А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Однако для нее можно воспользоваться полученной ранее, в п. 7, априорной оценкой 1-г А' И.<1У'1.+ 2',т1рг'1С, т<т У-о 1 так что'1гр+г'1с< ~ т'роРР 'рс.Отсюла н слеДУет РавномеРнаЯ схоп=о димость явной схемы со скоростью 0(т+ й'). 9. Краевые условия третьего рода. Краевые условия первого рода, которые мы рассматривали до сих пор, удовлетворяются на сетке точно. В гл.
11 было показано, как аппроксимировать третье краевое условие для схемы с опережением (о =1) и явной схемы (о = 0); чтобы обеспечить порядок аппроксимации 0(т+йг). Здесь мы рассмотрим схему с весами (П) с произвольным о. Пусть при 18 А. ох Свмороеоа 274 гл. т. схимы для нистьционьгвых тгьвнвнин х 0'задано краевое условие третьего рода "( ' ) = ();и(0, Ф) — ~а,(г), ($, = совет) О. (50) Разностное краевое условие будем писать иа четырехточечном шаблоне, состоящем из уалов (О, ты,), (Ь, ты,), (О, Ц), (й, 1;)..
Покажем, что рааноетное условие о(у — (),у). + (1 — о)(у. — (),у), = 0,5йуь, — ио и, и, + 0,5Ь/е (51) где / /(О, тыь), р, = и,(Ь+и), аппроксимирует условие (50) иа решении и и(х, у) уравнения (3), удовлетворяющем условию (50), причем с тем же порядком, с которым при данном аначении о схема (П) аппрокеимирует уравнение (3). Подставим у з+ и в (51): о(т.— 6),+(1 — о) (з.— 3,з),=0,5йхь~ — то (52) где т, о(и — ф,и),+(1 — о) (и,— 3,и),— 0,5йи,,+ р,— погрешность аппроксимации условия (50) разностным условием (51) на решении и. Разлагая и в окрестности узла (О, 1~+ 0,5т) по формуле Тейлора и обоэначая череа у, вначения функции о в этом узле, получаем (и' ди/дх, й = ди/д8): "~ = (ие ))1ио + рт)е+ + (о — 0,5) т (й — р1и) — 0,5йи + 0,5ййе -(- 0(йт -(- тт).
У Р Подставим сюда ию = ()1и, — р, и и, = ир — /„иа уравнения т, = (о — 0,5)т(ие — ~,и,) + 0(та+ йт). Отсюда видно, что 0(Ь1+т) при оч" 0,5, т,=0(й'+т') при о 0,5. (53) Нетрудно проверить, что краевое условие при х 1 — а ' — — (),и(1, т) — р, Я, р, = сопеФ) О, (54) аппроксимируетея с тем же порядком разноетным условием ~о (у;+ ()ту)я+ (1 - о) (у; + ~ту), ] = 0,5йуая — рм (55) 6 1. ОдномеРное РРАВнение тнплопРОВОдности 275 где )11 =*)11+ 0,5Чю )11 = )110ыв), 7,~ 7И, 11+в).
Выбирая аз и а "~ " д Р1 ) 1+ я ) 1+ С (Уе ()1М+ т Р1~рею ь ' а -~ - ь )11 = рз+ т2 )11 е Ь3+ Мл)+ 2 Рз рл1 7=3+%3' и заменяя соответственно 0,5Ьу... 0,5Ьу, в (51), (55) на 0,5ЬР1рсю, 0,5ЬР1усю где Р1=1+ЬР1!3, Ь 1,2, получим рааностные граничные условия, имеющие при о=о„=0,5 — ЬЧ(12т) аппроксимацию 0(Ь'+ т'). Вводя обозначения Ум — В1Р + " +()Е" Л-р запишем разностные краевые условия (51) и (55) в том же виде, что и схему (П): у1 Л-(оу+ И вЂ” о)у) + ~р- при х = О, (56) у~ Л+(су+ И вЂ” с)у) + ~р+ при л = 1, где Ч> = 2р IЬ, 1р = 2~~,/Ь. При ()1 = 81 = 0 получаем раЪностную аппроксимацию краевых условий второго рода. Порядок аппрок- симации остается тем же самым, что и для третьей краевой задачи.
