А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. затратой как можно меньшего машинного времени. Минимизация числа операций может быть достигнута за счет усовершенствования разноствых схем. Естественно добиваться улучшения качества схем, требуя, чтобы разностная схема как можно лучше моделировала в пространстве сеточных функций основные свойства дифференциального уравнения. Одним из таких типичных овойств является асимптотическое (при а- ~ ) поведение решения дифференциального уравнения.
230 Гл. у, схемы для нестАцион»Рных эг»внвнин Поясним это на примере уравнения теплопроводности да да — = — О<х<1, т>О, и(х, 0) = и»(х), О~х((1, и(0,1) = и(1, $) = О, Ф))0. (1) Решение этой задачи находится методом разделения перемен- ных и имеет вид ОВ и(х,г) = ~ с»е "Х»(х), Х»(х) = т'2вшяйх, » 1 где 1 ЛА = )с~я~ . с» =(и»,Х») = ~иг(х)Х»(х)йх, е 60 ~ и (х, т) )1 = .~ч~~ с»»е 1»»1 $ Х» (» = ~ с»е »=1 »-1 так как 1Х»1=1. В силу возрастания Л» с ростом к имеем Л»>Л1 и и(ф)~г~~е-1»11 ~э~ сг» е 1»11')иг(» А 1 т. е. для решения задачи И) верна оценка )и(й)~(е ~11)и(0)1 при любых 1>0.
(2) С ростом 1 гармоникии1»1 = с»е»1Х»(х)при й>1 затухают быстрее, чем первая гармоника, так что при достаточно больших значениях 1 имеем . и(х,г)жс»е»»~Х1(х), с1~0. (3) Эта стадия процесса называется регулярным режимом. Будем требовать, чтобы решение раэностной схемы для задачи И) также обладало аналогичными свойствами (2) и (3). В этом случае схему будем называть асимптотически устойчивой. Обратимся к схеме с весами: у1=Л(оу+(1 — а)у), хеис»»1 1=')т>01 у, = у» = О, у (х, 0) = и, (х), х ее в», Лу=уы Решение этой задачи было в э 1, и.
4 найдено методом разделения переменных: »-1 у1 у (хь тг) Х с»Я»ХА (х1) »-1 $3. лсимптотичнскья уагойчивость 281 1 — (1 — а) елл 1 + атл» л 4 . езлл Лл = — зш л я — е Хл(х;) = )/2з(вяйхь сл = (ие, Хл), (у, о) = ~ зев;)е. $-1 В силу ортонормированности (Хл) имеем И-1 л-е )у)'1е = ч~~ слетел)( ры ~ се — ре))уеР л=е л=е т. е У ее = У(хо 1.) ж сео,'Хе(х;). (О) Очевидно, что это возможно лишь в том случае, когда преобла- дает'первая гармоника, т. е.
шах (дл! достигается при Й= 1, так что л 1 — (1 — а) еЛ" шах дл=р= (7) е<л<я — е ~ 1+ о"елл Чтобы найти условия, при которых справедлива формула (7), рассмотрим функцию е ( ) ( 1 — (1 — а))е~ ') ! 1 — (1 — а) )е Ле л л где )ее = тЛе, )е = тЛлЪ)л„и потребуем, чтобы 1()е) ~ О при )е > > р,: Сначала преобразуем выражение для 1()е): ~(р) = 1,()е4.()ЛУК, К = (1+ о)е,)'(1+ о)е)' ) О, А()е) (1 — (1 — о))е,)(1+ о)е) — (1 — (1 — о))е)(1+ ар,) = =)л — )4,~0, 1е()е) = (1 — (1 — о)р,)(1+ о(л) + (1 — (1 — о))еН1+ а)е,) = 2+ (2о — 1Н)л+ (л,) — 2(1 — о)а)це,.
