А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Оценка (31) получена при условии (30). Откажемся теперь от требования о > О.и вместо (30) потребуем 1 †о)о„о»= ~ — —,, Ь, 0<а<1, (32) где е сонат) 0 не зависит от Ь, т. Тогда д»/(1, 1+отЛ» = 1+(о — о,) тЛ„+ оетЛ»~)1+ оетЛ» = Π— )й Л (4 — е)й Л, = 1+ О 5тЛ вЂ” » ) 1 — ~ ' ) (в 4 (! — е) Ье 4 .— =е 4 й т. е. 1+отЛ»)е для всех й 1, 2, ..., Ж вЂ” 1. Поэтому из (29) следует оценка ()Д(Д ( ))уД+ т11рД/е и / Цу'+'Д( —,,~ тДФ'Д (33) я е гл.
ч. схемы для нестьционАРных РРАВнений 266 Если а= ах, то Условие аз(0 означает, что т<йз/6. В этом случае можно выбрать е 2/3, так как И вЂ” з)/4 1/12 при е 2/3. Объединяя оценки (24) и (31), (33), видим, что верно следующее утверждение. ьз Коли выполненьь 'условия а) )— — — =а, а)0, то схема (16) устойчива по начальным данньив и по правой части, так что для реиьения задачи Иб) справедлива оценка 1узы1(1и 1+ ~ т1ьрь'1. Коли а <О, то для устойчивости схемы (16) по правой части достаточно, чтобы выполнялось условие (ь — з) ь' а) — — =ах, 0<е<1„ еде е ы (О, 1) — произвольная постояннац не вависяьцая от й и т. 1ьри етом для решения задачи (16) имеет место оценка 1у'ь'1<1 .1+ — 2~ ~1ч' 1 ь' з Для схемы 0(й'+ т') постоянная с =2/3, а ав <О при т< йг/6. 6.
Сходимость и точность в г ь(еь). Сходимость схемы (П) следует из ее устойчивости и аппроксимации. Погрешность з у-и является решением задачи (1П). Пользуясь априорной оценкой (31), получаем ь 1гтьь1< Д т1фь'1 при а)а„а)0. (34) ь о и иен Сз, а ~ ав, и ви Сзь. 0(й'+т'), а = 0,5, 1уь — из1= 0(йь+тг), а=а, 0(йз+т), ачь0,5, (35) До сих пор всюду шла речь об устойчивости и сходимости в среднем, т. е. в сеточной норме Ьь(еьь). Между тем для практики важно иметь РавномеРнУю, т, е.
в ноРме!!Уь — иь1с шах!Уь — иь1, оценку для погрешности решения. хань, Отсюда видно, что верна теорема: Коли схема (П) устойчива по правой части и аппраксимирует задачу (1), то она сходится, причем порядок ее точности совпадает с порядком аппроксимации. Подставляя в (34) оценки из п. 3 для погрешности аппроксимации, получаем, что э <.
ОднОмеРнОе ггэвнкнив ткплопРоводности 269 (36) а7У,,— (2а7+1)у +отур<= — г"<, 1 1, 2, ..., )т' — 1, )т» И вЂ” о)7у<, + И вЂ” 2И вЂ” а)7)у<+ И вЂ” о)7у<+, + т<р<, (37) 7 тlйь, < 1, 2, ..., )р' — 1. Указанная теорема утверждает, что для решения рааностного уравнения А,у,, — С,у,+В,у,+, — — — )г„< =1, 2, ..., Ж вЂ” 1, Ур *О, Уи О, )А<! чРО, !В<! рыб< справедлива оценка если только Р, = !С<! — (А<! — !В<! ) О.
Для задачи (36) эти условия (!А,! чь О, !В,! Ф. О, Р< > 0) выполнены при о) О, причем Р, = 1, так что для решения уравнения (37) верна оценка !!у!!;(1П,, если а>0 (при о=О, у<=с"<). Замечая, что !!71р < !!У1р+ т!!<Р!!р пРи 1 — 2И вЂ” а)7 ~ О, 1-а > О, получаем для схемы (36) неравенство 1У< 1р ~ !!у !!р+ т!!<У<!!р (38) при условии ь - 2(э — о) ' (39) Суммируя (38) по у' = О, 1, 2, ..., у, приходим к оценке решения задачи И6): (40) 7. Устойчивость и сходимость в С. Для получения равномерной оценки решения разностной задачи (16) можно воспользоваться одним из трех методов: 1) принципом максимума, 2) энергетическим методом, который позволяет установить (при помощи теорем вложения) устойчивость в С по правой части, 3) представлением решения в «интегральнойр форме через сеточную функцию мгновенного точечного источника (функцию Грина).
Чтобы воспользоваться принципом максимума, в частности теоремой 3 из гл. 1, $2, запишем задачу (11) с однородными граничными условиями (схему Иб)) в виде атЛУ вЂ” у = — у — (1 — а) тЛУ вЂ” т<р = — г", р уз=О, уя=О, у< =ир(х<) 270 Гл. т, схемы для нестйционАРных РРАвнении Тем самым доказано, что схема (16) устойчива по начальным данным и по правой части при условии (39). Применяя априорную оценку (40) к задаче (Ш), получаем Э ! ад+1!о~<,Х тМ'5с. з' е Отсюда следует, что схема (11) равномерно сходится с той же скоростью, что и в сеточной норме 51(ю1) (см. (35)), если только выполнено условие (39). Условие устойчивости (39) в С для яв-ной схемы (С=О) т~Ь*/2 совпадает с условием устойчивости (25) в 51(в,), полученным ранее для случая о < 0,5.