Приведем условие (51) к счетному (т. е. удобному для вы- числений) виду. Разрешая (51) относительно ре = уе"~1 получим е а' уз= хгу1+тн х1= д, Л1=О(1+()1Ь)+ 2, (57) т1 = — ((1 — о) у, + ~ — — (1 — а) (1+ Р1Ь)~ уе + Ьрг). 1 Условие (55) приводная к виду о Лз у = х,ул, + т„х, = —, Лт = О (1+ (),Ь) + —, (58) т, = о ((1 — о)ул-1+ ~ — — (1 — О)(1+ ~,Ь)~ул+ ЬЦ 3 д 1 2'С Отсюда видно, что 0<х <1 при () >О, О>0, а 1, 2. Для определения у на новом слое получаем разностное уравнение (8) с краевыми условиями (57) и (58). Эта задача решается методом прогонки (см. гл.
1, $2, п. 5). 1ае гл. ч. схемы для нестАционАРных РРАВненин 276 Устойчивость схемы (П) с краевыми условиями третьего рода устанавливается либо методом разделения переменных, либо методом энергетических неравенств, либо на основе принципа максимума. $0. Трехслойиые схемы для уравнения теплопроводности. Одной из первых схем, применявшихся для численного решения уравнения теплопроводности ди/д8=д'и/дх', была явная трехслойная схема Ричардсона У»+ У»- 2 Луз илн у) Лу1 У вЂ” У где у = —, у=у»+1, у=у»-', у=у», Лу=у;.
Эта схема, как нетрудно убедиться, имеет второй порядок аппроксимации по т и Ь, »)»= Ли — и; = 0(т'+Ь'). Однако она является абсолютно неустойчивой (т. е. неустойчивой при любом законе стремления Ь н т к нулю). Перепишем уравнение (59) в виде У» У» У»-1 У» г У»+1 »+1 » 1 1 2 1 ! 1 (60) 2« А» Если в правой части уравнения (60) заменить 2у» »суммой у~~+ + +у»» »,то получим трехслойную схему «ромб» (схему Дю»рорга и Франкела): 1+1 1-1 1»+1 1-1 +» — '+' (61) 2«ь» 3 которая остается явной относительно у»»+' н является абсолютно (при любых Ь и т) устойчивой.
Схема «ромб» может быть записана в виде у.,+ — „, у-„= Лу, (62) где у, = (уЮ»~' — 2у»»+ у» »')/т». В самом деле, преобразуем-правую часть уравнения (61): У» 1- У» — У»+ У»+, У», — 2У»+ У»+1 У» — 2У»+ У» «З — У вЂ” — ~~ ь' Подставляя это выражение в (61), получаем (62). Таким образом, схема «ромб» получается из схемы Ричардсона добавлением к левой части (61) члена — у;„обеспечивающего устойчивость. Доказательство устойчивости схемы (62) следует иэ общей теории гл. У1, поэтому мы его здесь не касаемся. Погрешность 9 с.
Одномвгнов углвненив теплопговодности 27у аппроксимации схемы (62) есть ю В «Р = Ли — и. — — и- = и" — ' и — — ю и + 0 (та+ Ью) = с л' " л' ю = — —, и + 0 (т'+ Ью). л' Отсюда видно, то схема «ромбю обладает условной аппроксима- цией =0(т*+ Ь'+ т*/Ь') =0(Ь') при т = 0(Ь*). Если взять т = аЬ(1+ 0(Ь)), где а = сопят, то очевидно, что схе- ди ю ди ди ма (62) аппрокснмирует уравнение вида — + аю — а- = — в-. дС Ш дю Обычно для уравнения (3) используются неявные трвхслой- ные схемы с весами: а) симметричные схемы уу = Л(ау + (1 — 2а)у+ау) + ср; б) несимметричные схемы (64).
у, + ату-„= Лу + ср. Уравнения (63) и (64) содержат три слоя Ис с, Фс, дс+с). Поэтому они пишутся при сс> т, ) ~ 1. Значение у(х, О) =.п,(х) иавестно, значение у(х, т) надо задавать дополнительно; наяримвр, можно положить у,(х, 0) =й,(х) или у(х,'т) = у(х, О)+тйю(х), где ию (х) = ию(х) + 1(х, 0) выбирается иа условия (см. гл. 11, $1) у(х, т) — и(х„т) = 0(т*). Иногда для определения у(х, т) используют двухслойные схемы. Так как .аи+(1 — 2а)и+пи=и+от«им =и+0(тю)), то симметричная схема (63) при любом а имеет второй порядок аппроксимации по т и Ь.
