А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Покажем, что шах (дд! достигается при й=1; тогда а 1 — (1 — о) ть ~1+ 2 таад)'. где )дд —— — еш —. Введем функцию л 4 .тп/д ь' - 2' 1 — (1 — о) (д 'д+ 2 ") и покажем, что Ф)д)! — У()1д) (О пРи Р~Р„если Рд'=1. Необходимо рассмотреть случай, когда (1 — о)(д) 1, так как в противном случае, сразу получим, что (/((д) ! /((д) (/()дд), )д > р,.
Преобраауем разность: 1 — (1 — о)рд (1 „)р (1+ 2 р,)' (1+ 2 р)' = —., ) 2 + (2о — 1) рд+ — Д вЂ” ((1 — 2а) + 2о(1 — и) р, + 1( о а о о + — (1 — о) (дд ~ р + — (1 — (1 — о) р,) ра) где /)=(1+ 2 (д) (1+ — р) « Учитывая, что о 2 — У2, о* = 4а — 2 и р, ~ 1, получим оценку снизу: Пр) — ! У(р)!) ~ — 12 — (12о (1 — о) + — (1 — а) — (2о — 1) ((д + — ре) = 1 ( l о ,р '( 4 = — (2 — (6,5 — ' 10,5о) р + (3,5о — 2) ре).
З 3. АСИМПТОТИЧВСКЬЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 287 Квадратный трехчлен в фигурных скобках равен 0,050)44— — 0,349р + 2 и имеет отрицательный дискриминант б= 0,349*— — 0,402 < О. Отсюда следует, что'1(р,) — (1()4И > О, т. е. 1 — (1 — о) и( 1 — (1 — о) тб (1+ — р,)' (1+ 2 тс)' при ограничении.)4,= т6< 1, которое выполнено, если заменить его условием Й, тя4 < 1. Нетрудно получить следующее разложение: рз р4 1пр= — р,— — — — + ... 24,С 271,7 444 -44+та р т т + 24,6 271,7 и, следовательно, 3 4 Я 3 < е с 4 1 Тем самым доказано, что для схемы (8) справедлива априорная оценка у1~ < е 40 ~уо) при условии тб < 1. 4.
Асимптотическая устойчивость трехслойной схемы. Трехслойная схема 3 ' 1 — у4 — — уй+ Ау = О, А = Ае, А)6Е, 6)0, (13) безусловно асимптотически устойчива при т< 1/(26). Запишем ее в виде у~+ ту74 + Ау = О. Она имеет второй порядок аппроксимации в случае уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами (й = Ьи) (1): тз 4р = ио + ти- + А и= и. + ти- — Ли — ТЛи4 — — Ли- = п, и 4 2 тз 2 = и + ти — Ьи — тЬи — — 4.и + 0 (тз + йз) = = (и — йи) + т(и — Ьи) + О (хе+ Ьз) = О (тз + Ьз)4 так как й *4.и, й — Бй. Применяя метод разделения переменных у) = т,(4)Х„ где Х4 — собственная функция оператора А: АХь=)4Хы А=1 2 ... Ф 288 гл.
ч. схемы для нвст»пион»гвьдх ггавнкнии получаем Т» — 2Т»+ 2 Т» + Л»тТ» = О, 3 1+д 1 1 д-д л 1+» или (3+2тй») Тд»- 4Т»а+ Т»-~ =О, Его решение ищем в виде Т» '= Фд». Для о» получаем квадратное уравнение (3+ 2(») д» вЂ” 4о+ 1 = О, р т2„ Индекс Й мы пока опускаем. Дискриминант квадратного уравнения равен Ю 1 — 2р. Пусть д)<0. Тогда корни ддд" уравнения — комплексно сопряженные и д"'д'»д = (д1» = У(3+ 2р), т. е. УЗ+ 2тЛ» УЗ+ 2ъЛ» Пусть П > О. Тогда д,»д = 2 + Уд — 2(д т(дд > 0 тд»д ) 0 т(»д = 2 'г' 1 2(»< 1 3+ 21» 1 3+ 2(» Покажем, что (ч»д1((тМ ~ при Й,>Й,. Рассмотрим функцию 2+ 'г'1 — 21» з+~ д» Вычислим ее проиеводную: 1.
д~р 2 Ф д(» ' (2+ Уà — 2(») 'У1 — 2(» 3+ 2(» Следовательно, шах ф()») достигается при 1» )», Ю,: йдси~ол 2+ У~=2й; пшх ф(р) = ф()»д) = . ', если 1 — 2)»д>0. ад<в<в» + "д Может окаеаться, что 0» 1 — 2)»» < 0 для некоторого Й > 1; тогда ! Фд»'"1*= — ' 3+ гв»' Так как — <ф (рд), то шах~у»' ~ всегда достигается при 1 д ! (д,дд ! 3 + 2(да й Й ° 1; он равен 2+ У1 — 2(дд р= ' при )»д<0,5. 1»д $ 3.