Отсюда видно, что Д)л) = 2+ )е+ )е, ) О при о = 1, Д)е) =2 — ()е+р,) ~2 — т(6+6) ~0 при о=О, — 2 л л если т ~( те, где се — — + „, 6 = Л„Ь = Лл-д. (~р)( ~ ре1уе1, (5) где р = шах (дл ~. есл<я-е Будем говорить, что схема (4) р-устойчива по начальным данным, если выполнена оценка (5). Оценка вида (3) возможна для решения задачи (4), если р (1. 2. Аеимптотическая устойчивость. Найдем условия, при которых решение у' разностной задачи (4) выходит на регулярный режим (при больших 1, ут): 282 гл. ч. схвмы для нкстационагных ггавнввин Для симметричной схемы (а = 0,5) Ь(Р) 2 — 0,5Р)дз ) 2 — 0,5Ре-дРд = 2 — 0,5тдбб ) О, 2 если т (~ тв, тв = =.
' Таким образом, имеем Убд1' р= — при а =1 и любых т)0 1 ' 1+ т6 3 2 р=1 — тб при а=-0 ит(т = — „ е 6+6" 1 — О,бтб 2 р= . ' при а=05 и т(тв= —, 1+ 0,6т6 )/6Л В этом случае верна оценка 19''в' ( рд1уЧ, причем р'- 0 при 11 )т Представим р в виде р = е "д+тч, т<р = рд — 1п —, где )дд*м Р' чб. Пусть а 0,5; тогда 1+9 6Р, (р Р, 1 Г вбв тбв т~р=р,— 1п '= — ( — '+ — '+ ... )= — т( — + — + ...).
1 — 0,6Рд (д12 80 ' ' '/ д 12 80 Отсюда следует, что рд = ехр( — 611 ( + — О+ ...) 11) (е Регулярный режим для симметричной схемы (а 0,5) имеет впд у(л 1) Ж е е ~13+В ЭХ (хд), где )1= — ( — + — + ) =0(т)~ Для чисто неявной схемы р= — )е 'а р)=е -вд +ад. 1+ т6 Ф тбв вбв где 1) = — — — + ...
= 0(т). В этом случае р' плохо ап- 2 3 проконмирует е 0 по сравнению со схемой а=0,5. Приведем пример..Пусть т =те= — и тб= 2 у —. у66 г' а Предполагая, что бИ 0,01, вычислим р~в=е,в = рв,в = — = 0>8182 р~ =д = р = — = 0,8333 09 1 и сравним эти аначения с е " = е '* = 0,8187, рвл е-"(1 — 0,0008), р, = е "(1 + 0,018). З 2.
АСИМПТОТИЧБСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 283 Отсюда следует, что при 52~ = 1 (/ = 5) ржавые 0 0,997, р,'же 20 1,09. т. е. при бй=1 величина рв,в отличается от е 0 па 0,3%, а р',— на 9%. Из приведенного примера видно, что хотя схема с а =1 абсо- лютно устойчива и может быть использована при любых т, одна- ко она недостаточно точна при больших т в стадии регулярного режима. Чтобы поддерживать точность (относительную — здесь только такая мера точности имеет смысл), надо с ростом 2, уменьшать шаг т = та что не позволяет в полной мере использо- вать основное достоинство схемы с О =1 — устойчивость при лю- бых т>0.
Симметричная схема (О=0,5), будучи абсолютно устойчивой в обычном смысле 1//ч(< ву'1, является условно асимптотически устойчивой при т< т,. Что касается явной схемы (О=О), то' ус- 2 ловие 'асимптотической устойчквостпт( — практически сов- - 6+О г 6 падает с условием т( — обычной устойчивости, если — мало.
Для уравнения теплопроводности 4 .вал 4 вал б = — вш — Ь = — сов —, а' 2 2 ь и условие устойчивости т ( — означает, что т ~ + ° 2 Ь Ь В случае симметричной схемы тв = = = †. ж †, и ус- 1/АА в(в аь я в ловие т < Ь/я не является обременительным. В этом случае характерное отношение 7 т/Ь' < 1/(яЬ), так что 7 < 10/я при Ь 1/10, 7 < 100/и при Ь =1/100. Первое собственное значение ЛА = б разностной задачи равно Л",=6=я'( '~ )'=я'(1 — 2 + 4а $'+...), где 5 =яЬ/2, так что Л", = 0,97Л, при Ь,= 1/10, Лт = 0,9997Л, при Ь = 1/100, где Л, = пв.