Напишем выражение погрешности аппроксимации для схемы (64): ср = Ли+ ср — (и«+очи;с)=«.и+ср — 1и — 0,5ти+ ати)+0(тю+Ью)= = («и+ 7 — и) +(ср — 7) —,(а — 0,5)ти+ 0(т'+ Ь'). (65) Отсюда видно, что и для схемы (64) «р = 0(Ь*+т') при а = 0,5 ср = ~, 0(Ь*+ т) прн а чь 0,5 ср = 1. гл. ч. схвмы для нвстьционагных твавнвнии . 278 Выписывая в (65) члены 0(Ь*) и учитывая уравнение й = и" + + 1, нетрудно убедиться в том, что схема (64) имеет аппроксимацию 0(о'+ т*) при = 0,5 + Ь'l(12~) Ч = 1 + — х (1" + 1).
Для определения у из (63) и (64) получаем трехточечные уравнения Ау,, — Су<+Ву,+, = — Р, (66) а~ '/4 для симметричной схемы (63), а) — 0,5 для схемы (64). Так же, как ив случае двухслойных схем, можно построить разностные краевые условия повышенного порядка аппроксимации для граничных условий третьего рода (50), (54). Для симметричной схемы (63) краевые условия порядка аппроксимации 0(т'+ + Ъ*) имеют вид у)= Л (оу+(1 — 2а)у+ау)+ср-, (-О, у1= Л+(ау+ (1 — 2а)у+ ау)+ <р+, 1 )т', где в-, + (),т о оь в,(0 з,(0 р — 1(0,1)+ —, р+ 1(1,1)-(- ~э% и,— Ри Л-у= о,5» Выпишем, далее, разяостные краевые условия третьего рода для несимметричной схемы (64): р (у~ + атуй) = Л-у + р-, 1 = О, (67) Рз (У~ + атУ;,) = Л+У + <Р+, 1 = )У. Эти краевые условия имеют аппроксимацию 0(т+ Ъ') при с правой частью — Рь зависящей от у, у, ~р, и с обычными краевыми условиями при $0, 1 )т'.
Эта задача решается методом прогонки. В процессе счета надо хранить в оперативной памяти ЭВМ значения у и у для двух предыдущих слоев. В случае двухслойных схем достаточно запоминать лишь один предыдущий слой. Устойчивость трехслойяых схем доказывается в гл. У1. Приведем лишь достаточные условия устойчивости: $ з.
ьсимптотнческья устоичизость 279 любом о, если положить р, — ра = 1, ~р — С (О, С + т) +, ~р+ = С (1, С + г) + р,(с+ с) р (с+т) Если при этом о 0,5, то краевые условия (67) имеют аппроксимацию 0(т'+ Ь*). Наконец, если положить Ь' ЬР, *Р, и= — + —, р,=1+ — ' р,=1+ — ' 2 (2т' 3 ' 3 т ч 0,3Ь' ~ Рау 0,3Ьс т у(лаз+ г)+ 12 (с (ъ',С+'с)+~(.ъ',С+т)), Ь' та = $аа(С+ т)+ — ((аа(С + т)+ 7 (О С+ г) — )аа 7(0 С+т)) Ь' та= )аз(С+т)+ — (ра(с+т) — У'(1, с+т) — ра с(1,1+т)), то получим схему (64), имеющую точность 0(т'+Ь') (погрешз,,а а ность аппроксимации в узлах х=О, х= 1 есть О/ " )) Ь й 2, Асимптотичесиая устойчивость 1.
р-устойчивость. При изучении схем для уравнения теплопроводности мы убедились, что простейшим способом ослабления условия устойчивости (огралнчения сверху на шаг по времени т) является переход к неявным схемам. Ь' Все неявные схемы с весом верхнего слоя и ассе, оз — — —— Ят ' устойчивы. В частности,. схемы с с 0,5 и о 1 абсолютно устойчивы. В конечном счете нас интересует точность, с которой мы находим прибляскенное решение дифференциального уравнения. Понятно стремление добиться заданной точности с затратой как можно меньшего числа машинных операций (арифметических и логических), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
