А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 50
Текст из файла (страница 50)
рис. 17, б): з1 "' + "' Р1-1 О О 1+1 1' с ь +а а..ь (5) илиус+ ау„- = О. Эта схема тоже имеет первый порядок аппроксимации: 1Р = и, + аа„- = О (т + а). Из уравнения У1Ю~~ = (1 — У) У1~+ УУ~1- 7 = Ь )О„ видно, что при 7 < 1 бУ1+'1с ~ ~(1 — "() 1У1))с + 7!)У 1с = 1У 1с, т.
е. схема устойчива в С: 1У ~ (!с ~ <))У !!с пун 0 < 7 ~ ~1. (6) Аналогично можно убедиться, что при а(0 схема (5) неустойчива (по аналогии со схемой (2) при а) 0), а схема (2) устой- . н вычислим ! о Р = (1+ (1 — соз 1р) 7)'+ 7' з1п* 1р = 1+ 47(7 + 1) зш' (<р/2). Отсюда видно, что )д! ) 1 при любом фиксированном 7 (ограниченном снизу при т- О), если только з(п (1р/2) чь 0 (случай з1п (1р/2) = 0 соответствует уь = 1 = сопз$).
Тогда ~уз~ = ! У)1-1-со при 7 — ~ со. Замечание. Если предположить, что 7=от/Ь=О(Ы, т. е. т = О(/11), то !д! < 1+ ест, где с, > 0 не зависит ни от г, ни от Ь, и гармоника остается ограниченной: („А!(Г'" = Г"З<~'с~= М прн 0<Г;(Т, э а ггавнкнив пвгвносА чива при'!7 /Ь ~ 1,. так что для нее выполнено неравенство )!У<+'))е ~ ~=О, 1, 2, ° ° ° ° 2. Явные схемы ~йлее высокого порядка аппронсимацни.
Рассмотрим теперь явную схему с погрешностью 0(т+ Ь'): э+1 < <. в< + г«-< г<-< л +а — О, (7) пли у, + ау. = О, где г<+< г<-< эь Эта схема эадана на четырехточечном шаблоне (рнс.17, в), состоящем ив уэлов (х<, <<+,), (х», г»), (х< „г<), (х<+„г<). Схема (7), очевидно, неустойчива при любых фиксированных 7 = от/Ь и любом энаке коэффициента а. В самом деле, воэьмем гармонику (4), подставим ее в уравнение (7) и получим уравнение для а: г<е — э <е ..<" — ат У вЂ” 1+7 = О, 1= у — 1, 7= —,, о=1 — (увш<р, откуда следует )о!*=1+ 7<в(п'<р < 1, так что ! У)ь ! = ! а (<-~ оо, прк !— Чтобы получить на том же шаблоне устойчивую схему, эаменим по аналогии с п. 10 У 1 значение Уьх полусуммой 0,5(у~в+,+ + Уь-<)' +а =О.
'+' — 00,'' + ' ) (8) '+а гь Отсюда находим у~+э 0 5(1+ 7),Д <+ О 5(1 у)уь<т< !у'+'К!у')с<" ~!у'(с при )7! <1 и'любом знаке а. В самом деле, лри а(0 имеем 1+7 1 — (7! >О, 1 — 7=1+ )7! ~0. Чтобы оценить невявку для схемы (8), перепишем ее в виде 0,«Ь~ ' у, — †' у- + ау„ = О, учитывая при этом; что 0,5(уь+< + уь-<) = 0,5(уь+< +уь-ь — 2уь)+ + уь = уь+О,бйву-„Невязка на решении и(х, г) равна В з <р = и< + аи — — 'и- = 0,5ти — 0,5 — и -(-0(Ь -)- т ). 0,«Л " Ь 304 гл.
ч. схимы для нвстьцнонзвньтх удав и Подставим сюда найденное из уравнения й = а~и"; получим /ит й~ ф = ~ — — — г! иа+ 0 (Ьз /(- т'). 2 2т/ Отсюда заключаем, что схема (8) обладает условной аппроксимацией; она аппраксимирует уравнение только при Ь'/т — О, если Ь- 0 и т- О. Если выбрать т=О(Ь), то ф=О(т+ Ь). Прн т Ь/<а! получаем второй порядок аппроксимации, ф 0(Ь'). Рассмотрим теперь четырехточечную схему, имеющую второй порядок точности: ус + ауи — 0,5тазу- = О. (9) Шаблон (рис. 17, в) здесь тот же, что и у схемы (7). Вычислим невязку: ф = и, +си„— 0,5та'и- = = и+ О бти+ 0(тз) + аи + 0(Ь') — 0,5азти'-<- 0(тйз) = (и + аи') + 0,5т (и — азй) -(- 0(тз ! Ьз) 0 (тз ! Ьз) так как й + аи' = О, й -ай' а*и", так что ф = 0(т'+ Ь').