Что произойдет, если для симметричной схемы (О=0,5) использовать шаг т) т„например, т = тт„т ~17 Тогда шах (дв! достигается при Ь /)/ — 1: ь О,бта — 1 1 — ' 2/та О,бта+ 2 $+2/та ' 284 Гл. ч. схемы для нестАционАРных РРАВнении Подставляя сюда 4 1 / 6 6 2 6т«<6 <Ь «<т Ь 2«< р Ь 4<в )/66 4<А 4«<~ 6 получим р= е-'з+'<з(™м)< где б=,, з < ге= О(тз).
Таким образом, при т) 1 симметричная схема'(о 0,5) дает неправильную асимптотику где Х вЂ”,Ь) =зшя(М вЂ” 1)х, =з(пя(М вЂ” 1)й = зш я(1 — л)1= ( — 1)' ' ып ях< = ( — 1)< 'Х<(х<), тзк что ь — з<) у(хнз))жсл,е а«з ( — 1)' 'Хг(х<)(Хг(х;)=зшях~), т. е. решение полностью искажается. Отсюда ясно, что асимптотическая устойчивость схемы тесно связана с ее точностью. Нарушение асимптотической устойчивости приводит к потере точности схемы при больших временах. С другой стороны, хотя схема с опережением (о 1) и асимптотически устойчива при любых т, однако ее точность падает с ростом ть поскольку эта схема имеет первый порядок по г, н сохранение заданной точности возможно при уменьшении т фактически до того же значения, при котором применима явная схема. Следовательно, схему с опережением нецелесообразно применять при решении задачи (1) на больших временных интервалах 0(Ф< Т.
3. Схема второго порядка точности, безусловно устойчивая в асимптотическом смысле. Рассмотрим схему для уравнения теплопроводности, обладающую безусловной асимптотическойустойчивостью и имеющую второй порядок точности. Эта схема имеет вид )+ч< ) (Š— 0,5отЛ)з " = (1 — 0,5о) Лу), " " =0,5НЛу)+<, (8) где Лу = у-, Š— единичный оператор, у'+в — промежуточное значение, о 2 — У2.
При 1 = 0 и 1=)т' заданы нулевые граничные условия (9) З 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ (10) У 1+1 УЭ Подставим сюда тождествоу1+' = у1+т ' или у =у+ т , + тул, запишем схему (10) в виде (Š— — Л) Ул (Л вЂ” 4 Л)у. Найдем погрешность аппроксимации схемы (11) на решении и = и(х, 1) уравнения (1): ф = Ли — — Лзи — и1 + ОТЛи, — — Лзи1. (12) 4 После подстановки в (12) выражений А' и = — +" — — и, = и — — ' — и+ 0(т-1, Ли = Еи+А т",си+0(йл) 2 2 2 дс 12 л' -л(л,>-л(л л, л~а,л)-л~ —,л., — д,л)- 12 д1 = л'си+ 0(яз).
ди ди где л'и = — = —, и = и ~1 О+„, получим дхз д1 ~+"3' лу = Аи — — т( 4 О+ 0,5) т'и+0(я'+т'), д1 Отсюда видно, что ф = 0(т'+ Ь') при О 2 — К2, так как при этом значении О имеем 4 — а + 0,5 = О. О Будем искать решение уравнения (10) с однородными граничными условиями у, у. 0 методом разделения переменных, полагая у1= ~ Т1АХА(х), ХА(х) = Р~2зшяйх. А-1 Подставляя это выражение в (10), получим уравнение для Исключим из (8) у'+'*. Для этого запишем уравнения в виде ( ") Š— — Л) У1+Ч = (Е + т (1 — а) Л)у1, Š— — Л у1+1 = ул+Ч .
2 ' Отсюда сразу следует, что (Š— т Л) улл1 =(Е+ т(1 — О)Л)у1. 286 гл. т. схимы для нистационавных тгавнвнии определения Т~. (1+ 0,5оЮд) Тда~ = (1 — (1 — о) тХ,") Та, д+д 1 1 (1 о) татаа :г. е. Тд/ д = даП, где да = (1+ 2 тра) Повторяя рассуждения, проведенные выше для схемы с весами, приходим к неравенству 1рмаП < р1рд(! ~ ~р'+дИ//'1 где р шах !д„!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