Схема с опережением (о 1) абсолютно устойчива в С. Симметричная схема (о 0,5) устойчива в С при т ( Ь'. 8. Метод энергетических неравенств. Используем описанный в гл. 11 метод энергетических неравенств для исследования устой-' чивости схемы с весами (11). Проиллюстрируем этот метод сначала на примере дифференциального уравнения. Рассмотрим аадачу (1) с однородными краевыми условиями "= — ';+/(х,г), 0<х<1, 0«(Т, дг дха (41) и (О, 1) = и (1, й) = О, и (х, 0) = ие (х).
Введем скалярное произведение и норму 1 (и, и) = ~ и (х) и (х) сЕх, ! и ! = У(и, и), 1 где и(х) и и(х) — функции, заданные при 0(х(1 и равные нулю при х = О, х= 1. Умножим уравнение на ди/дг и проинтегрируем по х от 0 до 1: Интегрируя второе слагаемое по частям и учитывая равенство ди ди Н вЂ” — ! = О, находим д1 ди !е ~ди~й+ 1 д ~ди~а ( ди' Для оценки правой части воспользуемся неравенством Коши— Буняковского и е-неравенством (аЬ! <еа'+1/(4е)Ь* при е ° 11 ~» У) <~(/. У) ~<ф!/!<ф'++и з ь одномж кок тгзвнвник твплопвоводности 272 Используя эту оценку, получим дзюдо) 2 о1( ' )~' откуда, после интегрирования по Ф, следует о 3/ ~ — Я вЂ” ~+ — ~~у(г)).а о 3 дз! Учитывая затем, что ~в(о = шах (н(х) ~ ((0,5~ — ~, получим очочо 1д.
1~ 6н(о)$о~~ 2 $ д $+ 2 ~ 2 шах 5)(З)5' Получим теперь аналогичную оценку для разностной задачи Иб). Введем, как обычно, скалярные произведения и нормы:. к-г (р ) = Х роиА 1у) = 'т' Ь р)о $-1 (р и) = Лииза ЬП=УЬ,И. Пользуясь тождествами $ т 1 т 2 (у+У) 2 Уо' У 2 (Р+Р)+ 2 Рм ау + (1 — а) у = (а — 0,5) ту, + 0„5 (у + р), перепишем (Иб) в виде у~ — (а — 0,5)тЛу, — 0,5Л(р+ у) ~р, у(х, 0) =О, р(0, о) = уИ, о) ' О. Умножим уравнение (42) на 2тр,й 2(у — р)й н просуммируем полученное равенство по внутренним узлам х й сетки оь: 2т!!у,Р— 2(а — 0,5)т*(Луо у~) — (Л(р+ р), р — р) 2т(~р, у~).
(43) Пользуясь разностной формулой Грина (см. стр. 100) (Ли,в)=(и-,в)= — (~„-,ю-], и =и =О, ил=ил=О, при и уо и у, и и у+у, ои р — у соответственно, учитывая гл. ч. схимы для нзстлпионлгных тэлвнвнин 272 ] э„-] ~~ ( —, ~ э 1~. (45) Итак, пусть о > о, = 0,5 — й'/(4т). Тогда ьэ У = ~и'1э+ (и — оэ) ффг+ (о, — 0,5) т] о-'Д')1» "1э — — ]о»]~э)0 в силу (45). Отсюда н из (44) следует энергетическое неравенство ]уйме~~]у-]~'+2т(~р, у,) при о)о. Если ср=О, у — решение задачи (16а), то ]у» ]1(... (]у;]! т.
е. схема (16) при о>о, устойчива по начальным данным о в норме]у~<ц= ]у„-]~, являющейся сеточным аналогом нормы тт'г Однако нас интересует устойчивость по правой части. Пусть Покажем, что У > е1»1' при о ~ о. (47) В самом деле, Х =1э)э+(о — о,)т]ой]~г+(о, — 05)т]г„-]~'~ )~]э'1г — ]э„-]$')1»'1г — (1 — е) (э1г = е$э1э. Подставляя (47) в (44), получим энергетическое неравенство 2тз)у, ~э+ ]уй]~э(]у„-]~'+ 2т(~р, у,), о~»о,. (48) Воспользуемся теперь неравенством Коши — Буняковского и затем, что у, = у» О, будем иметь (лу,у) = -]у,„-Ц', (л(у+ у), у — у) = — (у, -+ у„-, у; — уй] = — (]уй]'г-]р;]~'] Подставив эти выражения в (43), получим энергетическое тождество 2т(~у,]э+(о — 0,5)т]уДг)+]уй]~'=]у;]~'+2т(<р, у~).
(44) Оно справедливо при любых о. Предположим, что о>о,. Рассмотрим выражение У = ] э1г + (о — О 5) т] с-] ~г где э = уо и покажем, что 1~ 0 при о~о,. Нам понадобится оценка (см. гл. П, $3) а г. Одномкгнов угавненнк ткплопРОводности 273 е-неравенством 2т (ор, у г) ~ (2т ~ <р 11 уг ~ ( 2тз ~ уг ~г -(- т 1 ~р 1г. После подстановки (49) в (48) будем иметь ~ "21~ + 2в о'Р (49) Просуммируем по )' = О, 1, ..., 1 и учтем, что уо = 0: 1 2е А я=о Согласно лемме 1, гл.
11, $3 имеем 191с<0,51у„-]~, поэтому Применим эту оценку к задаче (Ш1: $гзогфс(Мо шах 1грг'~, М,= —, о воо. ов~ вз ' 2УБ Отсюда следует равномерная сходнмость схемы (11): М(йо+ т) пРи о) 0,5, и ен Сго, '1Уг — иг)~с( М(йг+ то) пРн о = 0,5, и~Сев, М(йо+то) при о = оо, ион Со. Для явной схемы (о= 0) из (46) не следует равномерная сходимость прн условии т~ й*/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