схемы для уРАВнения теплопРОВодности 299 В решении р = ~ (а» (б»п )' + р» (д»н ) ) ХА А 1 при большиХ ! останется первая гармоника у1 6в а,р1Х1. 1 1 -1 1»- Рассмотрим р = е а. Представляя р в виде 1— 2 Р1 3 1+ )/1 — 2)6' 2 1+ 3» вычислим 1п — = 1п(1+ — )»1) — 1п 1 —— Р '1 3 '! ( 3~+~'1 — 2в! $ -1 а Разлагая по степеням )»ь получаем 1в — = )61 + 3 )61 + так что -6! — а 6 11 1 з а. р =е Таким образом, трехслойная схема (13) имеет правильную асимптотику при Ф1- аа с точностью 0(та+/61) при единственном ограничении тб ( 1/2, которое не является обременительным. Сравнивая с двухслойной схемой (4), видим, что трехслойная схема имеет формальное преимущество перед симметричной двухслойной схемой (о = 0,5), которая условно асимптотически устойчива: кроме тб(1, для нее требуется т<т»=1/Уб»», та та(16).
Однако на практнке это ограничение является слабым. Поэтому говорить о практическом преимуществе трехслойной схемы не имеет смысла. Лучше пользоваться двухслойной схемой. й 3. Схемы для уравнения теплопроводности с несколькими пространственными переменными 1. Явная равностная схема. Рассмотренные в $1 схемы могут быть обобщены на случай уравнения теплопроводности с несколькими пространственными переменными. Пусть 1» 6+à — р-мерная область с границей Г, х (хо хь '..., и ). В цилиндре (/г бХ [0< 2<Т) требуется найти непрерывную функцию и(х, 1), хбн1", удовлетворяющую уравнению 19 Л.
А. Сам»Раааа 290 гл. ч. схвмы для нвстлционАРнь<х РРАвнвннн и дополнительным условиям и(х, 0)=и,(х), х<в<, и(х, ()'=)<(х, й), х<НГ, т>0, у да где Ьи = У вЂ” — оператор Лапласа. аа дхх а=< а Введем в <х сетку вл=(х«и<х) и обозначим череэ '(л множество уэлов <ол, принадлежащих Г, череэ вл — множество внутренних уэлов х«и <", так что ел= ел+ (л. Построение раэностной схемы надо начинать с аппроксимации эллиптического оператора Ьи.
Во внутренних уэлах Ьи-Ли при хе вл (см. $1 гл. ГУ). Заменяя в (1) оператор Лапласа раэностным оператором Л, получим систему дифференциально-разностных уравнений — Ло + <р (х, 1), х е= вл, (2) где Р(х, <) при любом 8~0 определена-на сетке <оь Порядок системы (2) равен У вЂ” числу внутренних узлов сетки ел, <р(х, <)— функция, аппроксимирующая )(х, <) на вь Введем теперь сетку по переменному 1: е, = (Г< ут, ) = О, 1, 2, ..., („(<т = Т) 'с шагом т.
Чтобы перейти к раэностной схеме для функции у(х, 1), заданной на сетке ал =в<Хе =((х<, 1<), хев<, (<Яв~) надо эаменить систему дифференциальных уравнений (2) какой- либо раэностной по 1 схемой. Выбирая, например, схему Эйлера, получим явную схему „<+1 „< = Лу< -(- <у), ) = О, 1, 2, ..., у~ = у (х, 0) = ир(х), у<)тл — †)<<, ( = О, 1, 2, ... Значение у'+' на новом слое определяется по формуле у~+<-у~+т(Лу<+,р~), ) =О, 1, ...
Для упрощения изложения будем предполагать, что <х — параллелепипед (О~х <(„е 1, 2, ..., р); вл (х<=(1<й<, ... ..., (Ай„), 1, О, 1, ..., №, )< (/У ) — сетка, равномерная по каждому иэ направлений х . В качестве Л воэьмем (2р+1)-точечный оператор второго порядка аппроксимации: (+<а) 2 + ( <а) а=< «а з з. схимы для рравнкния ткплош оводности 291 где у — значение функции у(х, 2) в фиксированном узле ()а ~ 1) Ьа, 2 тгйа22,..., )рЬР) — узел, соседний ох(х(+'") — справа от х, х( а) — слева от х). Учитывая, что Ли = Ли+ тз — В«+0((Ь(~), а ч Ваи =' — 22 ) Ь! = Ь) + Ьз + ° ° ° + Ьр находим невязку «)М) „2 2() = Лиу+ )ру — = 0((Ь)2+ т), р р уУ '= (2 — 2~ —,)уУ-22 —,уу'у*~ '"У).УуУу*У ~У))-УФ.