Исследуем устойчивость схемы (9) спектральным методом, записав ее предварительно в виде у/+~ (1 у~) узам+ 0 57(у 1) у„,+~+ 0 57(7+ 1) узам 1 Подставив сюда уь = д/еие, получим для д выражение у 1 — 7*И вЂ” созф) — !7 в(вф, <дР = 1 — 7'И вЂ” "!*)И вЂ” сов фР. Отсюда видно, что <7! <1 является необходимым условием ус- тойчивости, а <7! >1 — достаточным условием неустойчивости, если <7! фиксировано, <7! совет прн изменении т и Ь. 3. Краевая задача. Рассмотрим теперь краевую задачу, когда при х 0 задано граничное значение )ь(1) и решение ищется при х>0, Ф>0: д + д — — О, 1>0, 0<х<со, а= совз$>0, ди ди (10) и(х, 0) = и,(х), х~)0, и(0, Х) = р(1), 1~0, причем и,(0) р(0). Если и,(х) и р(1) — дифференцнруемые функции, то задача имеет решением функцию из (х — аФ) при $(~ х/а, и(х, $) = р(1 — х/а) при 1 в х/а. Выберем сетку еи (х< (Ь, 1 О, 1, 2, ...) с шагом Ь и сет- ку е,'=(Ь ут, /=О, 1, ...) с шагом т.
Напишем на шаблоне 505 $ с. угьвнвнив пеРенОсА (рис. 17,е) неявну1з схему . ть — ул ть — ул ,' 1+с С 3+с С+~, О, т. в. ус + ау-„= О. Перепишем ве в виде у у +,,7 )О 1+с т, 1+с 1 т ас у+с ' т+су' = л Отсюда видно, что счет можно начинать с точки Ь=1, )=О. Тогда Зная ус„можно вычислить все значения уд до некоторого у =)„ затем, положив Ь-*2, найти у~с при О~у а-:), и т. д. Рассмотрим семейство схем, заданных на четырехточечном шаблоне (рис.
17, д)т у, + оу-„+ (1 — о) у-„= О, х ен со„, Ф е сос, (12) у(х, 0) = ио(х), у(0, с;) = О, а — 1. Схема (11) принадлежит этому семейству и соответствует 0=1. Вычислим нввязку для этой схемы: ср= и, +сш-„+ (1 — о)ирг Подставляя сюда и, = и+ 0(тс), и-„= и' — 0,5Ьи'+ 0(Ь'), о = с + 0,5ти+ 0(тс), и = и — 0,5то+ 0(тс), где о= о~сузе,с„о = и„-,получаем 0,5т(20 — 1)й' — 0,5Ьи" + 0(тс+ Ьс) = = 0,5(2ат+ Ь вЂ” с)и ' + 0( с*+ Ьс).
Отсюда видно, что схема с весами имеет второй порядок аппрок- 1 Л симации, су= 0(т'+Ь'), если о= — — — = оо, а при осьо,— первый порядок, су = 0(т + Ь). Покажем теперь, что схема (12) устойчива по начальным данным при 1 Л о — — — =о. -- г гт = На отрезке 0<х<1 вводим сетку асс=(х, сЬ, с=О, 1, ..., )с', 20 А'. А. саиазокие / 306 гл, ч.
схвмы для нвстасгяонавных чгас)нянин ЬН= с). Скалярное произведение и норму определяем так: к (у, о) = Х усосй 1 И = ~(у, Ь). с 1 Учитывая, что и = 0,5(сс+ сс)+ 0,5(сс- и), и 0,5(о+и)— — 0,5( — и), и полагая сс= у„-, перепишем схему в виде у, + (о — 0,5) ту- + 0,5 (у- + у-) = О, у (О, с) = О. Умножим это уравнение на 2ту„-, = 2 (у-„— у-) и учтем, что 2усу; = АР- = (и')-+ Ь(Р„-)' = (ус)-„+ Ь(у-,)' (одеев о = ус). Тогда получим т (ус)-„+ 2 ((о — 0,5) т + 0,5Ь) (у„-,)'+ (у,-)' — (у-„)' = О. .Умножая на Ь и суммируя по всем узлам сетки х=сй, с=1, 2, ..., Н, получаем .
т(ус)й+ 2((о 0~5)т+ 0 5Ь)~у ~с+ ~у ~с ~у. Р (13) так как Х (ус)й,с Ь = Х [(ус)с — (ус)с-~1 = (ус)й — (ус)о, а ус. с ус(0, с) = О, так как'у(0, г) ° О. Иэ тождества (13) видно, что ~ р!' ~<~у-*~«~УД если (о — 0,5)т+ 0,5Ь > О, т. е. о > о,.
Схема устойчива в энергетической норме ~у~ссс = ~у-~. В гл.' У1 для двухслойной схемы общего вида Ву, +Ау 0 с операторами А, В: Н- Н, где Н вЂ” евклидово пространстве, А =Ав > О, В > О, будет получено необходимое и достаточное условие устойчивости в виде В)~А; (15) прн этом 1ус+с11~~ 11ус11,, где 11У1а У(АУ, у). Введем для задачи (12) пространство Н сеточных функций, заданных на осс и равных нулю при 1=0, и оператор Ау=у;. Так как уу- = 0,5(уэ)-„+ 0,5Ь(у-)с, то (Ау, у) = 0,5у~л+ 0,5й~у-,~с О. $ э. алены для уРАвнения кОлеБАний стРуны 307 Запишем схему И2) в виде (Е + отА) у, + Ау = О.
