;(»')1(о,>). (6) о<к<о В качестве нормы П.Псц будем пользоваться энергетическими нормами ПуП» У(Ау, у) при А Ао ~ О, (У) ПуПо У(Ву, у) при В Во)0, (8) а также основной нормой Пуб У(у, у).
в 2, Классы устойчивых двухслойных схем 1. Постановка задачи. При изучении устойчивости двухслойных схем будем пользоваться их канонической формой Ву, + Ау = >рП), о = пт ои в„у(0) = у». И) Пусть Ж = Н» — конечномерное вещественное пространство, (, ) — скалярное произведение, ПхП = У(х, х) — норма в Н,. Операторы схемы И) А и В в общем случае зависят от Ь, т и й Условимся зависимость от т явно не указывать. Наша ближайшая задача — найти достаточные условия устойчивости схемы И) и получить априорные оценки решения вадачн И), выражающие устойчивость схемы по правой части и начальным данным. Решение задачи И) можно представить в виде суммы у=у+у, где у — решение однородного уравнения с начальным условием у(0) = у(0) = у»: Ву, + Ау = О, г ои в„у(0) у„ Иа) а у — решение неоднородного уравнения с нулевым начальным условием Ву,+Ау=ф(г), гоев„у(0) О.
Оценка решения задачи Иа) Пу(г+ т)ггц < М,Пу(0)Псц (2) означает, что схема И) устойчива по начальным данным, а оценка решения задачи Иб) Пу(г+т)Псц (М, шах Ьр(о')П>»> (3) о<к<» выражает устойчивость схемы И) по правой части. Мы будем также пользоваться и другим определением устойчивости схемы по правой части ~у(г+т)$,>(М» шах (П>р(У)П!о>+~<у;(У)()<„>)» (4) о<к<> где П>У(С') = (>р(у) — <р(у — т))/т. Из (2) и (3) или (4), в силу неравенства треугольника$у~!»>(~у'ф»>+)»у По!»>, следует априорная оценка Пу(г+т))!,>(М,~уо~!»>+М, шах ~~р(г')!((о> (5) о<я<о (9) 332 Гл.
ч<. теОРия устоичивости Разностнь<х охи/м Вудем говорить, что схема (1) устойчива К Н„(или Пг), если выполнено (5) с !! (!<,< — !! )!„(или !! !!<,< —— !!.((г). 2. Исходное семейство схем. Исследование устойчивости бу- дем проводить в некотором исходном семействе раэностных схем. Операторы А и В считаем ограниченными линейными опе- раторами, заданными на всем пространстве Н,, <х)(А) =Ж(В) = = Н,. Всюду будем предполагать, что разностпая аадача (1) раз- решима при любых входных данных у, я <р(1), т. е. что существу- ет ограниченный оператор В-' с областью определения !Ю(В ') = = Н,. Для упрощения выкладок детальное изложение проведем в предположении, что: 1) операторы А и В не зависят от 1 (постоянные операторы); 2) оператор  — положительный, В>0; 3) А — самосопряжепный и положительный оператор, А = А*> О.
Условия 1) — 3) и требование разрешимости выделяют из мно- жества всех возможных схем (1) семейство допустимых схем (исходнос семейство). Условие 1) может быть ослаблено, т. е. бу- дем иногда рассматривать операторы А и В, зависящие от 1, А = А (1), В = В(1). Схема с весами для уравнения теплопроводности, рассмотрен- ная в примере 1 2 1, п. 3, имеет операторы А — Л, В=Е+ +отА. Так как А ~!)А!!Е, Е>А/(!А(!, то В> (1/!(А!!+от)А >О, если о > — 1/(т!!А!!).
Оператор А =А*> 0 не зависит от 1. Таким образом, условия 1)-3) выполнены и указанная схема принад- лежит исходному семейству схем при о> — й*/(4с,т), где с,= шаха(х). <а' л 3. Энергетическое тождество. Исследование устойчивости схе- мы (1) проведем методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (1) скалярно на 2ту, = 2(у — у): 2т(Вун у,) + 2т(Ау, у,) = 2т(<р, у,). Польауясь формулой 2 2 2<У+У) 2У<' у+у у — у 1 т (10) перепишем (9) в виде 2т(( — 0,5тА)у„у,) + (А(у+ у), у — у) 2т(<р, у,).
(11) Лемма 1. Пусть А — самосопраженный оператор. Тогда (А(у+у), у — у) (Ау, у) — (Ау, у). (12) В самом деле, (А(у+ у), у — у) = (Ау, у) + (Ау, у) — (Ау, у) — (Ау, у) (Ау, у) — (Ау, у), л»ссы устОЙчиВых ДВухслоиных схем 333 так как (Ау, у (у, Ау) (Ау, у) в силу самосопряженяости А. Подставляя И2) й И1), получим энергетическое тождество для схемы И): 2т(( — 0,5тА)у,, у,) + (Ау, у) (Ау, у) + 2х(гр, у,). ИЗ) 4. Устойчивость по начальным данным в Н».
Для исследования устойчивости схемы И) по начальным данным будем оценивать решение задачи Иа). Теорема 1. Условие В> — А (14) И6) т. е (( — 0,5тА)у,(0), у(0)) > О. Так как у,ыН вЂ” проиаволъный элемент, то и элемент о = у,(0)=. = — В 'Ауьж Н произволен. В самом деле, эадавая любой элемент и у,(0)ЫН, находим у, — А 'Во гиН, так как А-' существует.
Таким образом, неравенство выполнено при любых о = у,(0)ш Н, т. е. имеет место операторное неравенство И4), что и требовалось доказать. Замечание 1. Условие И4) достаточно для устойчивости И5) схемы И), если В В(с) )0 — несамосопряженный переменный оператор. нсобходино и достаточно для устойчивости в Н„по начальным данным с постоянной М, =1 схемы И) из исходного ссмсйства, т. с. для выполнения оценки 1уя((»((~увбл, и' 1, 2, ..., И5) гдв у„— решение задачи Иа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