а )аа а=)аа (5) Сравнивая с общим разностным уравнением А(Р) у(Р) = Х В(Р,0) у(0) + Р(Р) (б) оешу(Р) из т 2 гл. 1У, видим, что в пашем случае Р=(х 1).~.д) 0=(х 1)) (х ' ),У)),(х( 'а),У)), а=1,2,...,р, р А (Р) = 1, В(Р„0) = 1 — 2 ~~ а )аа Зза' Граница 7 сетки в для уравнения (5) состоит кз узлов (х, О), х Ш е) и (х, 1),), х уя 72, т). ~ 1)р . Нетрудно убедиться в том, что Р(Р) = А(Р) — ~ В(Р, Я = О, В (Р, 0) ) О ОЕШЦР) при р 1 — 2„~„—,) О. а 1ьа (7) если ур) = )(х, 1)) +О(!ЬР+ т).
Схема (3) условно устойчива в С по начальным данным, по правой части и по граничным данным. В этом можно убедиться с помощью принципа максимума для разностной задачи (3). Запишем ее в каноническом виде: 292 ГЛ. Ч. СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТЛЦНОНЛРНЫХ РРЛВНННИН Решение вадачи представим в виде суммы у у+У, где у— ре~пение однородного уравнения у, = Лу, у) „= )а, у(х,О) = па(х), а у — решение неоднородного уравнения у) = Лу + ф, у )та = О, у (х, 0) = О.
Для у получаем уравнение (8) с Р = О. В силу принципа максимума (следствия теоремы 2 в п. 3 т 2 гл. 1а') имеем ау(х, г ) 1)с(шах(шах шах) )а(х, гр) ),3 и (х) 1с), (хетл г га)г если выполнено условие (7). Отсюда следует неравенство 1У))с( шах 1ф'~с„+1иа)с (8) асгулг (' а' ° 2 ~ае> а! ° ° = ~й„! (9) Для оценки у, по аналогии с одномерным случаем (си. 5 1, н. 7), еапишем разностное уравнение в виде уг+г =1)а, Здесь Ф=(г-г2;)г+2 ' („("а+г(-ч)г. г ава Ьа а г Ьа и (У ()е ~ ))у()е + т))ф))е при т ~~ та.
Отсюда ВиднО, что ~ур *Ь=1Р~Ъ(~" Ь+т~ф~(с ири т~ т,. Суммируя по )'=О, 1, ..., )), получаем неравенство )У)+'(с-= ~ т~ф" 1с НРИ т~(та, р а (10) выражающее устойчивость явной схемы по правой части. Из (8) и (10) следует оценка 1у'+'1с((и (с+ шах ~)аг'~от+Я трфарс (11) при условии т ~ т,. где 9)або =шах))а(х,т)3, выражающее устойчивость явной схеанта иы (3) по граничным п начальныи данным )1ри условии $ 3.
схемы для уРавнения теплопроводности 293 Если обозначить Ь = шш й, то условие устойчивости (9) принимает вид ь' т(— гр Р»+1 гз»+ У»-1 » получим р-мерный аналог трехслойной кела. Учитывая, что 1 ( (+1а)) + 1 ( ( »а)) Лу'= ~ а=1 ьа схемы Дюфорта — Фран- р — 2 ~~ — у) (х)» 1аа после указанной замены получим в правой части уравнения (12) выражение р Лу — "„Р' — „, уй. 1 а 1 а Таким образом, мы приходим к явной схеме у + — у;,=Лу+»р, т'а (13) р где 6=4 р,— Ч1 а 1 "а Если й, й, = ... Ьр й (кубическая сетка), то Ь 4рl)»»» и мо»кно вместо (13) написать уа + з у»» = Лу+»р (13') Отсюда для определения у = уям получаем формулу (1+ 2()у = (1 — 2()у+ 4ту+ 2тЛу+ 2т»р» где у = у', у = у' ', "( = рт/Й».
т. е. с ростом числа измерений р допустимый для явной схемы шаг т уменьшается. 2. Явнаи трехслойная схема. Простейшей явной трехслойной схемой является схема Ричардсона — аналог схемы (59) из $1: Р»+1 У1-1 = Лу»+»р'. (12) Однако ова абсолютно неустойчива. Заменяя в правой части у( полусуммой 0,5 (у» »' + у»»+') = 0,5 (у»» ' — 2у; '+ у»»+1) +у»» = = 0,5т у'+ у~~, где Й 294 Гл. ч. Схвмы для нвстационагных угавнкния Схема ИЗ) устойчива при любых т и Ь; это следует иэ общей теории устойчивости гл. Ч1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