(16) Так как Х>0, то существует Х ') О. Применяя Х ' к Иб), получаем (Х '+отЕ)у,+у=О. И7) Сравнивая И7) с И4), видим, что В = Х-'+ отК, А К, и условие И5) означает, что ((Х' '+ отЕ)х, х) — 0,5т(х, х) = (Х-'х, х) + (о — 0,5)т(х, х) > О. Подставим сюда Х 'х=у: (Ху, у)+ (о — 0,5)т!!Ху!Р) О.
В нашем случае (Ау, у) = 0,5уя ~- 0,55~Ау(~ и условие устойчивости И5) примет вид 0,5у~я+ (0,5Ь+ (о — 0,5) т)~Ау~') О. ° (18) Условие И8) выполнено прн о ~ а,; при этом справедлива апрпорная оценка )!уй (!(у'!!. Аналогично можно построить схему с весами для системы ди ди ди ди дй ди ' дЭ ди1 эквивалентной уравнению колебаний струны ди д~и и найти условия устойчивости полученной схемы. $6. Разностные схемы для уравнения колебаний струны 1. Постановка разностной задачи и вычисление погрешности аппроксимацяи. Рассмотрим уравнение колебаний однородной струны — = а' — + /(х„т,), 0<х,< 1, 1,) О. Ш' д' 1 1 Вводя беэразмерньэе переменные х = х,/1, 1= ат,/1, перепишем это уравнение в виде — и = — у+/(х, 1), 0<х<1, 0<1(Т.
(1) д1 ди 2С 308 гл. т. схемы для нястАционАРных РРАВнуний В начальный момент заданы условия и(х 0) = ио(») д, = ио(х) (2) (начальное отклонение и,(х) н начальная скорость й,(х)). Концы струны движутся по заданным законам и(0, 1) =)А,(Г), и(1, 1) =)оо(д). (3) Введем в области Л=(0<х<1, 0<о< Т) прямоугольную сетку юо, (по аналогии с $1, п. 2). Так как уравнение (1) содержит вторую производную по с, то число слоев не может быть меньше трех. Пользуемся, как и выше, обозначениями ур у — 2у+у о+ р у — у Заменим производные, входящие в уравнение (1), по формулам да ди — и-, — Ли=и„„, / <р.
дО и до Рассмотрим семейство схем с весами у- =Л(оу+(1 — 2о)у+ну)+~р, <р=/(», 1/), и (4) Уо = )о,(Г), Ул = )оо(о), У(», 0) = и,(х), У, (х, 0) = ио(х), где йо(х) определим ниже. Краевые условия и первое начальное условие и(х, 0) и,(х) на сетке ооо. удовлетворяются точно. Выберем й,(х) так, чтобы погрешность аппроксимации й(х) — ди(х, О)/дд = й(х) — й,(х) бы- ла величиной 0(т'). Из формулы и,(х, 0) й(х, 0) + 0,5 гй(х, 0) + 0(т') й(х) + 05т(ио (х, О) + /(х, О) ) + 0(т') й,(х) + 0,5т(и' (х) + /(х, 0)) + 0(т') видно, что й(х) — и,(х, 0) 0(т'), если положить и,(х) = ио(х)+ 0,5т(ио(х)+/(х, О)). (5) Таким образом, разностная задача (4) — (5) поставлена.
Для оп- ределения у у'о' получаем из (4) краевую задачу оуо(уо+, + уол,) — (1+ 2оу') у; = — Уо 0<1<дг, уо=)о„ул=)о„ о Й.1 Н-11 о (+о у = т/й, г'о = (2У( — у( ~) + то(1 — 2о) Лу'+атоЛУ' ~+ тою, которая решается методом прогонки. Прогонка устойчива при о>0 (см.
гл. 1, $2, п. 6). 309 Вычислим погрешность аппроксимации схемы (4) при <р— =1(х, Сс). Пусть у — решение задачи (4), (5), и и(х, С) — решение эадачи (1) — (3). Подставляя у а+и в (4), получим а;, = Л (аэ + (1 — 2а) з + аа) + ~р, вэ=аи=О а(х 0)=0 хс(х>0)=т(х) (6) т. е. ф = Ли+атэЛи7, + <р — и, = Ьи + отЧ и + 1 — и + О (т~ + йт), (7) ф = 0( Р+ й*) при любом эначенни постоянной- а (а не эависит оттийХ Пусть а а — й%12т'), где а — постоянная, которая не эа- висит от й и т и выбирается так, чтобы схема (4) была устойчи- вой (достаточно потребовать а> 1/(4И вЂ” е)), так как схема ус- тоичива при а>11(4(1 — е)) — 11(47'), 7'* тlй, е ) О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
